Exponentialgleichungen \(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}
\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}\)

In einem Labor werden in einer speziellen Nährlösung Bakterien gezüchtet. Das Wachstum der Bakterien kann anhand der Verfärbung in der Nährlösung beobachtet werden. Die Anzahl der Bakterien in der Nährlösung zum Zeitpunkt \(t\) (in Stunden seit Beobachtungsbeginn) wird mit \(N(t)\) bezeichnet. Aufgrund von verschiedenen Erfahrungswerten geht man davon aus, dass gilt: \(N(t) = 100 \cdot 3^t\) mit \(t \geq 0\) .

Es interessiert z.B. der Zeitpunkt, zu dem \(150\) Bakterien in der Kolonie vorhanden sind. Gesucht ist also derjenige Wert für die Variable \(t\), für den gilt: \(N(t) = 150\).

Ersetzt man \(N(t)\) durch den vorgegebenen Term \(100 \cdot 3^t\), so erhält man die Gleichung

\(100 \cdot 3^t = 150\)

Diese Gleichung ist eine sog. Exponentialgleichung, da die Variable \(t\) im Exponenten steht.

Lösen der Gleichung durch Logarithmieren

Achtung:

Der Logarithmus sollte erst dann angewendet werden, wenn die Potenz \(3^t\) alleine auf einer Seite steht.

\(\begin{array}{rclcl}
100 \cdot 3^t &=& 150  &|& : 100 \\
3^t  &=& 1{,}5 &|& \log_3(…) \\
t &=& \log_3 (1{,}5) \approx 0{,}369 \\
\end{array}\)

Nach \(0{,}369\) Stunden befinden sich \(150\) Bakterien in der Kolonie.

Erinnerung: Logarithmus

Der Exponent \(x\) in der Gleichung \(y = b^x\)  wird als Logarithmus von \(y\) zur Basis \(b\) bezeichnet, es gilt also:

\(x = \log_b(y)\)

Beispiel:

\(8 = 2^x \quad \Rightarrow \quad x = \log_2(8) = 3\)  (da \(8 = 2^3\))

Taschenrechner-Taste:

\(\log_{\square} \square\)

Wenn man den Logarithmus sofort anwendet, ohne dass die Potenz \(3^t\) alleine auf einer Seite steht, muss man weitere Logarithmusgesetze anwenden, um den Wert für \(t\) ermitteln zu können:

\(\begin{array}{rclcl}
100 \cdot 3^t & = & 150   & | & \log_3(…) \\
\log_3(100 \cdot 3^t) & = & \log_3(150)  & | & \log_3(c\cdot d) =  \log_3(c) + \log_3(d)\\
\log_3(100) + \log_3(3^t) & = & \log_3(150)  & | & -\ \log_3(100)\\
t & = & \log_3(150)\ -\ \log_3(100) & | & \log_3(c)\ -\ \log_3(d) = \log_3(c : d)\\
t & = & \log_3 (1{,}5) \approx 0{,}369 &&\\
\end{array}\)

Lösung durch Logarithmieren

Beispiel 1

\(\begin{array}{rclcl}
3 \cdot 2^{5x-1} &=& 21  &|& : 3 \\
2^{5x-1} &=& 7  &|& \log_2(…) \\
5x-1 &=& \log_2 (7)  &|& + 1 \\
5x &=& \log_2 (7) + 1  &|& : 5 \\
x &=& \dfrac{\log_2 (7) + 1}{5} \approx 0{,}761\\
\end{array}\)

Beispiel 2

\(\begin{array}{rclcl}
3 \cdot 2^{5x-1} &=& 21  &|& : 3 \\
2^{5x-1} &=& 7  &|& \log_2(…) \\
5x-1 &=& \log_2 (7)  &|& + 1 \\
5x &=& \log_2 (7) + 1  &|& : 5 \\
x &=& \dfrac{\log_2 (7) + 1}{5} \approx 0{,}761\\
\end{array}\)

Lösung durch Logarithmieren mit „fremder Basis“

Beispiel

\(2 \cdot 3^{4x-2} = 6 \cdot 4^{x+1}\)

Da in der Gleichung verschiedene Potenzen mit unterschiedlicher Basis auftreten, wird der Umformungsaufwand deutlich größer. Um hier an die Exponenten heranzukommen, muss man früher oder später mit einer „fremden“ Basis logarithmieren.

