Der Logarithmus einer Zahl zur Basis b

Im vorherigen Abschnitt wurde eine Rechenart vorgestellt, die aus der Idee entspringt, eine kürzere Schreibweise für ein Produkt mit lauter gleichen Faktoren zu erfinden: \(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}}\newcommand{\IN}{\mathrm{I\!N}}\newcommand{\IZ}{\mathrm{Z\!\!Z}}\newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)

Das Potenzieren

Für natürliche Zahlen \((1, 2, 3, …)\) kann man das Potenzieren einfach beschreiben:

Beim Potenzieren wird eine Zahl mehrmals mit sich selbst multpliziert.

Beispiel:

Anstelle von \(2\cdot 2\cdot 2\) schreibt man kurz \(2^3\).
Hier wird die Zahl \(2\) mit der Zahl \(3\) potenziert.
Der Rechenausdruck (Term) \(2^3\) heißt Potenz.

In der Potenz \(2^3\) ist

• die Zahl \(2\) die Basis der Potenz.
• die Zahl \(3\) der Exponent (oder auch die Hochzahl) der Potenz.

Sonderfall:

\(2^1=2\) oder allgemein \(b^1=b\) für \(b\in\IR^+\).

In diesem Abschnitt wird nun eine Rechenart vorgestellt, die es erlaubt, die Hochzahl („Exponent“) einer Potenz zu ermitteln:

Das Logarithmieren

Für natürliche Zahlen \((1, 2, 3, …)\) kann man das Logarithmieren einfach beschreiben:

Durch das Logarithmieren findet man heraus, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um einen vorgegebenen Wert zu erhalten.

„Logarithmieren“ bedeutet also:

• die Hochzahl zu einer vorgegebenen Basis zu berechnen, die nötig ist, damit die dadurch beschriebene Potenz einen bestimmten Wert erhält.

• die Hochzahl aus einer Potenz, deren Wert man kennt, bzgl. einer vorgebenen Basis zu „herauszufiltern“.

• den sog. „Logarithmus“ einer Zahl bzgl. einer vorgebebenen Basis zu berechnen (wird weiter unten genauer erklärt).

Beispiel:

Um den gesuchten Wert in der Gleichung \(2^x = 8\) zu beschreiben,
sind folgende Schreibweisen vollkommen gleichwertig:

• \(x\) ist die Hochzahl, die über der Basis \(2\) benötigt wird, um \(8\) zu erhalten.
• \(x\) ist der Logarithmus von \(8\) bzgl. der Basis \(2\).
• \(x = \log_2(8) = 3\)

Hier wird die Zahl \(8\) bzgl. der Basis \(2\) logarithmiert.

Rechnen mit Logarithmen

Gleichungen, bei denen die Unbekannte \(x\) nur als Exponent (Hochzahl) vorkommt, heißen Exponential-Gleichungen.

Beispiele

\(2^x = 16\)
\(\implies 2^x = 2^4\)
\(\implies x = 4\)

\(3^x = \frac{1}{9}\)
\(\implies 3^x = \frac{1}{3^2}\)
\(\implies 3^x = 3^{-2}\)
\(\implies x = -2\)

\(8^x = 16\)
\(\implies \left(2^3\right)^x = 2^4\)
\(\implies 2^{3\cdot x} = 2^4\)
\(\implies 3x = 4\)
\(\implies x = \dfrac{4}{3}\)

\(2^x = 10\)
\(\implies ???\)

Um die Lösung der Gleichung \(\color{red}{2}^\color{blue}{x} = \color{magenta}{10}\) beschreiben zu können, benötigt man das mathematische Hilfsmittel, mit dem man an den Exponenten (die Hochzahl) in der Potenz \(\color{red}{2}^\color{blue}{x}\) herankommt.

Dieses Hilfsmittel hat den Namen „Logarithmus zur Basis \(2\)“ bekommen.

