Wachstumsvorgänge
Es gibt viele Vorgänge in der Natur und auch im täglichen Leben, bei denen sich die Größe eines „Bestands“ im Laufe der Zeit verändert.\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}
\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}\)
Wenn bei solchen Vorgängen während des Beobachtungszeitraums eine bestimmte Größe nur
- zunimmt, so spricht man von „positivem Wachstum“.
- abnimmt, so spricht man von „negativem Wachstum“,
aber auch von einem „Abnahmevorgang“, „Abnahmeprozess“, „Zerfallsprozess“ oder „Abklingvorgang“.
Der Grund dafür, dass man von „positivem“ und „negativem“ Wachstum spricht, ist schnell zu verstehen, wenn man Wachstumsvorgänge mithilfe von Funktionen darstellt, bei denen man die Ableitung ermitteln kann. Dann ist am Vorzeichen der Ableitung nämlich zu erkennen, ob positives oder negatives Wachstum vorliegt. Das wird im nächsten Abschnitt „Beschreibung von Wachstumsvorgänngen durch geeignete Funktionen“ vorgestellt.
Beispiele
- Betrag des Kapitals auf einem Sparkonto bei einer konstanten jährlichen Verzinsung
- Anzahl infizierter Personen während einer Epidemie
- Anzahl von Bakterien in einer Bakterienkultur (z.B. in einer flachen Schale mit geeigneter Nährstofflösung am Boden – sog. Petrischale)
- Anzahl der Atome eines bestimmten radioaktiven Elements (Atomsorte) beim radioaktiven Zerfall, das aufgrund seiner Instabilität in andere Elemente zerfällt
- Temperatur einer Tasse Tee während des Abkühlens in einem Raum mit konstanter Umgebungstemperatur
- Elektrische Ladung eines Kondensators beim Anlegen von Gleichspannung
Unterschiedliche Wachstumsformen
Es lassen sich charakteristisch unterschiedliche Arten von Wachstum beobachten, z.B.
Lineares Wachstum
In jeweils gleichen Zeitabschnitten nimmt die Größe um einen konstanten Wert zu.
\(\ \)
Unbeschränktes exponentielles Wachstum
In jeweils gleichen Zeitabschnitten vervielfacht sich die Größe um einen konstanten Faktor.
Beschränktes exponentielles Wachstum
Der Abstand zwischen der Größe und einer konstanten Schranke wird exponentiell immer kleiner.
\(\ \)
Logistisches Wachstum
Die Größe wächst zunächst exponentiell, aber ab einem bestimmten Zeitpunkt geht das Wachstum in beschränktes Wachstum über.
Andere Wachstumsformen
Z.B. „vergiftetes“ Wachstum
Dem Bestand wird im Verlauf der Zeit kontinuierlich eine bestimmte Menge eines giftigen Hemmstoffs von außen zugesetzt. Im nebenstehenden Beispiel nimmt die Giftmenge proportional zur Zeit zu.