Zusammenhang zwischen Ausgangsgraph und Ableitungsgraph
Wiederholung
Bei der Ermittlung von Monotonieintervallen wird eine Skizze des Graphen der ersten Ableitung erstellt und daraus auf die Existenz und Art von Extremstellen und die Art der Monotonie geschlossen.
Aus der ersten Ableitung \(f^{\large\prime}\) können folgende Schlussfolgerungen gezogen werden:
Hat \(f^{\large\prime}\) an der Stelle \(x_0\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, dann hat \(G_f\) bei \(x_0\) eine Extremstelle.
bei \(x_0\) Vorzeichenwechsel in \(f^{\large\prime}\) von \(+\) nach \(-\) \(\quad \Rightarrow \quad\) Hochpunkt in \(G_f\)
bei \(x_0\) Vorzeichenwechsel in \(f^{\large\prime}\) von \(-\) nach \(+\) \(\quad \Rightarrow \quad\) Tiefpunkt in \(G_f\)
Aus der zweiten Ableitung \(f^{\large\prime\large\prime}\) können folgende Schlussfolgerungen gezogen werden:
Hat \(f^{\large\prime\large\prime}\) an der Stelle \(x_0\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, dann hat \(G_f\) bei \(x_0\) eine Wendestelle.
Diese Zusammenhänge zwischen Ausgangsfunktion und Ableitungsfunktionen lassen sich übersichtlich in der sogenannten NEW-Regel darstellen.
NEW-Regel
\[\begin f & \text & \text & \text & & \\ \hline f^ & & \text & \text & \text & \\ \hline f^ & & & \text & \text & \text \end\]
bzw. in kurzer Darstellung
\[\begin f & \text & \text & \text & & \\ \hline f^ & & \text & \text & \text & \\ \hline f^ & & & \text & \text & \text \end\]
Beispiel
Wir betrachten einen Ausschnitt des Graphen \(G_{f^{\large\prime}}\) der Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\) einer ganzrationalen Funktion \(f\) mit \(D_f=\mathrm{I\!R}\).
a) Ordnen Sie die Begriffe an den passenden Stellen des Ableitungsgraphen \(G_{f^{\large\prime}}\) zu.
b) Mit Hilfe der NEW-Regel kann man den Stellen bzw. Bereichen des Ableitungsgraphen \(G_{f^{\large\prime}}\) die entsprechenden Bedeutungen für den Graphen \(G_f\) zuordnen. Finden Sie dazu die passende Aussage für \(G_f\).
