Ganzrationale Funktionen – Grundlagen

Hinführung

Bei manchen Problemstellungen kommen in Funktionstermen nicht nur die Potenzen \(x^1\) bzw. \(x^2\) vor, sondern z.B. auch \(x^3\) oder \(x^4\).

Beispiel:
Ein quaderförmiges Paket hat die Höhe \(x\). Seine Länge ist um 4 cm größer und seine Breite um 2 cm kleiner als seine Höhe. Stellen Sie einen Funktionsterm zur Berechnung des Volumens \(V\) des Pakets auf.

\(V= h \cdot l \cdot b\)

\(V(x) = x \cdot (x+4) \cdot (x-2)\)

\(V(x) = x^3 + 2x^2 -8x\)

Die Funktion V nennt man ganzrationale Funktion 3. Grades, da die höchste vorkommende Potenz \(x^3\) ist.

Definition

Eine Funktion \(f\) mit \( f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 \) mit \(n \in \mathbb{N}, a_n \neq 0 \) heißt ganzrationale Funktion \(n\)-ten Grades.
Der Funktionsterm heißt Polynom.
Die Zahlen \(a_n, a_{n-1}, …, a_2, a_1, a_0 \in \mathbb{R}\) heißen Koeffizienten.
Der Koeffizient \(a_n\) heißt Leitkoeffizient.

Beispiele:

  1. \( f(x) = a_2x^2+a_1x+a_0 = ax^2+bx+c\) (quadratische Funktion)
    \( \Rightarrow \) Quadratische Funktionen sind ganzrationale Funktionen 2. Grades.
  2. \( f(x) = a_1x+a_0 = mx+t\) (lineare Funktion)
    \(\Rightarrow\) Lineare Funktionen sind ganzrationale Funktionen 1. Grades.
  3. Das Polynom \(\frac{ 2 }{ 7 } x^5 + x^3 +2\) besitzt den Grad \(n = 5\)
    und die Koeffizienten \(a_5 = \frac{ 2 }{ 7 }, a_4 =0, a_3 = 1, a_2 =0, a_1=0, a_0 = 2 \).

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