\(\begin{array}{rclcl}
2 \cdot 3^{4x-2} &\!\!=&\!\! 6 \cdot 4^{x+1}  &\!\!|&\!\!\!\! log_5(…) \\
\log_5(2 \cdot 3^{4x-2}) &\!\!=&\!\! \log_5(6 \cdot 4^{x+1})  &\!\!|&\!\!\!\!\textsf{Log-Gesetz} \\
\log_5(2) + log_5(3^{4x-2}) &\!\!=&\!\! \log_5(6) + log_5(4^{x+1})  &\!\!|& \!\!\!\!\textsf{Log-Gesetz} \\
\log_5(2) + (4x-2)\cdot \log_5(3) &\!\!=&\!\! \log_5(6) + (x+1)\cdot \log_5(4)  &\!\!|& \!\!\!\!\textsf{Umsortieren} \\
(4x-2)\cdot \log_5(3)\ -\ (x+1)\cdot \log_5(4) &\!\!=&\!\! \log_5(6)\ -\ \log_5(2)  &\!\!|& \!\!\!\!\textsf{Ausmultiplizieren} \\
4x\cdot \log_5(3)\ -\ 2\cdot \log_5(3)\ -\ \left(x\cdot \log_5(4)+\log_5(4)\right) &\!\!=&\!\! \log_5(6:2)  &\!\!|& \!\!\!\!\textsf{Umsortieren} \\
4x\cdot \log_5(3)\ -\ x\cdot \log_5(4) &\!\!=&\!\! \log_5(3) + 2\cdot \log_5(3)  + \log_5(4) &\!\!|& \!\!\!\!\textsf{x ausklammern} \\
x\cdot\left(4\cdot \log_5(3)\ -\ \log_5(4)\right) &\!\!=&\!\! \log_5(3) + \log_5(3^2)  + \log_5(4) &\!\!|& \!\!\!\!\textsf{Dividieren} \\
x &\!\!=&\!\! \dfrac{\log_5(3\ \cdot\ 3^2\ \cdot\ 4)}{4\cdot \log_5(3)\ -\ \log_5(4)} &\!\!|& \!\!\!\!\textsf{Zusammenfassen} \\
x &\!\!=&\!\! \dfrac{\log_5(108)}{\log_5\left((3^4):4\right)} \approx 1{,}56 \\
\end{array}\)

Der Schreibaufwand wird minimal geringer und die Darstellung ein bisschen besser lesbar, wenn man anstelle von \(\log_5\) den Logarithmus \(\log_e\) anwendet, denn für diesen gibt es bekanntlich die Kurzschreibweise \(ln = \log_e\)  (sog. „logarithmus naturalis“, „natürlicher Logarithmus“, Logarithmus zur Basis \(e\)).

\(\begin{array}{rclcl}
2 \cdot 3^{4x-2} &=& 6 \cdot 4^{x+1}  &|& \ln(…) \\
\ln(2 \cdot 3^{4x-2}) &=& \ln(6 \cdot 4^{x+1})  &|& \textsf{Logarithmusgesetz} \\
\ln(2) + \ln(3^{4x-2}) &=& \ln(6) + \ln(4^{x+1})  &|& \textsf{Logarithmusgesetz} \\
\ln(2) + (4x-2)\cdot \ln(3) &=& \ln(6) + (x+1)\cdot \ln(4)  &|& \textsf{Umsortieren} \\
(4x-2)\cdot \ln(3)\ -\ (x+1)\cdot \ln(4) &=& \ln(6)\ -\ \ln(2)  &|& \textsf{Ausmultiplizieren} \\
4x\cdot \ln(3)\ -\ 2\cdot \ln(3)\ -\ \left(x\cdot \ln(4)+\ln(4)\right) &=& \ln(6:2)  &|& \textsf{Umsortieren} \\
4x\cdot \ln(3)\ -\ x\cdot \ln(4) &=& \ln(3) + 2\cdot \ln(3)  + \ln(4) &|& \textsf{x ausklammern} \\
x\cdot\left(4\cdot \ln(3)\ -\ \ln(4)\right) &=& \ln(3) + \ln(3^2)  + \ln(4) &|& \textsf{Dividieren} \\
x &=& \dfrac{\ln(3\ \cdot\ 3^2\ \cdot\ 4)}{4\cdot \ln(3)\ -\ \ln(4)} &|& \textsf{Zusammenfassen} \\
x &=& \dfrac{\ln(108)}{\ln\left((3^4):4\right)} \approx 1{,}56 \\
\end{array}\)

Lösung durch Exponentenvergleich

Exponentialgleichungen der Form \(b^{T_1}=b^{T_2} \) können durch direkten Vergleich der Exponenten \(T_1\) und \(T_2\) gelöst werden, da die gleiche Basis \(b\) vorliegt.

