Nullstellenberechnung durch Substitution
Im vorherigen Kapitel haben wir bereits auf zwei Spezialfälle von ganzrationalen Funktionen geschaut, deren Nullstellen sich mit einer speziellen Lösungsmethode einfach berechnen lassen. Auch für die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^4-4x^2+3\), \(D_f=\mathrm{I\!R}\) existiert eine besondere Lösungsmethode zur Nullstellenberechnung.
Der Ansatz \(f(x)=0\) liefert die Gleichung \(x^4-4x^2+3=0\). Diese ähnelt in der Form sehr der quadratische Gleichung \(z^2-4z+3=0\), welche wir erhalten, indem \(x^2\) durch \(z\) und \(x^4\) durch \(z^2\) ersetzt wird. Die dann vorliegende quadratische Gleichung lässt sich mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen („Mitternachtsformel“) lösen:
\(x^4-4x^2+3=0\)
Substitution: \(x^2=z\)
\(z^2-4z+3=0\)
\(z_{1/2}=\dfrac {-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}=\dfrac {4\pm2} {2}=2\pm1\)
\(z_1=3, ~z_2=1\)
Da die Lösungen aber für \(x\) statt für \(z\) gesucht werden, ersetzten wir nun \(z\) wieder durch \(x^2\) (Rücksubstitution). Anschließend ziehen wir die Wurzel und erhalten die Lösungen der ursprünglichen Gleichung:
Rücksubstitution: \(x^2=3 \quad x^2=1\)
\(x_1=\sqrt{z_1}=\sqrt 3,~ x_2=-\sqrt {z_1}=-\sqrt 3\)
\(x_3=\sqrt{z_2}=1,~ x_4=-\sqrt {z_2}=-1\)
Biquadratische Gleichungen
Eine Gleichung der Form \(a_4 x^4+a_2 x^2+a_0=0\) mit \(a_4, a_2, a_0 \in \mathrm{I\!R}\) nennt man eine biquadratische Gleichung. Diese lässt sich mit Hilfe der Substitution \(x^2=z\) lösen, das heißt, es wird \(x^2\) durch \(z\) ersetzt (substituiert) und damit auch \(x^4\) durch \(z^2\). Anschließend wird die quadratische Gleichung gelöst und die Resubstitution durchgeführt. Die Lösungen für \(x\) ergeben sich, indem aus den Lösungen für \(z\) (falls möglich) die Wurzel gezogen wird.
Vorgehen:
- Bringen Sie die Gleichung in die Form \(…=0\).
- Ersetzen Sie \(x^2\) durch \(z\) und \(x^4\) durch \(z^2\). (Substitution)
- Lösen Sie die quadratische Gleichung von \(z\) mithilfe der Lösungsformel.
- Ersetzen Sie das \(z\) wieder durch \(x^2\). (Resubstitution)
- Durch Wurzelziehen erhalten Sie – sofern dies möglich ist – die positive und negative Lösung für \(x\).
Übung
a) Lösen Sie die Gleichung \(x^4-13x^2+36=0\) über der Grundmenge \(\mathrm{I\!R}\).
b) Lösen Sie die Gleichung \(2x^4+4x^2-126=0\) über der Grundmenge \(\mathrm{I\!R}\).
c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen \(G_f\) und \(G_g\) für \(f(x)=x^4+4x^2+6, D_f=\mathrm{I\!R}\) und \(g(x)=5x^2+8, D_g=\mathrm{I\!R}\).