Verhalten im Unendlichen – Globalverlauf
Globalverlauf des Graphen für \(x\rightarrow \infty\)
Anhand des Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion kann untersucht werden, wohin der Graph bei sehr großen (\(x\rightarrow +\infty\)) oder sehr kleinen Funktionswerten (\(x\rightarrow -\infty\)) verläuft.
Bei linearen und quadratischen Funktionen haben Sie den Globalverlauf bereits bestimmt, ohne den Begriff zu kennen.
Lineare Funktionen
Bei linearen Funktionen \(f(x)=mx+t\) kann anhand des Wertes der Steigung \(m\) festgestellt werden, ob der Graph bei größer werdenden \(x\)-Werten (nach rechts) steigt oder fällt:
\(m>0 \Rightarrow \) Gerade steigt
\(m<0 \Rightarrow \) Gerade fällt
Quadratische Funktionen
Bei quadratischen Funktionen \(f(x)=ax^2+bx+c\) kann anhand des Wertes des Leitkoeffizienten \(a\) festgestellt werden, ob der Graph bei größer werdenden \(x\)-Werten (nach rechts) steigt oder fällt:
\(a>0 \Rightarrow \) Parabel nach oben geöffnet und (nach rechts) steigend
\(a<0 \Rightarrow \) Parabel nach unten geöffnet und (nach rechts) fallend
Erkenntnis:
Ob die Funktionswerte bei immer größer werdenden \(x\)-Werten immer weiter steigen oder fallen, hängt offenbar nur von der höchsten vorkommenden \(x\)-Potenz und dem davor stehenden Koeffizienten ab.
Funktionen höheren Grades
Dieses Verhalten im Unendlichen soll nun auch bei ganzrationalen Funktionen vom Grad 3 und höher untersucht werden.
Beispiel: \(f(x)=2x^3+2x^2-4x\)
Am Graphen erkennt man:
\(G_f\) kommt von „links unten“ und geht nach „rechts oben“.
Um dieses (Grenz-)Verhalten der Funktionswerte bei immer größer oder immer kleiner werdenden \(x\)-Werten schon am Funktionsterm zu ermitteln, benutzt man in der Mathematik sogenannte Grenzwerte.
Grenzwert : Limes (lateinisch „Grenze“)
Schreibweise:
\(x \rightarrow +\infty \) (sprich: „\(x\) strebt gegen plus unendlich“, also nach rechts)
\(x \rightarrow -\infty \) (sprich: „\(x\) strebt gegen minus unendlich“, also nach links)
\(\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \) (sprich: „Limes \(f(x)\) für \(x\) strebt gegen plus unendlich ist gleich unendlich“)
Im Beispiel gilt also:
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \) (\(G_f\) geht nach rechts oben)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \) (\(G_f\) kommt von links unten)
Rechnerische Ermittlung der Grenzwerte von \(f(x)=2x^3+2x^2-4x\)
\(\lim \limits_{x \to +\infty} (2x^3+2x^2-4x )=\lim \limits_{x \to +\infty} (2x^3) = 2 \cdot (+\infty)^3 = +\infty \)
\(\lim \limits_{x \to -\infty} (2x^3+2x^2-4x )=\lim \limits_{x \to -\infty} (2x^3) = 2 \cdot (-\infty)^3 = -\infty \)
Merke
Der Globalverlauf von \(f(x)=a_n x^n+… +a_1 x + a_0\) wird allein durch das Produkt aus Leitkoeffizienten \(a_n\) und der höchsten \(x\)-Potenz \(x^n\) bestimmt.
Beispiel 2: \(f(x)= -3x^4-x^3+2x-1\)
Untersuchen Sie rechnerisch das Verhalten der Funktionswerte für \(x \rightarrow +\infty\) und \(x \rightarrow -\infty\).
Geben Sie die Bedeutung der Ergebnisse für den Globalverlauf des Graphen \(G_f\) an.
\(\lim \limits_{x \to -\infty} (-3x^4-x^3+2x-1)=\lim \limits_{x \to -\infty} (-3x^4) = -3 \cdot (-\infty)^4 = -\infty \)
\(\Rightarrow G_f\) kommt von links unten.
\(\lim \limits_{x \to +\infty} (-3x^4-x^3+2x-1)=\lim \limits_{x \to +\infty} (-3x^4) = -3 \cdot (+\infty)^4 = -\infty \)
\(\Rightarrow G_f\) geht nach rechts unten.
Übersicht: Globalverlauf in Abhängigkeit vom Grad
\(f(x)=a_n x^n+… +a_1 x + a_0\)
Leitkoeffizient \(a_n > 0\)
Grad 1:
\(f(x) = x +…\) \((a_n>0)\)
Grad 2:
\(f(x) = x^2 +…\) \((a_n>0)\)
Grad 3:
\(f(x) = x^3 +…\) \((a_n>0)\)
Grad 4:
\(f(x) = x^4 +…\) \((a_n>0)\)
Leitkoeffizient \(a_n < 0\)
Grad 1:
\(f(x) = -x +…\) \((a_n<0)\)
Grad 2:
\(f(x) = -x^2 +…\) \((a_n<0)\)
Grad 3:
\(f(x) = -x^3 +…\) \((a_n<0)\)
Grad 4:
\(f(x) = -x^4 +…\) \((a_n<0)\)