\(\begin{array}{lrcl}
& b^{T_1} &=& b^{T_2} \\
\Rightarrow & T_1 &=& T_2\\
\end{array}\)

Beispiel 1

\(\begin{array}{lrcl}
& 2^x &=& 2^5 \\
\Rightarrow & x &=& 5\\
\end{array}\)

Beispiel 2

\(\begin{array}{lrcl}
& 5^{4x-2} &=& 5^{-2x-6} \\
\Rightarrow & 4x-2 &=& -2x-6 \\
\Rightarrow & 6x &=& -4\\
\Rightarrow & x &=& -\frac{4}{6} \\
\Rightarrow & x &=& -\frac{2}{3}\\
\end{array}\)

Beispiel 3

\( 25^{2x-3} = 125^{4x+1}\)

Wenn Potenzen mit unterschiedlicher Basis vorkommen, lohnt es sich, zu prüfen, ob man alle vorkommenden Basen jeweils als Potenz einer gemeinsamen Basis darstellen kann.

Die Basis \(25\) und die Basis \(125\) können beide als Potenzen zur Basis \(5\) dargestellt werden:

\(\begin{array}{lrcl}
& 25^{2x-3} &=& 125^{4x+1}\\
\Rightarrow & (5^2)^{2x-3} &=& (5^3)^{4x+1}\\
\Rightarrow & 5^{2\ \cdot\ (2x-3)} &=& 5^{3\ \cdot\ (4x+1)}\\
\Rightarrow & 4x-6 &=& 12x+3\\
\Rightarrow & -8x &=& 9\\
\Rightarrow & x &=& -\frac{9}{8}\\
\end{array}\)

Lösung durch Substitution

Wenn Summen oder Differenzen von Potenzen mit derselben Basis (z.B. \(b=2\)) aber verschiedenen Exponenten (z.B. \(2^x\), \(2^{3x}\), \(2^{-x}\)) vorkommen oder eine Potenz direkt im Nenner auftritt (z.B. \(\frac{4}{2^x}\)), kann eine Lösung durch Substitution versucht werden.

Beispiel 1

\(\begin{array}{lrclcl}
& 3^{2x} +2 \cdot 3^{x} &=& 8 & & \\
\Rightarrow & 3^{2x} +2 \cdot 3^{x} &=& 8 &|&  \textsf{Potenzgesetz: }3^{2x} = (3^x)^2 \\
\Rightarrow & (\color{magenta}{3^x})^2 +2 \cdot \color{magenta}{3^{x}} &=& 8 &|& \color{magenta}{\bf\textsf{Substitution: } 3^x = z} \\
\Rightarrow & \color{magenta}{z}^2 +2 \cdot \color{magenta}{z}  &=& 8 &|& \textsf{quadratische Gleichung} \\
\Rightarrow & z^2 +2z\ -\ 8 &=& 0 & & \\
\Rightarrow & z_{1/2} &=& \dfrac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1} & & \\
\end{array}\)

\(\begin{array}{lrclcl}
\Rightarrow & \color{magenta}{z_1}=2  &\lor & \color{magenta}{z_2}=-4 &|& \color{magenta}{\bf\textsf{Resubstitution: } z = 3^x} \\
\Rightarrow & \color{magenta}{3^x}=2 &\lor & \color{magenta}{3^x}=-4 \color{red}{\text{ (unmöglich)}} & & \\
\Rightarrow & x=\log_3(2) & & & &\\
\end{array}\)

Die einzige Lösung der Gleichung \(3^{2x} +2 \cdot 3^{x} = 8\) lautet somit \(x=\log_3 (2) \approx 0{,}631\).

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