Tangentensteigung und Tangentengleichung

Berechnung der Steigung \(m_t\) der Tangente mit der Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\)

Wiederholung

Aus vorherigen Kapiteln ist folgendes bekannt:

Ist \(f\) eine in einem Intervall \(I\) differenzierbare (ableitbare) Funktion, dann ordnet die Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\) jeder Stelle \(x_0\in I\) die Steigung \(m_t\) der Tangente am Graphen von \(f\) im Punkt \(P\bigl(x_0|f(x_0)\bigr)\) zu.

Der Term \(f^{\large\prime}(x)\) der Ableitungsfunktion kann mithilfe der Ableitungsregeln schnell ermittelt werden.

Berechnung der Steigung der Tangente am Graphen von \(f\) im Punkt \(P\bigl(x_0|f(x_0)\bigr)\)

Da die Steigung der Tangente am Graphen von \(f\) gleich dem Funktionswert \(f^{\large\prime}(x_0)\) der Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\) an der Stelle \(x_0\) ist, kann \(m_t\) nun einfach durch Einsetzten der Stelle \(x_0\) in \(f^{\large\prime}(x)\) erfolgen.

Es gilt also: \(m_t = f^{\large\prime}(x_0)\)

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Erinnerung: Bedeutung der Tangentensteigung

Beispiel 1

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)= 3x^2-4x\) und der Definitionsmenge \(D_f = \mathrm{I\!R}\).

Berechnen Sie jeweils die Steigung der Tangente am Graphen von \(f\) im Punkt \(P\bigl(1|f(1)\bigr)\) und im Punkt \(Q\left(-\frac{1}{2}\middle|f(-\frac{1}{2})\right)\).

Beispiel 2

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)= -\frac{1}{2}x^3+x^2+2x-1\) und der Definitionsmenge \(D_f = \mathrm{I\!R}\).

Berechnen Sie die Steigung der Tangente am Graphen von \(f\) in den Punkten \(A\bigl(-2|f(-2)\bigr)\), \(B\left(-\frac{2}{3}\middle|f(-\frac{2}{3})\right)\), \(C\bigl(0|f(0)\bigr)\).

Bestimmung der Tangentengleichung

Eine Gerade, die den Graphen \(G_f\) einer Funktion \(f\) im Punkt \(P_0(x_0|f(x_0))\) nur berührt, heißt Tangente am Graphen \(G_f\) im Punkt \(P_0\).

Eine Gerade lässt sich bekanntlich durch eine Koordinatengleichung beschreiben (sog. Geradengleichung), z.B.

• \(y =m\cdot x + t\)  (allgemeine Form)
• \(y =m\cdot(x-x_0)+y_0\) (Punkt-Steigungsform)

Handelt es sich bei der Geraden um eine Tangente, nennt man die zugehörige Gleichung auch Tangentengleichung.

Um die Gleichung einer Tangente aufstellen zu können, benötigen wir

• die Steigung \(m_t\) der Tangente:
  Die Steigung der Tangente berechnen wir durch: \(m_t = f^{\large\prime}(x_0)\).

• die Koordinaten des Berührpunkts \(P_0\):
  Wenn die \(y\)-Koordinate des Berührpunktes \(P_0\) noch nicht direkt gegeben ist, müssen wir sie zunächst berechnen. Dazu setzen wir \(x_0\) in den Funktionsterm \(f(x)\) ein: \(y_0=f(x_0)\)

Somit können wir die Tangentensteigung \(m_t\) und die Koordinaten von \(P_0\) direkt in die Punkt-Steigungsform der Geradengleichung einsetzen und erhalten

• \(y =f^{\large\prime}(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)\) (Punkt-Steigungsform der Tangentengleichung)

Beispiel 3 (Tangentengleichung)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)= 3x^2-4x\) und der Definitionsmenge \(D_f = \mathrm{I\!R}\).

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente am Graphen von \(f\)
a) im Punkt \(P\bigl(1|f(1)\bigr)\)
b) im Punkt \(Q\left(-\frac{1}{2}\middle|f(-\frac{1}{2})\right)\).

Beispiel 4 (Tangentengleichung)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)= -\frac{1}{2}x^3+x^2+2x-1\) und der Definitionsmenge \(D_f = \mathrm{I\!R}\).

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente am Graphen von \(f\) in den Punkten \(A\bigl(-2|f(-2)\bigr)\), \(B\left(-\frac{2}{3}\middle|f\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\), \(C\bigl(0|f(0)\bigr)\), \(D\bigl(2|f(2)\bigr)\) und \(E\bigl(3|f(3)\bigr)\).