Aufgabe 1 zur rechnerischen Untersuchung verschiedener Eigenschaften eines Funktionsgraphen

\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)Gegeben ist die Funktion \(f:x\mapsto\frac{1}{3}\cdot(x-2)\cdot(x+3)^2\)  mit der Definitionsmenge  \(D_f = \IR\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.

a) Geben Sie das Symmetrieverhalten von \(G_f\) an.

Da in der Aufgabenstellung nur „Geben Sie … an.“ gefordert wird, ist hier keine weitere Begründung erforderlich. Es genügt also die Aussage:

\(G_f\) ist weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Eine korrekte Begründung wäre:

\(f(x)=\frac{1}{3}(x-2)(x+3)^2\)
\(\phantom{(f(x)}=\frac{1}{3}(x^3+4x^2-3x-18)\)

Da im (bis auf den Leitkoeffizienten) ausmultiplizierten Funktionsterm \(f(x)\) bei allen Summanden mit \(x\) sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen, ist \(G_f\) weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Oder:

\(f(2) = 0\), aber \(f(-2) = -\frac{4}{3} \), also kann \(G_f\) weder weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

b) Bestimmen Sie das Globalverhalten der Funktion \(f\).

Für \(x\rightarrow +\infty\) folgt:

\(f(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot(x-2)}_{\rightarrow +\infty}\cdot\underbrace{ (x+3)^2}_{\rightarrow +\infty}\rightarrow +\infty\)

Für \(x\rightarrow -\infty\) folgt:

\(f(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot(x-2)}_{\rightarrow -\infty}\cdot\underbrace{ (x+3)^2}_{\rightarrow +\infty}\rightarrow -\infty\)

Alternative Schreibweise:

\(\lim\limits_{x \to \infty}\left( f(x)\right)\)
\(= \lim\limits_{x \to \infty}\left(  \underbrace{\frac{1}{3}\cdot(x-2)}_{\rightarrow +\infty}\cdot\underbrace{ (x+3)^2}_{\rightarrow +\infty} \right) = +\infty\)

\(\lim\limits_{x \to -\infty}\left( f(x)\right)\)
\(= \lim\limits_{x \to -\infty}\left(  \underbrace{\frac{1}{3}\cdot(x-2)}_{\rightarrow -\infty}\cdot\underbrace{ (x+3)^2}_{\rightarrow +\infty} \right) = -\infty\)

c) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_f\) mit den Koordinatenachsen.

Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts von \(G_f\) mit der \(y\)-Achse ist \(0\):

\(f(0)=-\frac{18}{3}=-6\)
\(\Rightarrow S_y(0|{-}6)\)

Die \(y\)-Koordinaten aller Schnittpunkte von \(G_f\) mit der \(x\)-Achse sind \(0\):

\(0=\frac{1}{3}(x-2)(x+3)^2\)
\(\Rightarrow x_1=2\),  \(x_{2, 3}=-3\)
\(\Rightarrow S_{x_1}(2|0)\), \(S_{x_2}(-3|0) \)

d) Untersuchen Sie das Steigungsverhalten von \(G_f\) und bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von \(G_f\).

\(f(x)=\frac{1}{3}(x-2)(x+3)^2\)
\(\phantom{(f(x)}=\frac{1}{3}(x^3+4x^2-3x-18)\)

\(\Rightarrow\quad\abl{f}(x)=\frac{1}{3}(3x^2+8x-3)\)

\(\abl{f}(x)=0\)

\(\Rightarrow\quad\frac{1}{3}(3x^2+8x-3)=0\)
\(\Rightarrow\quad x_{4/ 5}=\dfrac{-8\pm\sqrt{8^2 -4\cdot 3 \cdot (-3)}}{2\cdot3}\)
\(x_4=-3\), \(x_5=\frac{1}{3}\)

Beide Nullstellen von \(\abl{f}\) sind einfache Nullstellen, also mit Vorzeichenwechsel.

Vorzeichenskizze des Graphen von \(\abl{f}\)

\(\abl{f}(x)=\frac{1}{3}(3x^2+8x-3)\)
\(\Rightarrow\quad G_{\abl{f}}\) ist eine nach oben geöffnete Parabel.

\(\)
Darstellung in einer Vorzeichentabelle:

\(x\) \(-3\) \(\frac{1}{3}\)
Vorzeichen von \(\abl{f}(x)\) \(+\) \(-\) \(+\)
Richtung von \(G_f\) \(\nearrow\) \(\searrow\) \(\nearrow\)

Folgerungen aus der Vorzeichenuntersuchung:

Der Graph von \(f\) ist

  • streng monoton steigend
    in \(]{-}\infty;-3]\) und in \(\left[\frac{1}{3};+\infty \right[\).
  • streng monoton fallend
    in \(\left[-3;\frac{1}{3}\right]\).

