Streckung, Verschiebung, Spiegelung des Graphen der allgemeinen Exponentialfunktion

Bereits im vorherigen Abschnitt wurde ersichtlich, dass durch einfache Veränderungen des Funktionsterms der Graph einer Exponentialfunktionen

  • an der \(x\)-Achse bzw. an der \(y\)-Achse gespiegelt werden kann,
  • oder in \(y\)-Richtung gestaucht oder gestreckt werden kann.

Es gibt reale Vorgänge (z.B. Abkühlen eines Heißgetränks, Aufladen eines Kondensators, etc.), bei denen die graphische Darstellung der beobachteten Größe nicht die \(x\)-Achse, sondern eine andere waagrechte Gerade als Asymptote hat. Es zeigt sich, dass in solchen Fällen der Graph einer Exponentialfunktion in \(y\)-Richtung verschoben ist.\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}
\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)

Bemerkung:

Sobald der Graph einer allgemeinen Exponentialfunktion in \(y\)-Richtung verschoben wurde, sollte die zugrunde liegende Funktion nicht mehr als allgemeine Exponentialfunktion bezeichnet werden.

Interaktive Untersuchung

Versuchen Sie mithilfe des folgenden Geogebra-Applets herauszufinden, welche der Parameter \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(k\) in der Funktionsgleichung \(f(x)=a\cdot b^{k\cdot (x-c)}+d\) in welcher Weise verändert werden müssen, um den Graphen von \(f\) …

  • in \(y\)-Richtung zu verschieben
  • in \(y\)-Richtung zu stauchen oder zu strecken
  • an der \(y\)-Achse zu spiegeln
  • in \(x\)-Richtung zu verschieben
  • in \(x\)-Richtung zu stauchen oder zu strecken
  • an der \(x\)-Achse zu spiegeln
  • an seiner waagrechten Asymptote zu spiegeln
 

 

Lösungsvorschläge zu den obigen Aufgaben

Um den Graphen \(G_f\) in \(y\)-Richtung zu verschieben,
muss der Wert der additiven Konstante \(d\) verändert werden.

  • Ist \(d>0\), so wird \(G_f\) um \(d\) nach oben verschoben.
  • Ist \(d<0\), so wird \(G_f\) um \(d\) nach unten verschoben.

Um den Graphen \(G_f\) in \(y\)-Richtung zu stauchen oder zu strecken,
kann man den Wert des konstanten Vorfaktors \(a\) verändern.

  • Ist der Betrag von \(a\) größer als \(1\) (d.h. \(a>1\) oder  \(a<-1\)) ,
    so wird \(G_f\) in \(y\)-Richtung gestreckt.
  • Ist der Betrag von \(a\) kleiner als \(1\) (d.h. \(0<a<1\) oder \(-1<a<0\)) ,
    so wird \(G_f\) in \(y\)-Richtung gestaucht.

Achtung:

Das Stauchungs- bzw. Streckungsverhalten in \(y\)-Richtung ist also entgegengesetzt
zum Stauchungs- bzw. Streckungsverhalten in \(x\)-Richtung.

Ersetzt man die BASIS \(b\) durch den Kehrwert von \(b\) (der Kehrwert \(b\) lautet \(\dfrac{1}{b}\) = \(b^{-1}\)) ,
so wird der Graph der Funktion an der \(y\)-Achse gespiegelt.

Allgemein:

Spiegelt man den Graphen von \(f: x\mapsto b^x\) an der \(y\)-Achse,
so erhält man den Graphen von \(g: x\mapsto \left(\dfrac{1}{b}\right)^x\).

Mit \(\dfrac{1}{b}\) = \(b^{-1}\) ergibt sich die alternative Darstellung:
\(g: x\mapsto b^{{-}1 \cdot x} \quad\) bzw.  \(\quad g: x\mapsto b^{-x}\)

Konkretes Beispiel:

Spiegelt man den Graphen von \(f: x\mapsto \left(\dfrac{2}{3}\right)^x\) an der \(y\)-Achse,
so erhält man den Graphen von \(g: x\mapsto \left(\dfrac{3}{2}\right)^x\).

Alternative Darstellung: \(g: x\mapsto \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-x}\)

Um den Graphen \(G_f\) in \(x\)-Richtung zu verschieben,
kann im Exponenten der Wert von \(c\) verändert werden.

  • Ist \(c>0\), so wird \(G_f\) um \(c\) nach rechts verschoben.
  • Ist \(c<0\), so wird \(G_f\) um \(c\) nach links verschoben.

