Bestimmung von Funktionstermen anhand von Nullstellen
Funktionsterme anhand von gegebenen Nullstellen aufstellen
An dieser Stelle wird nur das Aufstellen von Funktionstermen anhand von gegebenen Nullstellen besprochen.
Beispiel 1: Funktion 3. Grades
Eine ganzrationale Funktion \(f\) dritten Grades hat die Nullstellen \(x_1=0, x_2=-1, x_3 =2\). Der Graph von \(f\) verläuft durch den Punkt \(P(1| 6)\).
Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm von \(f\).
Ansatz: Mit der Linearfaktorform
Schrittfolge:
1. Ansatz: \(f(x)=a\,(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\)
2. Nullstellen \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) einsetzen, Vielfachheit beachten
3. Koordinaten von \(P(x|y) \) einsetzen und nach \(a\) auflösen
Im Beispiel:
\(f(x)=a\,(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\)
\(x_1=0\) , \(x_2=-1\), \(x_3=2\) einsetzen: \(f(x)=a\,(x-0)(x+1)(x-2)=a\;x(x+1)(x-2)\)
Koordinaten von \(P(1| 6)\) einsetzen: \(6=a\;x(x+1)(x-2)\)
\(\Rightarrow\quad 6=a\cdot 1 \cdot (2) \cdot (-1)\)
\(\Rightarrow\quad 6=-2a \quad\Rightarrow\quad a=-3 \)
\(\Rightarrow\quad f(x)=-3x(x+1)(x-2)\)
Beispiel 2: Funktion 4. Grades
Eine ganzrationale Funktion \(f\) 4. Grades hat bei \(x_1=1\) eine doppelte Nullstelle, bei \(x_2=3\) und \(x_3 =2\) jeweils eine einfache Nullstelle und ihr Graph verläuft durch den Punkt \(P(4| 27)\).
Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm von \(f\).
Schrittfolge:
1. Ansatz: \(f(x)=a\,(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\)
2. Nullstellen einsetzen, Vielfachheit beachten
3. Koordinaten von \(P(x| y) \) einsetzen und nach \(a\) auflösen
Im Beispiel:
\(x_1=1\) (doppelt) , \(x_2=3\), \(x_3=2\) einsetzen:
\(f(x)=a\,(x-1)^2(x-3)(x-2)\)
\(P(4| 27)\) einsetzen: \(27=a\,(x-1)^2(x-3)(x-2)\)
\(\Rightarrow\quad 27=a\cdot (4-1)^2 \cdot (4-3) \cdot (4-2) \)
\(\Rightarrow\quad 27=a\cdot 9 \cdot 1 \cdot 2\)
\(\Rightarrow\quad 27=18a \quad\Rightarrow\quad a=1,5 \)
\(\Rightarrow\quad f(x)=1,5(x-1)^2(x-3)(x-2)\)
Funktionsterm anhand eines vorgegebenen Graphen bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist ein Ausschnitt des Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\) 3. Grades.
Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm von \(f\).
Schrittfolge:
1. Ansatz mit Linearfaktorform \(f(x)=a\,(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\)
(Vielfachheit beachten)
2. Nullstellen ablesen und in LFF einsetzen
3. Die Koordinaten eines weiteren Punktes \(P(x| y)\) eindeutig ablesen und einsetzen
4. nach \(a\) auflösen
Im Beispiel:
\(f(x)=a\,(x+2)(x-1)(x-2)\)
weiterer Punkt auf dem Graphen: \(P(0|2)\)
\(2=a(0+2)(0-1)(0-2)\)
\(\Rightarrow\quad 2=a \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-2)\)
\(\Rightarrow\quad 2=4a \quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\quad f(x)= \frac{1}{2}(x+2)(x-1)(x-2) \)
Interaktive Übung 1: Funktionsterme 3. Grades anhand des gegebenen Graphen ermitteln
Auftrag:
Ermitteln Sie den passenden Funktionsterm zum dargestellten Graphen.
Hinweise zum Applet:
- Dieses Applet erzeugt zufällig Graphen von ganzrationalen Funktionen 3. Grades.
- Mit der Schaltfläche „Neu“ wird ein neuer Graph dargestellt.
- Der \(y\)-Wert eines Punktes \(P\) auf dem Graphen wird exakt angezeigt. Der Punkt \(P\) kann auf dem Graphen verschoben werden.
- Für die Berechnung des konstanten Vorfaktors kann optional eine Eingabezeile eingeblendet werden (dazu bitte ein Häkchen bei „Nebenrechnung“ setzen).
- Die Lösungsschaltfläche wird nur angezeigt, wenn die Eingabe für Nebenrechnungen ausgeschaltet wird.
Interaktive Übung 2: Funktionsterme 4. Grades anhand eines gegebenen Graphen ermitteln
Aufgabe 1
Stellen Sie jeweils den Funktionsterm der ganzrationalen Funktion \(f\) anhand der Nullstellen und des gegebenen Punktes \(P\) auf.
Skizzieren Sie den Graphen. Überprüfen Sie anschließend den Graph mit Geogebra.
a) Grad 3, Nullstellen: \(x_1=-2\) (einfach), \(x_2=3\) (doppelt), \(P(4|-3)\)
b) Grad 4, Nullstellen: \(x_1=-1\) , \(x_2=-4\) (beide einfach), \(x_3=1,5\) (doppelt), \(P(2|9)\)
c) Grad 3, Nullstellen: \(x_1=0\) , \(x_2=-1\), \(x_3=1\) (alle einfach), \(P\left(-3\middle|\frac{1}{2}\right)\)
d) Grad 4, Nullstellen: \(x_1=-3\) (doppelt), \(x_2=5\), (doppelt), \(P\left(-\frac{1}{2}\middle|125\right)\)