Folgerungen aus dem Monotoniewechsel bei \(x=-3\) und \(x=\frac{1}{3}\):

Der Punkt \(HOP({-}3|f(-3))\) ist ein lokaler Hochpunkt von \(G_f\), wobei  \(f(-3)=0\).

Der Punkt \(TIP\left(\frac{1}{3}\middle|f\left(\frac{1}{3}\right)\right)\) ist ein lokaler Tiefpunkt von \(G_f\), wobei \(f\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{500}{81}\).

e) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von \(G_f\) und bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von \(G_f\).

\(\abl{f}(x)=\frac{1}{3}(3x^2+8x-3)\)
\(\Rightarrow\quad\abb{f}(x)=\frac{1}{3}(6x+8)\)

\(\abb{f}(x)=0\)

\(\Rightarrow\quad\frac{1}{3}(6x+8)=0\)
\(\Rightarrow\quad x_6=-\frac{4}{3}\)

Die Nullstelle von \(\abb{f}\) ist eine einfache Nullstelle, also mit Vorzeichenwechsel.

Vorzeichenskizze des Graphen von \(\abb{f}\)

\(\abb{f}(x)=\frac{1}{3}(6x-8)\)
\(\Rightarrow\quad G_{\abb{f}}\) ist eine steigende Gerade.

\(\)
Darstellung in einer Vorzeichentabelle:

\(x\) \(-\frac{4}{3}\)
Vorzeichen von \(\abb{f}(x)\) \(-\) \(+\)
Krümmungsart von \(G_f\) \(\curvearrowright\) \(\curvelinks\)

Folgerungen aus der Vorzeichenuntersuchung:

Der Graph von \(f\) ist

  • rechtsgekrümmt in \(\left]{-}\infty;-\frac{4}{3}\right]\).
  • linksgekrümmt in \(\left[-\frac{4}{3};+\infty\right[\).

Folgerungen aus dem Krümmungswechsel bei \(x=-\frac{4}{3}\):

Der Punkt \(WP\left(-\frac{4}{3}\middle|f\left(-\frac{4}{3}\right)\right)\) ist ein Wendepunkt von \(G_f\), wobei \(f\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{250}{81}\).

f) Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung der Wendetagente von \(G_f\).

Eine Wendetangente ist eine Gerade,

  • die durch den Wendepunkt \(WP\) von \(G_f\) verläuft und
  • die die Steigung des Graphen von \(G_f\) im Wendepunkt \(WP\) besitzt.

(Die Bezeichnung ist etwas irreführend, weil die Wendetangente den Graphen im Wendepunkt \(WP\) genaugenommen NICHT berührt, sondern tatsächlich durchsetzt)

Am schnellsten erhält man eine Gleichung der Wendetangente in der sog. Punkt-Steigungsform:

\(y=m\cdot (x-x_{WP}) + y_{WP}\)

Dabei gilt:

  • \(x_{WP}\) und \(y_{WP}\) sind die Koordinaten des Wendepunkts \(WP \left(-\frac{4}{3}\middle|-\frac{250}{81}\right)\)
  • \(m =\abl{f}(x_{WP})=\abl{f}\left(-\frac{4}{3}\right) =-\frac{25}{9}\)

Somit lautet eine Gleichung der Wendetangente:

\(y=-\frac{25}{9}\cdot \left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right) +\left(-\frac{250}{81}\right)\)

\(\Rightarrow\quad y=-\frac{25}{9}\cdot \left(x+\frac{4}{3}\right) -\frac{250}{81}\)

Hier nicht ausdrücklich verlangt, aber natürlich kann man den Term auf der rechten Seite auch ausmultiplizieren:

\(y=-\frac{25}{9}\cdot x -\frac{550}{81}\)

g) Fertigen Sie eine saubere Zeichnung von \(G_f\) für \(x\in [-4{,}5; 2{,}5]\) an.

Zum Beispiel mithilfe einer Wertetabelle für \(f(x)\) kann man den Graphen von \(f\) hinreichend sauber zeichnen.

Dabei sollte folgendes berücksichtigt werden:

  • alle bisher ermittelten Ergebnisse
  • das vorgegebene Intervall \([-4{,}5; 2{,}5]\), in dem der Graph zu zeichnen ist, insbesondere die Randpunkte bei \(x=-4{,}5\) und \(x=2{,}5\)
Weiter
Zurück