Achtung:

Dieser Aussage stimmt nur, wenn vor dem \(c\)  ein Minus steht.

Beispiel 1: \(f: x\mapsto -3\cdot 2^{-2x+4}, D_f=\IR\)

\(f(x) = -3\cdot 2^{-2x+6}=-3\cdot 2^{-2\cdot (x-3)}\)

Hier hat \(c\) also den Wert \(3\).

Beispiel 2:

\(g: x\mapsto -2\cdot \left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6x-3}, D_g=\IR\)

\(g(x) = -2\cdot \left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6x-3}=-2\cdot \left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6\cdot(x+\frac{1}{2})}=-2\cdot \left(\tfrac{3}{5}\right)^{-6\cdot \left(x-(-\frac{1}{2})\right)}\)

Hier hat \(c\) also den Wert \(-\dfrac{1}{2}\).

Um den Graphen \(G_f\) in \(x\)-Richtung zu stauchen oder zu strecken,
kann man im Exponenten den Wert des konstanten Faktors \(k\) verändern.

  • Ist der Betrag von \(k\) größer als \(1\) (d.h. \(k>1\) oder  \(k<-1\)) ,
    so wird \(G_f\) in \(x\)-Richtung gestaucht.
  • Ist der Betrag von \(k\) kleiner als \(1\) (d.h. \(0<k<1\) oder \(-1<k<0\)) ,
    so wird \(G_f\) in \(x\)-Richtung gestaucht.

Achtung:

Das Stauchungs- bzw. Streckungsverhalten in \(x\)-Richtung ist also entgegengesetzt zum
Stauchungs- bzw. Streckungsverhalten in \(y\)-Richtung.

so muss man den gesamten Funktionsterm mit \({-}1\) multiplizieren,
damit der Graph \(G_f\) an der \(x\)-Achse gespiegelt wird.

Allgemein:

Spiegelt man den Graphen von \(f: x\mapsto a\cdot b^x + d\) an der \(x\)-Achse,
so erhält man den Graphen von \(g: x\mapsto -a\cdot b^x – d\).

Konkretes Beispiel:

Spiegelt man den Graphen von \(f: x\mapsto -3\cdot 2^x+4\) an der \(x\)-Achse,
so erhält man den Graphen von \(g: x\mapsto 3\cdot 2^x-4\).

Ersetzt man den konstanten Vorfaktor \(a\) durch Wert von \(-a\)
 (d.h. dreht man das Vorzeichen von \(a\) um) ,
so wird der Graph \(G_f\) an seiner waagrechten Asymptote gespiegelt.

Allgemein:

Der Graph von \(f: x\mapsto a\cdot b^x + d\) hat die Gerade mit der Gleichung \(y=d\) als waagrechte Asymptote.

Spiegelt man den Graphen von \(f: x\mapsto a\cdot b^x + d\) an seiner waagrechten Asymptote,
so erhält man den Graphen von \(g: x\mapsto -a\cdot b^x + d\).

Sowohl \(G_f\) als auch \(G_g\) haben die Gerade mit der Gleichung \(y=d\) als waagrechte Asymptote.

Konkretes Beispiel:

Spiegelt man den Graphen von \(f: x\mapsto -3\cdot 2^x + 1\) an seiner waagrechten Asymptote,
so erhält man den Graphen von \(g: x\mapsto 3\cdot 2^x + 1\).

Sowohl \(G_f\) als auch \(G_g\) haben die Gerade mit der Gleichung \(y=1\) als waagrechte Asymptote.

Aufgabe: Zuordnen des Funktionsterms zum passenden Graphen

Klicken Sie zunächst den Funktionsgraphen an, welcher Ihrer Meinung nach zum vorgegebenen Funktionsterm passt.

Danach können Sie

  • sich die Gleichung des angeklickten Graphen anzeigen lassen (Häkchen in der gleichlautenden Zeile setzen)
  • kontrollieren, ob Sie den richtigen Graphen angeklickt haben (Schaltfäche  Kontrolle  anklicken)

Um einen neuen Funktionsterm und neue Funktionsgraphen zu erhalten, klicken Sie auf die Schaltfläche  Neu .

Tipps:

Um den richtigen Graphen zu finden, können Sie sich z.B.

  • an der die Höhe der waagrechte Asymptoten
  • am Steigungsverhalten bzw. am Krümmungsverhalten  des jeweiligen Graphen
  • an evtl. Nullstellen oder \(y\)-Achsenabschnitten

orientieren.

 

 

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