Nullstellenberechnung durch Polynomdivision
Ist eine (ganzzahlige) Nullstelle einer Funktion höheren Grades (ab Grad \(3\)) bekannt, so lassen sich weitere Nullstellen (falls vorhanden) mit Hilfe der Polynomdivision finden.
Beispiel 1 (Funktion 3. Grades)
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=x^3-6x^2-x+6\), \(D_f = \mathrm{I\!R}\). Die Funktion \(f\) hat den Grad \(3\).
Die Funktionsgleichung lässt sich auch so darstellen: \(f(x)= \underbrace{(x-1)}_{Linearfaktor} \cdot (x^2-5x-6)\) \(\textbf{(1)}\)
\(f(x)=0 \quad \Rightarrow \quad (x-1) \cdot (x^2-5x-6) = 0\)
Mit dem Satz vom Nullprodukt erkennt man erkennt sofort: \(x=1\) ist eine Nullstelle von \(f\).
Dividiert man beide Seiten von Gleichung \(\textbf{(1)}\) durch den Linearfaktor \((x-1)\), so erhält man:
\(f(x)= (x-1) \cdot (x^2-5x-6)\quad |: (x-1)\)
\(f(x) : (x-1) = x^2-5x-6\)
also
\((x^3-6x^2-x+6) : (x-1) = x^2-5x-6\)
Die Division des Polynoms \(f(x)\) vom Grad \(3\) durch den Linearfaktor \((x-1)\) ergibt das Ergebnispolynom \(x^2-5x-6\) vom Grad \(2\). Es besitzt also einen um \(1\) kleineren Grad als das Ausgangspolynom.
Das Ergebnispolynom \(x^2-5x-6\) wird nun gleich Null gesetzt und (z.B. mit Hilfe der Lösungsformel) auf weitere Nullstellen untersucht.
Finden der ersten Nullstelle durch Probieren
Für das oben beschriebene Verfahren muss jedoch eine ganzzahlige Nullstelle von \(f\) bekannt sein. Diese kann durch Probieren gefunden werden, indem in \(f(x)\) ganzzahlige Werte für \(x\) eingesetzt werden und jeweils der Funktionswert berechnet wird. Ergibt sich so der Funktionswert Null, so ist der für \(x\) eingesetzte Wert eine Nullstelle.
Dazu kann auch Tabellenfunktion des Taschenrechners genutzt werden.
Sind bei einer ganzrationalen Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=a_nx^n+ …\cdots + a_1x+a_0\) alle Koeffizienten \(a_n, …\cdots , a_1, a_0\) ganzzahlig, so kommen für ganzzahlige Nullstellen von \(f\) nur Teiler von \(a_0\) in Frage. Aber nicht jeder Teiler von \(a_0\) ist auch eine Nullstelle von \(f\).
In der Beispielfunktion mit \(f(x)=x^3-6x^2-x \color{blue}{+6}\) ist \(a_0 =\color{blue}{+6}\). Somit kommen für ganzzahlige Nullstellen von \(f\) nur Teiler der Zahl \(6\) in Frage also: \(-1,~ 1,~ -2,~ 2,~ -3,~ 3,~ -6,~ 6\)
Nullstellenermittlung im Beispiel 1
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-6x^2-x+6\), \(D_f = \mathrm{I\!R}\).
Stellen Sie \(f(x)\) in Linearfaktorform dar.
\(f(x)=0 \quad \Rightarrow \quad x^3-6x^2-x+6=0 \)
Probieren: \(f(1)=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=1 \quad \Rightarrow\) Linearfaktor \((x-1)\)
Polynomdivision:
\(\hphantom{-(}\left({}x^{3}{}- 6 x^{2}{}- x + 6\right) : \left({}x{}- 1\right) = {}x^{2}{}- 5 x{}- 6\\\hphantom{}{{}-\underline{\left({}x^{3}{}- x^{2}\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}}-5 x^{2}{}- x\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}-5 x^{2} + 5 x\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}{}- 5 x^{2}}-6 x + 6\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}{}- 5 x^{2}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}-6 x + 6\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}{}- 5 x^{2}{}- 6 x+{}}0\)
weitere Nullstellen:
\(x^2-5x-6 = 0\)
\(x_{2/3} = \dfrac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}\)
\(x_2 = 6, \quad x_3 = -1\)
Die Nullstellen sind somit: \(x_1 = 1, \quad x_2 = 6, \quad x_3 = -1\) (alle einfach)
Linearfaktorform: \(f(x)=(x-1)(x-6)(x+1)\)
Beispiel 2 (Funktion 3. Grades)
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\) mit \(f(x)=-\frac 13 x^3+x^2-\frac 43\), \(D_f = \mathrm{I\!R}\).
Stellen Sie \(f(x)\) in Linearfaktorform dar.
