Aufgabe 2 zur rechnerischen Untersuchung verschiedener Eigenschaften eines Funktionsgraphen
\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)Gegeben ist die Funktion \(f:x\mapsto\frac{1}{40}\left(x^5-\frac{20}{3}x^4+\frac{40}{3}x^3\right)\) mit der Definitionsmenge \(D_f =\IR\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.
a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_f\).
\(f(x)=\frac{1}{40}\left(x^5-\frac{20}{3}x^4+\frac{40}{3}x^3\right)\)
Da im (bis auf den Leitkoeffizienten) ausmultiplizierten Funktionsterm \(f(x)\) bei allen Summanden mit \(x\) sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen, ist \(G_f\) weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Oder:
\(f(-x) = \frac{1}{40}\left((-x)^5-\frac{20}{3}(-x)^4+\frac{40}{3}(-x)^3\right)\)
\(\phantom{f(-x)} = \frac{1}{40}\left(-x^5-\frac{20}{3}x^4-\frac{40}{3}x^3\right)\)
\(\phantom{f(-x)} \neq \frac{1}{40}\left(x^5-\frac{20}{3}x^4+\frac{40}{3}x^3\right) = f(x)\)
Da \(f(-x) \neq f(x)\) ist, kann \(G_f\) nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sein.
\(- f(x) = -\frac{1}{40}\left(x^5-\frac{20}{3}x^4+\frac{40}{3}x^3\right)\)
\(\phantom{- f(x)} = \frac{1}{40}\left(-x^5+\frac{20}{3}x^4-\frac{40}{3}x^3\right)\)
\(\phantom{- f(x)} \neq \frac{1}{40}\left(-x^5-\frac{20}{3}x^4-\frac{40}{3}x^3\right) = f(-x)\)
Da \(f(-x) \neq -f(x)\) ist, kann \(G_f\) nicht punktsymmetrisch zum Ursprung sein.
b) Bestimmen Sie das Globalverhalten der Funktion \(f\).
\(f(x)= \frac{1}{40}\left(x^5-\frac{20}{3}x^4+\frac{40}{3}x^3\right)\)
\(\phantom{f(x)} = \frac{1}{40} x^5 \cdot \left(1-\frac{20}{3}\frac{1}{x}+\frac{40}{3}\frac{1}{x^2}\right)\)
Für \(x\rightarrow +\infty\) folgt:
\(f(x) = \underbrace{\frac{1}{40} x^5}_{\rightarrow +\infty}\cdot \left(1-\underbrace{\frac{20}{3}\frac{1}{x}}_{\rightarrow 0}+\underbrace{\frac{40}{3}\frac{1}{x^2}}_{\rightarrow 0}\right) \rightarrow +\infty\)
Für \(x\rightarrow -\infty\) folgt:
\(f(x) = \underbrace{\frac{1}{40} x^5}_{\rightarrow -\infty}\cdot \left(1-\underbrace{\frac{20}{3}\frac{1}{x}}_{\rightarrow 0}+\underbrace{\frac{40}{3}\frac{1}{x^2}}_{\rightarrow 0}\right) \rightarrow -\infty\)
c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_f\) mit den Koordinatenachsen.
\(f(x)=\frac{1}{40}\cdot \left(x^5-\frac{20}{3}x^4+\frac{40}{3}x^3\right)\)
\(\phantom{f(x)}=\frac{1}{40}\cdot\frac{1}{3}\cdot x^3 \cdot (3x^2-20x+40) \)
Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts von \(G_f\) mit der \(y\)-Achse ist \(0\):
\(f(0)=0\)\(\quad\Rightarrow\quad S_y(0|0)\in G_f\)
Die \(y\)-Koordinaten aller Schnittpunkte von \(G_f\) mit der \(x\)-Achse sind \(0\):
\(f(x)=\underbrace{\frac{1}{120}\cdot x^3}_{\Rightarrow\ \ x_{1,2,3}=0} \cdot (3x^2-20x+40) = 0\)
Die Diskriminante von \(3x^2-20x+40\) ist \((-20)^2 – 4\cdot 3\cdot 40 = -80 < 0 \), also hat der quadratische Faktor keine Nullstellen.
\(\Rightarrow x_{1/2/3}=0\)
\(\Rightarrow S_{x}(0|0)\)
d) Untersuchen Sie das Steigungsverhalten von \(G_f\) und bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von \(G_f\).
\(f(x)=\frac{1}{40}\cdot \left(x^5-\frac{20}{3}x^4+\frac{40}{3}x^3\right)\)
\(\phantom{f(x)}=\frac{1}{40}\cdot\frac{1}{3}\cdot (3x^5-20x^4+40x^3) \)
\(\Rightarrow\quad\abl{f}(x)=\frac{1}{120}\cdot (15x^4-80x^3+120x^2) \)
\(\phantom{\Rightarrow\quad\abl{f}(x)}=\frac{1}{120}x^2\cdot (15x^2-80x+120) \)
\(\abl{f}(x)=0\)
\(\Rightarrow\quad\underbrace{\frac{1}{120}x^2}_{\Rightarrow\ \ x_{4,5}=0}\cdot (15x^2-80x+120) = 0\)
Die Diskriminante von \(15x^2-80x+120\) ist \((-80)^2 – 4\cdot 15\cdot 120 = -800 < 0 \), also hat der quadratische Faktor keine Nullstellen.
Folglich besitzt \(\abl{f}\) nur die Nullstelle \(x=0\). Da es sich um eine doppelte Nullstelle von \(\abl{f}\) handelt, hat \(\abl{f}(x)\) dort keinen Vorzeichenwechsel.
