Die \(e\)-Funktion (Exponentialfunktion zur Basis \(e\))

Im diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit \(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)

  • der Exponentialfunktion zur Basis \(e\) (sog. \(e\)-Funktion)

beschäftigen, deren herausragende Eigenschaft ihre Ableitung ist.

In einem späteren Kapitel werden wir sehen, dass man jede Exponentialfunktion zu einer beliebigen anderen Basis mithilfe der \(e\)-Funktion darstellen kann, um somit auch bei den anderen Exponentialfunktionen die besondere Ableitungseigenschaft nutzen der zu können.

Erinnerung: Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis \(b\)

Beim Versuch, die Exponentialfunktion zur Basis \(b\) (also die Funktion \(f:x\mapsto b^x\))  abzuleiten, haben wir festgestellt, dass für die Ableitung dieser Funktion gilt:

\(\fs{f}(x) = \fs{f}(0) \cdot f(x) = \fs{f}(0) \cdot b^x\).

Das erscheint auf den ersten Blick nicht besonders wertvoll, weil wir \(\fs{f}(x)\) bräuchten, um den konstanten Faktor \(\fs{f}(0)\) berechnen zu können.

Allerdings haben wir auch festgestellt, dass bei einem ganz besonderen Wert für die Basis \(b\)  (nämlich für \(b\approx 2{,}72\)) der konstante Faktor \(\fs{f}(0) = 1\) ist und somit die Ableitung \(\fs{f}(x) = 1 \cdot b^x = f(x)\) gilt.

Die Exponentialfunktion zur Basis e ≈ 2,72

Es gibt für die Funktion \(f:x\mapsto b^x\) genau einen besonderen Wert für die Basis \(b\), bei dem \(\fs{f}(x) = f(x)\) gilt.

  • Dieser besondere Wert  wurde von dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) entdeckt.
  • Deshalb wird dieser besondere Wert ihm zu Ehren „Eulersche Zahl“ genannt,oder kurz einfach nur \(e\).
  • Den Wert von \(e\) kann man ungefähr mit \(e\approx 2{,}72\) angeben.

Mithilfe weiterer raffinierter Verfahren kann man den Wert der Eulerschen Zahl \(e\) genauer bestimmen.

Man kann beweisen, dass sich die Eulersche Zahl \(e\) nicht exakt als Bruch darstellen lässt,
d.h. \(e\) ist eine irrationale Zahl (so wie z.B. auch die Zahl \(\pi\)).

Die bekanntesten Näherungsformeln für \(e\) sind diese:

\(e=1+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{1\cdot 2 \cdot 3}+\dfrac{1}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + …\)

\(e=\lim \limits_{n\to +\infty}  \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\)

Es gibt noch weitere Näherungsformeln, allerdings sind diese dann komplizierter.

Definition: „e-Funktion“

Die Exponentialfunktion \(f:x\mapsto e^x\) mit der Definitionsmenge \(D_f=\IR\)
heißt Exponentialfunktion zur Basis \(e\) bzw. natürliche Exponentialfunktion
oder etwas kürzer einfach nur \(e\)-Funktion.

Die Zahl \(e\)

  • heißt „Eulersche Zahl“,
    wobei näherungsweise gilt: \(e\approx 2{,}71828 18284 59045 …\) .
  • ist die einzige Basis einer Exponentialfunktion, bei der gilt: \(\fs{f}(x) = f(x)\).

Es gilt also: \(\fs{f}(x) = e^x\).

Eigenschaften des Graphen der \(e\)-Funktion

Der Graph der Funktion \(f:x\mapsto e^x\) mit \(D_f=\IR\)

  • schneidet die \(x\)-Achse niemals,
  • verläuft stets oberhalb der \(x\)-Achse,
  • schmiegt sich für \(x \longrightarrow -\infty\) an die \(x\)-Achse an,
  • läuft für \(x \longrightarrow +\infty\)
    in \(y\)-Richtung gegen \(+\infty\),
  • verläuft durch den Punkt \((0|1)\),
  • verläuft durch den Punkt \((1|e)\),
  • ist streng monoton steigend,
  • ist linksgekrümmt.

Die \(y\)-Koordinate eines jeden Punkts von \(G_f\) stimmt mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt überein
(weil \(\fs{f}(x) = f(x)\)).

 

 

Zusammenfassung

Exponentialfunktion zur Basis \(e\) (auch \(e\)-Funktion genannt)

  • \(g(x) = e^x \implies \fs{g}(x) = e^x\)
  • \(e\approx 2{,}71828 18284 59045 …\)
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