\(f(x)=0\)
\(-\frac 13 x^3+x^2-\frac 43 =0 \quad |\cdot (-3) \quad \) (Vereinfachung)
\(x^3-3x^2+4 =0 \quad \) (bruchfreie Gleichung)
Probieren: \(f(2)=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=2 \quad \Rightarrow\) Linearfaktor \((x-2)\)
Polynomdivision:
\(\hphantom{-(}\left({}x^{3}{}- 3 x^{2} +0x + 4\right) : \left({}x{}- 2\right) = {}x^{2}{}- x{}- 2\\\hphantom{}{{}-\underline{\left({}x^{3}{}- 2 x^{2}\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}}-x^{2} +0x\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}-x^{2} + 2 x\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}{}- x^{2}}-2 x + 4\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}{}- x^{2}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}-2 x + 4\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}{}- x^{2}{}- 2 x+{}}0\)
weitere Nullstellen:
\(x^2-x-2 = 0\)
\(x_{2/3} = \dfrac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\)
\(x_2 = 2, \quad x_3 = 1\)
Die Nullstellen sind somit:
\(x_{1/2} = 2\) (doppelt), \(\quad x_3 = 1\) (einfach)
Linearfaktorform: \(f(x)=-\frac 13 (x-2)^2(x-1)\)
Anmerkung:
Wird die Gleichung am Anfang nicht bruchfrei gemacht, muss eine Polynomdivision mit Brüchen durchgeführt werden. Das ist viel aufwändiger.
\(\hphantom{-(}\left({}-\tfrac{1}{3} x^{3} + x^{2}+0x{}- \tfrac{4}{3}\right) : \left({}x{}- 2\right) = {}-\tfrac{1}{3} x^{2} + \tfrac{1}{3} x + \tfrac{2}{3}\\\hphantom{}{{}-\underline{\left({}-\tfrac{1}{3} x^{3} + \tfrac{2}{3} x^{2}\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}-\tfrac{1}{3} x^{3}+{}}\tfrac{1}{3} x^{2}+0x\\\hphantom{-\left(\right){}-\tfrac{1}{3} x^{3}+{}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}\tfrac{1}{3} x^{2}{}- \tfrac{2}{3} x\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}-\tfrac{1}{3} x^{3} + \tfrac{1}{3} x^{2}+{}}\tfrac{2}{3} x{}- \tfrac{4}{3}\\\hphantom{-\left(\right){}-\tfrac{1}{3} x^{3} + \tfrac{1}{3} x^{2}+{}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}\tfrac{2}{3} x{}- \tfrac{4}{3}\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}-\tfrac{1}{3} x^{3} + \tfrac{1}{3} x^{2} + \tfrac{2}{3} x+{}}0\)
Beispiel 3 (Funktion 4. Grades)
Bei ganzrationalen Funktionen 4. Grades muss zweimal eine Polynomdivision durchgeführt werden, um dann einen quadratischen Term zu erhalten, der dann z.B. mit der Lösungsformel auf weitere Nullstellen untersucht werden kann.
\(f(x)=0\)
\(2x^4-x^3-21x^2-8x+28=0\)
Probieren: \(f(1)=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=1 \quad \Rightarrow\) Linearfaktor \((x-1)\)
Polynomdivision 1:
\(\hphantom{-(}\left({}2 x^{4}{}- x^{3}{}- 21 x^{2}{}- 8 x + 28\right) : \left({}x{}- 1\right) = {}2 x^{3} + x^{2}{}- 20 x{}- 28\\\hphantom{}{{}-\underline{\left({}2 x^{4}{}- 2 x^{3}\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{4}+{}}x^{3}{}- 21 x^{2}\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{4}+{}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}x^{3}{}- x^{2}\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{4} + x^{3}}-20 x^{2}{}- 8 x\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{4} + x^{3}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}-20 x^{2} + 20 x\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{4} + x^{3}{}- 20 x^{2}}-28 x + 28\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{4} + x^{3}{}- 20 x^{2}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}-28 x + 28\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{4} + x^{3}{}- 20 x^{2}{}- 28 x+{}}0\)
\(2x^3+x^2-20x-28=0\)
Probieren: \(f(-2)=0 \quad \Rightarrow \quad x_2=-2 \quad \Rightarrow\) Linearfaktor \((x+2)\)
Polynomdivision 2:
\(\hphantom{-(}\left({}2 x^{3} + x^{2}{}- 20 x{}- 28\right) : \left({}x + 2\right) = {}2 x^{2}{}- 3 x{}- 14\\\hphantom{}{{}-\underline{\left({}2 x^{3} + 4 x^{2}\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{3}}-3 x^{2}{}- 20 x\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{3}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}-3 x^{2}{}- 6 x\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{3}{}- 3 x^{2}}-14 x{}- 28\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{3}{}- 3 x^{2}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}-14 x{}- 28\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}2 x^{3}{}- 3 x^{2}{}- 14 x+{}}0\)
weitere Nullstellen:
\(2x^2-3x-14 = 0\)
\(x_{3/4} = \dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 2 \cdot (-14)}}{2 \cdot 2}\)
\(x_3 = 3,5, \quad x_4 = -2\)
Da die Nullstelle \(x=-2\) zweimal auftritt, ist sie eine doppelte Nullstelle.
Die Nullstellen sind somit:
\(x_1 = 1\) (einfach), \(\quad x_2 = -2\) (doppelt), \(\quad x_3 = 3,5\) (einfach)
Linearfaktorform: \(f(x)=2(x-1)(x+2)^2(x-3,5)\)
Aufgaben
Ermitteln Sie die Nullstellen und deren Vielfachheit von folgenden Funktionen. Stellen Sie den Funktionsterm in Linearfaktorform dar.
a) \(f(x) = x^3+2x^2-x-2\), \(D_f = \mathrm{I\!R}\)
b) \(g(x) = 2x^3-2x^2-8x+8\), \(D_g = \mathrm{I\!R}\)
c) \(h(x) = \frac 12 x^3 – \frac 14x^2 – 7x-9\), \(D_h = \mathrm{I\!R}\)
d) \(k(x) = x^4-17x^2 +36x-20\), \(D_k = \mathrm{I\!R}\)
Interaktives Applet: Polynomdivision