Aufgaben zu Monotonie und Extrempunkten
\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}
\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}\)
Aufgabe 1
Ermitteln Sie rechnerisch die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion \(f\) mit \(D_f=\IR\).
Zeichnen Sie anschließend den Graphen von f im angegebenen Zeichenbereich in ein Koordinatensystem.
a) \(f:x\mapsto 6x^3-3x^2\), Zeichenbereich für \(G_f: -0,5 \leq x \leq 1\) (Niveaustufe: I)
b) \(f:x\mapsto -2x^3+8x\), Zeichenbereich für \(G_f: -2 \leq x \leq 2\) (Niveaustufe: I)
c) \(f:x\mapsto \frac {1}{12} x^3+ \frac 12 x^2- \frac 54 x+ \frac 14\), Zeichenbereich für \(G_f: -7 \leq x \leq 4\) (Niveaustufe: I)
d) \(f:x\mapsto \frac 13 x^3-3x^2+9x-3\), Zeichenbereich für \(G_f: -2 \leq x \leq 2\) (Niveaustufe: II)
- Bilde den Term \(\abl{f}(x)\) der Ableitungsfunktion
- Berechne die Nullstellen von \(f^{\large\prime}\)
- Skizziere den Graphen \(G_{f^{\large\prime}}\) und trage die Vorzeichen von \(f^{\large\prime}\) ein.
- Schließe auf die Monotonieintervalle
\(f^{\large\prime}(x)\) positiv \(\quad \Rightarrow \quad G_f\) ist streng monoton steigend
\(f^{\large\prime}(x)\) negativ \(\quad \Rightarrow \quad G_f\) ist streng monoton fallend - Ermittle die Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte
Setze dazu jeweils die Extremstelle \(x_E\) in \(f(x)\) ein und berechne den \(y\)-Wert des Extrempunktes
\(f(x)= 6x^3-3x^2\)
\(\fs{f}(x)=18x^2-6x\)
Nullstellen von \(\fs{f}\)
\(\fs{f}(x)= 0\)
\(18x^2-6x=0 \)
\(x(18x-6)=0\) \(\quad \Rightarrow \quad x_1=0\), \(x_2=\frac 13 \) (beides einfache Nullstellen von \(f^{\large\prime}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{\fs{f}}\)
\(G_f\) : \(\nearrow\) H \(\searrow\) T \(\nearrow\)
Maximale Monotonieintervalle:
\(G_f\) ist in \(]-\infty; 0]\) streng monoton steigend.
\(G_f\) ist in \([0; \frac 13]\) streng monoton fallend.
\(G_f\) ist in \([\frac 13; +\infty[\) streng monoton steigend.
Lokale Extrempunkte:
bei \(x_1 = 0\): Vorzeichenwechsel von \(+\) zu \(-\) in \(\fs{f} \Rightarrow\) lokaler Hochpunkt in \(G_f\)
\(f(0)= 0 \quad \Rightarrow \quad H(0|0) \)
bei \(x_2 = \frac 13\): Vorzeichenwechsel von \(-\) zu \(+\) in \(\fs{f} \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt in \(G_f\)
\(f(\frac 13)= – \frac 19 \quad \Rightarrow \quad T(\frac 13|-\frac 19) \)
\(\)
Zeichnung des Graphen \(G_f\)
\(f(x)= -2x^3+8x\)
\(\fs{f}(x)=-6x^2+8 \)
Nullstellen von \(f^{\large\prime}\)
\(\fs{f}(x)= 0\)
\(-6x^2+8=0 \)
\(x^2=\frac{4}{3}\) \(\quad \Rightarrow \quad x_1=-\sqrt{\frac{4}{3}} \approx -1,16\), \(x_2=\sqrt{\frac{4}{3}} \approx 1,16\) (beides einfache Nullstellen von \(\fs{f}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{\fs{f}}\)
\(G_f\) : \(\searrow\) H \(\nearrow\) T \(\searrow\)
\(\)
