Potenzieren einer Basis \(b\)

In diesem Abschnitt wird eine wichtige mathematische Berechnungsmethode (und die damit verbundenen Rechengesetze) vorgestellt, die wir in den nächsten Kapiteln dringend benötigen:\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}}\newcommand{\IN}{\mathrm{I\!N}}\newcommand{\IZ}{\mathrm{Z\!\!Z}}\newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)

♦ Das Potenzieren einer Basis \(b\)

Für natürliche Zahlen \((1, 2, 3, …)\) kann man das Potenzieren einfach beschreiben:

Beim Potenzieren wird eine Zahl (die sog. „Basis“) mehrmals mit sich selbst multpliziert.

Beispiel:

Anstelle von \(2\cdot 2\cdot 2\) schreibt man kurz \(2^3\).
Hier wird die Zahl \(2\) mit der Zahl \(3\) potenziert.
Der Rechenausdruck (Term) \(2^3\) heißt Potenz.

In der Potenz \(2^3\) ist

• die Zahl \(2\) die Basis der Potenz.
• die Zahl \(3\) der Exponent (oder auch die Hochzahl) der Potenz.

Sonderfall:

\(2^1=2\) oder allgemein \(b^1=b\) für \(b\in\IR^+\).

Sehr eng verwandt mit dem Potenzieren ist eine andere Berechnungsmethode, die hier nur kurz erwähnt wird, aber erst später genauer behandelt wird:

♦ Das Logarithmieren

Für natürliche Zahlen \((1, 2, 3, …)\) kann man das Logarithmieren einfach beschreiben:

Durch das Logarithmieren findet man heraus, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um einen vorgegebenen Wert zu erhalten.

Beispiel:

Um den gesuchten Wert in der Gleichung \(2^x = 8\) zu beschreiben,
sind folgende Schreibweisen vollkommen gleichwertig:

• \(x\) ist die Hochzahl, die über der Basis \(2\) benötigt wird, um \(8\) zu erhalten.
• \(x\) ist der Logarithmus von \(8\) bzgl. der Basis \(2\).
• \(x = \log_2(8) = 3\)

Hier wird die Zahl \(8\) bzgl. der Basis \(2\) logarithmiert.

Rechnen mit Potenzen

Interaktive Aufgabe zu den Potenzgesetzen

Studieren Sie im folgenden Geogebra-Applet die Rechengesetze für Potenzen (sog. Potenzgesetze).

• Beobachten Sie beim Verändern der Werte für \(k\) und \(\ell\) das Auftreten der \(0\) oder auch von negativen ganzen Zahlen als Hochzahlen!

• Setzen Sie auch das Häkchen bei der Option „Allgemein“, um das Auftreten von Brüchen als Hochzahlen zu entdecken!

Anmerkung zur Null und zu negativen Zahlen als Hochzahlen

Weil es bei der Anwendung der Potenz-Gesetze passieren kann, dass

♦ die \(0\) als Hochzahl auftreten kann

Beispiele:

• \(4^0 = 1\)
• \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{\!\! 0} = 1\)
• \(b^0 = 1\) für \(b\in\IR^+\)

♦ negative Zahlen als Hochzahlen auftreten können

Beispiele:

• \(4^{-1} = \dfrac{1}{4}\)
• \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{\!\!-1} = \dfrac{1}{\frac{2}{5}}= \dfrac{5}{2}\)
• \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^{\!\!-2} = \dfrac{1}{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}}=\dfrac{1}{\frac{2^2}{5^2}}= \dfrac{25}{4}\)
• \(b^{-1} = \dfrac{1}{b}\) für \(b\in\IR^+\)

♦ man damit aber verblüffenderweise problemlos arbeiten kann,

haben die Mathematiker beschlossen, auch die \(0\) und negative Zahlen als Hochzahlen zu akzeptieren.

Bruchzahlen als Hochzahlen

Kurz:

• \(w = \sqrt{q}\)   (\(w\) ist die Wurzel aus \(q\)).
• \(w = \sqrt{q} \implies w^2 = q\)

Beispiel:

• \(3 = \sqrt{9}\)   (\(3\) ist die Wurzel aus \(9\)).
• \(3 = \sqrt{9} \implies 3^2 = 9\)

Darstellung der Quadratwurzel aus einer Zahl als Potenz

Aufgrund des Potenzgesetzes für die „Potenz einer Potenz“ kann man schreiben:

\(q^\frac{1}{2} \cdot  q^\frac{1}{2}= \left(q^{\frac{1}{2}}\right)^2 = q^{\frac{1}{2} \cdot 2} = q\)

Das heißt:

Quadriert man \(q^{\frac{1}{2}}\), so erhält man \(q\).