Vorzeichenskizze des Graphen von \(\abl{f}\)
\(\abl{f}\) hat nur bei \(x=0\) eine Nullstelle (und zwar eine doppelte), außerdem ist \(\abl{f}(1)=\frac{11}{24}>0\). Da sich das Vorzeichen von \(\abl{f}(x)\) bei der doppelten Nullstelle nicht ändern kann, muss der Graph von \(\abl{f}\) oberhalb der \(x\)-Achse verlaufen – außer bei der doppelten Nullstelle \(x=0\), wo er die \(x\)-Achse nur berührt.
\(\)
Darstellung in einer Vorzeichentabelle:
| \(x\) | \(0\) | ||||
| Vorzeichen von \(\abl{f}(x)\) | \(+\) | \(+\) | |||
| Richtung von \(G_f\) | \(\nearrow\) | \(\nearrow\) | |||
Folgerungen aus der Vorzeichenuntersuchung:
Der Graph von \(f\) ist streng monoton steigend
in \(]{-}\infty;0]\) und in \([0;+\infty[\).
Da beide Intervalle nahtlos ineinander übergehen, gilt sogar:
\(G_f\) ist streng monoton steigend in \(]{-}\infty; +\infty[\).
Folgerungen über Extrempunkte:
Da kein Monotoniewechsel vorliegt und die Definitionsmenge \(D_f\ = \IR\) nicht beschränkt ist, besitzt der Graph von \(f\) keine Extrempunkte.
Folgerungen über Terrassenpunkte:
Da \(\abl{f}\) bei \(x=0\) eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat, ist der Punkt \(TEP(0|f(0))\) ein Terrassenpunkt von \(G_f\), wobei \(f(0)=0\) ist.
e) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_f\) und bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von \(G_f\).
\(\abl{f}(x)=\frac{1}{120}\cdot (15x^4-80x^3+120x^2) \)
\(\Rightarrow\quad\abb{f}(x)=\frac{1}{120}\cdot (60x^3-240x^2+240x)\)
\(\phantom{\Rightarrow\quad\abb{f}(x)}=\frac{60}{120}\cdot x\cdot (x^2-4x+4)\)
\(\phantom{\Rightarrow\quad\abb{f}(x)}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (x-2)^2\)
\(\abb{f}(x)=0\)
\(\Rightarrow\quad \underbrace{\frac{1}{2}\cdot x}_{\Rightarrow\ \ x_6=0}\cdot \underbrace{(x-2)^2}_{\Rightarrow\ \ x_{7,8}=2} = 0\)
Folglich besitzt \(\abb{f}\) eine
- einfache Nullstelle bei \(x=0\)
(also mit Vorzeichenwechsel) - doppelte Nullstelle bei \(x=2\)
(also ohne Vorzeichenwechsel)
Vorzeichenskizze des Graphen von \(\abb{f}\)
\(\abb{f}(x)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (x-2)^2\)
Mit \(\abb{f}(4)=8\) und den beiden Nullstellen von \(\abb{f}\) zusammen mit ihren Vielfachheiten kann man den Graphen von \(\abb{f}\) skizzieren:
\(\)
Darstellung in einer Vorzeichentabelle:
| \(x\) | \(0\) | \(2\) | |||||
| Vorzeichen von \(\abb{f}(x)\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | ||||
| Krümmungsart von \(G_f\) | \(\curvearrowright\) | \(\curvelinks\) | \(\curvelinks\) | ||||
Folgerungen aus der Vorzeichenuntersuchung:
Der Graph von \(f\) ist
- rechtsgekrümmt in \(]{-}\infty;0]\).
- linksgekrümmt in \([0; 2]\) und \([2;+\infty[\),
also sogar in \([0; +\infty[\).
Folgerungen aus dem Krümmungswechsel bei \(x=0\):
Der Punkt \(WP(0|f(0))\) ist ein Wendepunkt von \(G_f\), wobei \(f(0)=0\).
Das war bereits bekannt, weil der Punkt \((0|0)\) zuvor schon als Terrassenpunkt von \(G_f\) identifiziert wurde und Terrassenpunkte stets auch Wendepunkte sind.
f) Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung der Wendetagente von \(G_f\).
Eine Wendetangente ist eine Gerade,
- die durch den Wendepunkt \(WP\) von \(G_f\) verläuft und
- die die Steigung des Graphen von \(G_f\) im Wendepunkt \(WP\) besitzt.
(Die Bezeichnung ist etwas irreführend, weil die Wendetangente den Graphen im Wendepunkt \(WP\) genaugenommen NICHT berührt, sondern tatsächlich durchsetzt)
Am schnellsten erhält man eine Gleichung der Wendetangente in der sog. Punkt-Steigungsform:
\(y=m\cdot (x-x_{WP}) + y_{WP}\)
Dabei gilt:
- \(x_{WP}\) und \(y_{WP}\) sind die Koordinaten des Wendepunkts \(WP(0|0)\)
- \(m =\abl{f}(x_{WP})=\abl{f}(0) = 0\)
Somit lautet eine Gleichung der Wendetangente:
\(y=0\cdot (x-0) +0\)
Oder einfach nur: \(y=0\)
g) Fertigen Sie eine saubere Zeichnung von \(G_f\) für \(x\in [-1{,}5; 4]\) an.
Zum Beispiel mithilfe einer Wertetabelle für \(f(x)\) kann man den Graphen von \(f\) hinreichend sauber zeichnen.
Dabei sollte folgendes berücksichtigt werden:
- alle bisher ermittelten Ergebnisse
- das vorgegebene Intervall \([-1{,}5; 4]\), in dem der Graph zu zeichnen ist, insbesondere die Randpunkte bei \(x=-1{,}5\) und \(x=4\)