Maximale Monotonieintervalle:
\(G_f\) ist in \(\left]-\infty; -\sqrt{\frac{4}{3}}\right]\) streng monoton fallend
\(G_f\) ist in \(\left[-\sqrt{\frac{4}{3}}; \sqrt{\frac{4}{3}}\right]\) streng monoton steigend
\(G_f\) ist in \(\left[\sqrt{\frac{4}{3}}; +\infty\right[\) streng monoton fallend
Lokale Extrempunkte:
bei \(x_1 = -\sqrt{\frac{4}{3}}\): Vorzeichenwechsel von \(-\) zu \(+\) in \(\fs{f} \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt in \(G_f\)
\(f\left(-\sqrt{\frac{4}{3}}\right) \approx -1,16 \quad \Rightarrow \quad T\left(-\sqrt{\frac{4}{3}}|-1,16\right) \)
bei \(x_2 = \sqrt{\frac{4}{3}}\): Vorzeichenwechsel von \(+\) zu \(-\) in \(\fs{f} \Rightarrow\) lokaler Hochpunkt in \(G_f\)
\(f\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right) \approx 1,16 \quad \Rightarrow \quad H\left(\sqrt{\frac{4}{3}}|1,16\right) \)
\(\)
Zeichnung des Graphen \(G_f\)
\(f(x)= \frac {1}{12} x^3+ \frac 12 x^2- \frac 54 x+ \frac 14\)
\(\fs{f}(x)=\frac 14 x²+x- \frac 54\)
Nullstellen von \(\fs{f}\)
\(\fs{f}(x)= 0\)
\(\frac 14 x²+x- \frac 54 =0\) | \(\cdot 4\) (vereinfachen)
\(x²+4x-5=0 \)
\(x_{ 1/2} = \dfrac{ -4 \pm\sqrt{ 16-4\cdot 1 \cdot (-5) } }{2 \cdot 1}\) \(\quad \Rightarrow \quad x_1=-5, x_2=1 \) (beide einfache Nullstellen von \(\fs{f}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\)
\(G_f\) : \(\nearrow\) H \(\searrow\) T \(\nearrow\)
\(\)
Maximale Monotonieintervalle:
\(G_f\) ist in \(]-\infty; -5]\) streng monoton steigend
\(G_f\) ist in \([0; 1]\) streng monoton fallend
\(G_f\) ist in \([1; +\infty[\) streng monoton steigend
Lokale Extrempunkte:
bei \(x_1 = -5\): Vorzeichenwechsel von \(-\) zu \(+\) in \(\fs{f} \Rightarrow\) lokaler Hochpunkt in \(G_f\)
\(f(-5) \approx 8,58 \quad \Rightarrow \quad H(-5|8,58) \)
bei \(x_2 = 1\): Vorzeichenwechsel von \(+\) zu \(-\) in \(\fs{f} \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt in \(G_f\)
\(f(1) \approx -0,42 \quad \Rightarrow \quad T(1|-0,42) \)
\(\)
Zeichnung des Graphen \(G_f\)
\(f^{\large\prime}(x)=x²-6x+9\)
Nullstellen von \(f^{\large\prime}\)
\(f^{\large\prime}(x)= 0\)
\(x²-6x+9=0 \) | (binomische Formel anwenden)
\((x-3)^2=0 \) \(\quad \Rightarrow \quad x_{1/2}=3\) (doppelte Nullstelle von \(f^{\large\prime}\) ohne Vorzeichenwechsel)
Alternative Berechnung: \(x²-6x+9=0 \) (mit der Lösungsformel lösen)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\)
\(G_f\) : \(\nearrow\) \(TEP\) \(\nearrow\)
\(\)
Maximale Monotonieintervalle:
\(G_f\) ist in \(]-\infty; 3]\) streng monoton steigend
\(G_f\) ist in \([3; +\infty[\) streng monoton steigend
oder einfach so:
\(G_f\) ist in \(]-\infty; +\infty[\) streng monoton steigend
Lokale Extrempunkte:
Der Graph \(G_f\) besitzt keine lokalen Extrempunkte, da \(f^{\large\prime}\) keinen Vorzeichenwechsel hat.