Folglich gilt: \(q^{\frac{1}{2}} = \sqrt{q}\).

Beispiel

\(36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6\), denn:

• \(36^{\frac{1}{2}} = \left(6^2\right)^{\frac{1}{2}} = 6^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6\)
• \(\sqrt{36} = 6\)

Kurz:

• \(w = \sqrt[\Large{n}]{q}\)   (\(w\) ist die \(n\)-te Wurzel aus \(q\)).
• \(w = \sqrt[\Large{n}]{q} \implies w^n = q\)

Beispiel:

• \(4 = \sqrt[3]{64}\)   (\(4\) ist die 3. Wurzel aus \(64\)).
• \(4 = \sqrt[3]{64} \implies 4^3 = 64\)
• Quadratwurzel: \(8 = \sqrt[2]{64} = \sqrt{64} = 8\)

Darstellung der \(n\)-ten Wurzel aus einer Zahl als Potenz

Aufgrund des Potenzgesetzes für die „Potenz einer Potenz“ kann man schreiben:

\(\underbrace{q^{\Large\frac{1}{n}} \cdot … \cdot q^{\Large\frac{1}{n}}}_\text{n Stück} = \left(q^{\Large\frac{1}{n}}\right)^n = q^{\Large{\frac{1}{n}\cdot n}} = q\)

Das heißt:

Potenziert man \(q^{\Large\frac{1}{n}}\) mit \(n\), so erhält man \(q\).

Folglich gilt: \(q^{\Large\frac{1}{n}} = \sqrt[\Large{n}]{q}\).

Beispiel

\(64^{\Large\frac{1}{3}} = \sqrt[\Large{3}]{64} = 4\), denn:

• \(64^{\Large\frac{1}{3}} = \left(4^3\right)^{\Large\frac{1}{3}} = 4^{\Large{3 \cdot \frac{1}{3}}} = 4\)
• \(\sqrt[\Large{3}]{64} = 4\)

Problematisch: negative Zahlen unter der Wurzel bzw. \(n\)-ten Wurzel

Unbestreitbar gilt:

• \(2^6 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 64\)
• \(64^{\Large\frac{1}{6}} = \sqrt[\Large{6}]{64} = 2\)
• \((-8)^2 = (-8)\cdot (-8) = 64 \)
• \(2^3 = 8\),  also \(2 = 8^\frac{1}{3}\)
• \((-2)^3 = -8\)

Verlockend (aber falsch) ist die nächste Folgerung:

• \((-2)^3 = -8\),  also \( (-8)^{\Large\frac{1}{3}} = \sqrt[\Large{3}]{-8} =  -2\)

Darf man eine 3. Wurzel auf eine negative Zahl anwenden?

Annahme: \(-2 = (-8)^{\Large\frac{1}{3}}\)

Damit folgt: \(-2 = (-8)^{\Large{\frac{1}{3}}}\) = \((-8)^{\Large{\frac{2}{6}}}\)

Nun wird das Potenzgesetz „Potenz einer Potenz“ verwendet:

\(-2 = (-8)^{\Large{\frac{2}{6}}} = (-8)^{\Large{2\cdot \frac{1}{6}}} = \left((-8)^2\right)^{\Large{\frac{1}{6}}} = 64^{\Large{\frac{1}{6}}} = +2\)

Wenn die obige Annahme stimmen würde, dann müssten wir damit leben, dass \(-2 = +2\) ist.

Da die Aussage \(-2 = +2\) aber offensichtlich falsch ist (wir aber ansonsten keine Rechenfehler gemacht haben), muss bereits die obige Annahme falsch gewesen sein.

Konsequenz:

Um zu vermeiden, dass durch die Anwendung der Potenzgesetze falsche Aussagen gefolgert werden können, muss das Potenzieren mit Brüchen bzw. das Berechnen von \(n\)-ten Wurzeln folgendermaßen eingeschränkt werden:

Anmerkung:

Die Gleichung \(x^3 = -27\)  hat die Lösung \(x = -3\).

Falsch ist:

• \(x = (-27)^{\Large{\frac{1}{3}}} = -3\),
  denn laut Definition darf bei einer Potenz mit einer nicht-ganzen Hochzahl die Basis nicht negativ sein.

Korrekt ist:

• \(x = -\left(27^{\Large{\frac{1}{3}}}\right) = -3\)
• \(x = -27^{\Large{\frac{1}{3}}} = -3\)