Wer genau hinschaut, merkt, dass „Logarithmus“ nichts anderes als „Exponent“ oder „Hochzahl“ heißt.

Beispiele

\(\color{red}{2}^x = 16\) \(\implies x = \log_\color{red}{2}(16) =4\)

\(\color{red}{3}^x = \frac{1}{9}\) \(\implies x = \log_\color{red}{3}( \frac{1}{9}) = -2\)

\(\color{red}{8}^x = 16\) \(\implies x = \log_\color{red}{8}(16) =\frac{4}{3}\)

\(\color{red}{2}^x = 10\) \(\implies x = \log_\color{red}{2}(10)\).

Einen Näherungswert von \(\log_\color{red}{2}(10)\) liefert der Taschenrechner: \(\log_\color{red}{2}(10)\approx 3{,}321928094887363\).

Weitere wichtige Beispiele

• \(\log_\color{red}{b}(1) = \log_\color{red}{b}(b^0) = 0\),  weil \(b^0 = 1\) ist.

• \(\log_\color{red}{b}(b) = \log_\color{red}{b}(b^1) = 1\), weil \(b^1 = b\) ist.

• \(\log_\color{red}{b}\left(\frac{1}{b}\right) = \log_\color{red}{b}(b^{-1}) = -1\), weil \(b^{-1} = \frac{1}{b}\) ist.

• \(\log_\color{red}{b}(b^x) = x\),  weil \(x\) die Hochzahl ist, mit der man \(b\) potenzieren muss, um \(b^x\) zu erhalten.

Logarithmus-Rechenregeln

Studieren Sie im folgenden Geogebra-Applet

• die Definition des Logarithmus für verschiedene Basen,
• die Logarithmus-Rechenregeln und
• die Herleitung für die Logarithmus-Rechenregeln.

Berechnung eines Logarithmus durch einen anderen Logarithmus

Mithilfe des Logarithmus-Rechengesetzes für den „Logarithmus von einer Potenz“ (\(\log_c(b^x) = x \cdot \log_c(b)\))
kann man die sog. „Basis-Wechsel-Formel“  herleiten:

(1) \(\color{red}{b}^x = w \implies x = \log_\color{red}{b}(w) \)

(2) \(\color{red}{b}^x = w \implies \log_\color{blue}{c}(\color{red}{b}^x) = \log_\color{blue}{c}(w) \implies x \cdot \log_\color{blue}{c}(\color{red}{b}) = \log_\color{blue}{c}(w) \implies x = \dfrac{\log_\color{blue}{c}(w)}{\log_\color{blue}{c}(\color{red}{b})}\)

Aus (1) und (2) folgt: \(\log_\color{red}{\color{red}{b}}(w) = \dfrac{\log_\color{blue}{c}(w)}{\log_\color{blue}{c}(\color{red}{b})}\)  („Basis-Wechsel-Formel“)

Aufgabe zu Logarithmus-Regeln

Im folgenden Geogebra-Applet ist eine Wertetabelle mit ein paar ausgewählten Logarithmus-Werten bzgl. einer voreingestellten Basis angegeben.

Ziel:

Es soll ein bestimmter weiterer Logarithmus-Wert berechnet werden, und

• zwar ohne Verwendung eines Taschenrechners
• nur unter Verwendung der Werte aus der Wertetabelle
• und unter Anwendung der Logarithmus-Rechengesetze.

Auftrag:

• Versuchen Sie zunächst, diesen Logarithmus-Wert selber zu berechnen.
• Überprüfen Sie Ihre Ergebnis anschließend anhand der angebotenen Lösung.
• Beobachten Sie in der Lösung auch, wie sich der Rechenweg verändert, wenn Sie eine andere Basis für den Logarithmus einstellen.

Ergänzung:

Wenn Sie das Häkchen bei der Option „zufällig“ entfernen, können Sie einen konkreten Bruch selber einstellen.