Anmerkung:
An der Stelle \(x = 3\) hat \(G_f\) einen sogenannten Terrassenpunkt (TEP), da \(G_{f^{\large\prime}}\) dort eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel besitzt. Dies wird später im Kapitel zu Wendepunkten genauer besprochen.
\(\)
Zeichnung des Graphen \(G_f\)
Aufgabe 2
Ermitteln Sie rechnerisch die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion \(f\) mit \(D_f=\IR\).
a) \(f(x)= \frac 16 x^4- 2x^3+6x^2-1\) (Niveaustufe: I)
b) \(f(x)= \frac 12 x^4-3x^2+2\) (Niveaustufe: I)
c) \(f(x)= \frac 14 x^4 -\frac 56 x^3 -\frac 72 x^2+4x\) (Niveaustufe: II)
- Bilde den Term \(\abl{f}(x)\) der Ableitungsfunktion
- Berechne die Nullstellen von \(f^{\large\prime}\)
- Skizziere den Graphen \(G_{f^{\large\prime}}\) und trage die Vorzeichen von \(f^{\large\prime}\) ein.
- Schließe auf die Monotonieintervalle
\(f^{\large\prime}(x)\) positiv \(\quad \Rightarrow \quad G_f\) ist streng monoton steigend
\(f^{\large\prime}(x)\) negativ \(\quad \Rightarrow \quad G_f\) ist streng monoton fallend - Ermittle die Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte
Setze dazu jeweils die Extremstelle \(x_E\) in \(f(x)\) ein und berechne den \(y\)-Wert des Extrempunktes
\(f(x)= \frac 16 x^4- 2x^3+6x^2-1\)
\(f^{\large\prime}(x)=\frac 23 x^3-6x^2+12x\)
Nullstellen von \(f^{\large\prime}\)
\(f^{\large\prime}(x)= 0\)
\(\frac 23 x^3-6x^2+12x=0 \)
\(x(\frac 23 x^2-6x+12)=0\) \(\quad \Rightarrow \quad x_1=0\)
\(\frac 23 x^2-6x+12=0\)
\(x_{ 2/3 } = \dfrac{ 6 \pm\sqrt{ 36-4\cdot \frac 23 \cdot 12 } }{2 \cdot \frac 23}\) \(\quad \Rightarrow \quad\) \(x_2=6 \), \(x_3=3 \) (alles einfache Nullstellen von \(f^{\large\prime}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\)
\(G_f\) : \(\searrow\) T \(\nearrow\) H \(\searrow\) T \(\nearrow\)
Maximale Monotonieintervalle:
\(G_f\) ist in \(]-\infty; -\sqrt{3}]\) streng monoton fallend
\(G_f\) ist in \([-\sqrt{3}; 0]\) streng monoton steigend
\(G_f\) ist in \([0; \sqrt{3}]\) streng monoton fallend
\(G_f\) ist in \([\sqrt{3}; +\infty[\) streng monoton steigend
Lokale Extrempunkte:
bei \(x_1 = 0\): Vorzeichenwechsel von \(-\) zu \(+\) in \(f^{\large\prime} \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt in \(G_f\)
\(f(0)= -1 \quad \Rightarrow \quad T_1(0|-1) \)
bei \(x_2 = 6\): Vorzeichenwechsel von \(-\) zu \(+\) in \(f^{\large\prime} \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt in \(G_f\)
\(f(6)= -1 \quad \Rightarrow \quad T_2(6|-1) \)
bei \(x_3 = 3\): Vorzeichenwechsel von \(+\) zu \(-\) in \(f^{\large\prime} \Rightarrow\) lokaler Hochpunkt in \(G_f\)
\(f(3)= 12,5 \quad \Rightarrow \quad H(3|12,5) \)
\(f(x)= -\frac 12 x^4+ 3x^2-2\)
\(f^{\large\prime}(x)= -2x^3+6x\)
Nullstellen von \(f^{\large\prime}\)
\(f^{\large\prime}(x)= 0\)
\(-2x^3+6x=0 \)
\(x(-2x^2+6)=0\) \(\quad \Rightarrow \quad x_1=0\)
\(-2x^2+6=0\)
\(x^2=3\) \(\quad \Rightarrow \quad x_2=\sqrt {3}\), \(x_3=-\sqrt {3}\) (alles einfache Nullstellen von \(f^{\large\prime}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\)
\(G_f\) : \(\nearrow\) H \(\searrow\) T \(\nearrow\) H \(\searrow\)
Maximale Monotonieintervalle:
\(G_f\) ist in \(]-\infty; 0]\) streng monoton steigend
\(G_f\) ist in \([0; 3]\) streng monoton fallend
\(G_f\) ist in \([3; 6]\) streng monoton steigend
\(G_f\) ist in \([6; +\infty[\) streng monoton fallend
Lokale Extrempunkte:
bei \(x_1 = 0\): Vorzeichenwechsel von \(-\) zu \(+\) in \(\abl{f} \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt in \(G_f\)
\(f(0)= -2 \quad \Rightarrow \quad T(0|-2) \)
bei \(x_2 = \sqrt{3}\): Vorzeichenwechsel von \(+\) zu \(-\) in \(\abl{f} \Rightarrow\) lokaler Hochpunkt in \(G_f\)
\(f(\sqrt{3})= -1 \quad \Rightarrow \quad H_1(\sqrt{3}|2,5) \)
bei \(x_3 = -\sqrt{3}\): Vorzeichenwechsel von \(+\) zu \(-\) in \(\abl{f} \Rightarrow\) lokaler Hochpunkt in \(G_f\)
\(f(-\sqrt{3})= 12,5 \quad \Rightarrow \quad H_2(-\sqrt{3}|2,5) \)
\(f(x)= \frac 14 x^4 -\frac 56 x^3 -\frac 72 x^2+4x\)
\(f^{\large\prime}(x)=x^3 -\frac{5}{2}x²-7x+4\)
Nullstellen von \(f^{\large\prime}\)
\(f^{\large\prime}(x)= 0\) \(\quad\Rightarrow\quad\) \(x^3 -\frac{5}{2}x²-7x+4=0\)
Probieren: \(f^{\large\prime}(-2)= 0 \quad\Rightarrow\quad x_1=-2 \quad\Rightarrow\) Linearfaktor: \(x+2\)
Polynomdivision:
\(\hphantom{-(}\left({}x^{3}{}- \frac{5}{2} x^{2}{}- 7 x + 4\right) : \left({}x + 2\right) = {}x^{2}{}- \frac{9}{2} x + 2\\\hphantom{}{{}-\underline{\left({}x^{3} + 2 x^{2}\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}}-\frac{9}{2} x^{2}{}- 7 x + 4\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}-\frac{9}{2} x^{2}{}- 9 x\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}{}-\frac{9}{2} x^{2}+{}}2 x + 4\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}{}-\frac{9}{2} x^{2}+{}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}2 x + 4\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}x^{3}{}-\frac{9}{2} x^{2} + 2 x+{}}0\)
\(x^2-\frac 92 x +2 =0\)
\(x_{ 2/3 } = \dfrac{ \frac 92 \pm\sqrt{ \left(-\frac{9}{2}\right)^2 -4\cdot 1 \cdot 2 } }{2 \cdot 1}\) \(\quad \Rightarrow \quad\) \(x_2=4 \), \(x_3= \frac 12 \) (alles einfache Nullstellen von \(f^{\large\prime}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\)
\(G_f\) : \(\searrow\) T \(\nearrow\) H \(\searrow\) T \(\nearrow\)
\(\)
Maximale Monotonieintervalle:
\(G_f\) ist in \(]-\infty; -2]\) streng monoton fallend
\(G_f\) ist in \(\left[-2; \frac 12\right]\) streng monoton steigend
\(G_f\) ist in \(\left[\frac 12; 4\right]\) streng monoton fallend
\(G_f\) ist in \([4; +\infty[\) streng monoton steigend
Lokale Extrempunkte:
bei \(x_1 = -2\): Vorzeichenwechsel von \(-\) zu \(+\) in \(\abl{f} \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt in \(G_f\)
\(f(-2)= -\frac{34}{3} \quad \Rightarrow \quad T_1\left(-2\middle|-\frac{34}{3}\right) \)
bei \(x_2 = 4\): Vorzeichenwechsel von \(-\) zu \(+\) in \(\abl{f} \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt in \(G_f\)
\(f(4)= -\frac{88}{3} \quad \Rightarrow \quad T_2\left(4\middle|-\frac{88}{3}\right) \)
bei \(x_3 = \frac 12\): Vorzeichenwechsel von \(+\) zu \(-\) in \(\abl{f} \Rightarrow\) lokaler Hochpunkt in \(G_f\)
\(f\left(\frac 12\right)= \frac{199}{192} \quad \Rightarrow \quad H\left(\frac 12\middle|\frac{199}{192}\right) \)
Aufgabe 3 (oHiMi)
Gegeben ist jeweils eine Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion \(\abl{h}\) zu einer Ausgangsfunktion \(h\) mit \(D_h=\IR\). Ermitteln Sie die Lage und die Art der lokalen Extremstellen von \(h\) sowie die maximalen Monotonieintervalle des Graphen von \(h\).
a) \(\abl{h}(x)= -2x+6\)
b) \(\abl{h}(x)= -(x-2)(x+6)\)
c) \(\abl{h}(x)= (x+4)(x-1)^2\)
- Gib die Nullstellen von \(\fs{h}\) an
- Skizziere den Graphen \(G_{\fs{h}}\) und trage die Vorzeichen ein
- Gib die Monotonieintervalle an
- Die Art der Extremstellen von \(h\) ergibt sich aus der Art des Vorzeichenwechsels an den Nullstellen von \(\fs{h}\)
Nullstellen von \(\fs{h}\)
\(\fs{h}(x)= -2x+6 =0\) \(\quad \Rightarrow \quad x=3\)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{h^{\large\prime}}\)
\(G_h\) : \(\nearrow\) H \(\searrow\)
Maximale Monotonieintervalle:
\(G_h\) ist in \(]-\infty; 3]\) streng monoton steigend
\(G_h\) ist in \([3; +\infty[\) streng monoton fallend
Extremstelle:
\(x = 3\) ist lokale Maximalstelle von \(h\), da Vorzeichenwechsel von \(+\) zu \(-\) in \(\fs{h}\)
Nullstellen von \(h^{\large\prime}\)
\(\fs{h}(x)= -(x-2)(x+6)=0\) \(\quad \Rightarrow \quad x_1=2\), \(x_2=-6\) (einfache Nullstellen von \(h^{\large\prime}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{\fs{h}}\)
\(G_h\) : \(\searrow\) T \(\nearrow\) H \(\searrow\)
Maximale Monotonieintervalle:
\(G_h\) ist in \(]-\infty; -6]\) streng monoton fallend
\(G_h\) ist in \([-6; 2]\) streng monoton steigend
\(G_h\) ist in \([2; +\infty[\) streng monoton fallend
lokale Extremstellen:
\(x = -6\) ist lokale Minimalstelle von \(h\), da Vorzeichenwechsel von \(-\) zu \(+\) in \(\fs{h}\)
\(x = 2\) ist lokale Maximalstelle von \(h\), da Vorzeichenwechsel von \(+\) zu \(-\) in \(\fs{h}\)
Nullstellen von \(h^{\large\prime}\)
\(\fs{h}(x)= (x+4)(x-1)^2=0\)
\(x_1=-4\) (einfache Nullstelle von \(\fs{h}\) mit Vorzeichenwechsel)
\(x_1=-1\) (doppelte Nullstelle von \(\fs{h}\) o h n e Vorzeichenwechsel \(\quad \Rightarrow \quad\) k e i n e Extremstelle von \(h\))
Vorzeichen-Skizze von \(G_{\fs{h}}\)
\(G_h\) : \(\searrow\) T \(\nearrow\) TEP \(\nearrow\)
Maximale Monotonieintervalle:
\(G_h\) ist in \(]-\infty; -4]\) streng monoton fallend
\(G_h\) ist in \([-4; +\infty[\) streng monoton steigend
lokale Extremstellen:
\(x = -6\) ist lokale Minimalstelle von \(h\), da Vorzeichenwechsel von \(-\) zu \(+\) in \(\fs{h}\)