Ableitungsregeln

\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}}\)Bei der Untersuchung verschiedener Funktionen \(f\) und deren Ableitungsfunktionen \(f^{\large\prime}\) zeigt sich, dass oft ein einfacher systematischer Zusammenhang zwischen dem Funktionsterm \(f(x)\) und dem zugehörigen Ableitungsfunktionsterm \(f^{\large\prime}(x)\) steckt. Die beobachteten Zusammenhänge lassen sich in Form von einfachen Regeln für das Ableiten von Funktionen zusammenfassen.

Erkennt man, aus welchen wesentlichen Bestandteilen ein bestimmter Funktionsterm \(f(x)\) aufgebaut ist, braucht man nicht länger den zeitaufwändigen Umweg über die Sekantensteigung hin zur Tangentensteigung zu gehen, sondern kann sofort die Ableitungsregeln auf die einzelnen Bestandteile des Funktionsterms anwenden.

Die Ableitungsregeln ermöglichen es einem somit, den Term der Ableitungsfunktion von verschiedenen Funktionen sehr schnell zu ermitteln.

Potenzregel

Ist \(f\) eine Potenzfunktion, so gilt: \(f(x)=x^n\), wobei \(n\) eine natürliche Zahl (aber nicht Null) ist.

Der Term der Ableitungsfunktion der Potenzfunktion \(f\) lautet dann: \(f^{\large\prime}(x)=n\cdot x^{n-1}\)

Beispiele:

\(f(x)=x^2 \quad\Rightarrow\quad f^{\large\prime}(x)= 2x \)
\(f(x)=x^3 \quad\Rightarrow\quad f^{\large\prime}(x)= 3x^2 \)

Gegeben sind:

  • die Funktion \(f:x\mapsto x^n\) mit der Definitionsmenge \(D_f=\IR\), wobei \(n\) eine natürliche Zahl ist (aber nicht Null),
  • der „feste“ Punkt \(Q\bigl(x|f(x)\bigr)\) auf dem Graphen von \(f\),
  • der „bewegliche“ Punkt \(P\bigl(b|f(b)\bigr)\) auf dem Graphen von \(f\) und
  • die Sekante \(s\) durch die Punkte \(P\) und \(Q\).

1. Schritt: Ermitteln eines Terms für die Steigung der Sekante \(s\)

\(m_s=\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}=\dfrac{x^n-b^n}{x-b} \)

2. Schritt: Faktorisieren und Vereinfachen des Sekantensteigungs-Terms

Der Zähler des Bruchs lässt sich folgendermaßen faktorisieren:

\(x^n-b^n\) = \({\color{red}{(x-b)}}\cdot (x^{n-1} + b\cdot x^{n-2} + b^2\cdot x^{n-3} + \dots + b^{n-2}\cdot x + b^{n-1})\)

Diese Behauptung lässt sich überprüfen, indem man die rechte Seite ausmultipliziert und zusammenfasst:

\({\color{red}{(x-b)}}\cdot (x^{n-1} + b\cdot x^{n-2} + b^2\cdot x^{n-3} + \dots + b^{n-2}\cdot x + b^{n-1})=\)

\(=\ {\color{red}{x}}\cdot (x^{n-1} + b\cdot x^{n-2} + b^2\cdot x^{n-3} + \dots + b^{n-2}\cdot x + b^{n-1})\\\ \ {\color{red}{-b}}\cdot (x^{n-1} + b\cdot x^{n-2} + b^2\cdot x^{n-3} + \dots + b^{n-2}\cdot x + b^{n-1})=\)

\(=(\color{red}{x^{n}} + b\cdot \color{red}{x^{n-1}} + b^2\cdot \color{red}{x^{n-2}} + \dots + b^{n-2}\cdot \color{red}{x^2} + b^{n-1}\cdot \color{red}{x})\\
\phantom{=(x^{n}}\!-(\color{red}{b}\cdot x^{n-1} + \color{red}{b^2}\cdot x^{n-2} + \color{red}{b^3}\cdot x^{n-2} + \dots + \color{red}{b^{n-1}}\cdot x + \color{red}{b^{n}})=\)

\(= x^n-b^n\)

Für die Sekantensteigung bedeutet das:

\(m_s=\dfrac{x^n-b^n}{x-b}=\)

\(\phantom{m_s}=\dfrac{{\color{red}{(x-b)}}\cdot (x^{n-1} + b\cdot x^{n-2} + b^2\cdot x^{n-3} + \dots + b^{n-2}\cdot x + b^{n-1})}{\color{red}{x-b}}=\)

\(\phantom{m_s}=x^{n-1} + b\cdot x^{n-2} + b^2\cdot x^{n-3} + \dots + b^{n-2}\cdot x + b^{n-1}\)

3. Schritt: Annähern des „beweglichen“ Punkts \(P\) an den „festen“ Punkt \(Q\)

Wenn \(P\) „unendlich nah“ an \(Q\) herangeschoben wird, dann nimmt die \(x\)-Koordinate von \(P\)  letztendlich den Wert der \(x\)-Koordinate von \(Q\) an, d.h. \(b\) wird letztendlich zu \(x\) (Schreibweise: \(b\to x\)):

Für den Term der Sekantensteigung folgt also:

Aus \(m_s =x^{n-1} + b\cdot x^{n-2} + b^2\cdot x^{n-3} + \dots + b^{n-2}\cdot x + b^{n-1}\)

wird  \(x^{n-1} + \underbrace{x\cdot x^{n-2}}_{x^{n-1}} + \underbrace{x^2\cdot x^{n-3}}_{x^{n-1}} + \dots + \underbrace{x^{n-2}\cdot x}_{x^{n-1}} + x^{n-1}=n\cdot x^{n-1}\)

Kurz:  \(b\rightarrow x \quad\Rightarrow\quad m_s=\dfrac{x^n-b^n}{x-b}\rightarrow n\cdot x^{n-1}\)

Aus der Sekante \(s\) ist dabei die Tangente am Graphen von \(f\) im Punkt \(Q\bigl(x|f(x)\bigr)\) geworden. Für die Steigung \(f^{\large\prime}(x)\) dieser Tangente gilt folglich:

\(f^{\large\prime}(x) =  n\cdot x^{n-1}\)

Ableitung einer konstanten Funktion

Ist \(f\) eine konstante Funktion, so besitzt sie an allen Stellen \(x\) ihrer Definitionsmenge \(D_f\) nur einen einzigen Funktionswert \(c\in \IR\), oder kurz: \(f(x)= c\).

Der Term der Ableitungsfunktion der konstanten Funktion \(f\) lautet: \(f^{\large\prime}(x)=0 \).

Beispiele:

\(f(x)=5 \quad\Rightarrow\quad f^{\large\prime}(x)= 0 \)
\(f(x)=-2 \quad\Rightarrow\quad f^{\large\prime}(x)= 0 \)

Gegeben sind:

  • die Funktion \(f:x\mapsto c\) mit der Definitionsmenge \(D_f=\IR\), wobei \(c\in\IR\) eine konstante reelle Zahl ist,
  • der „feste“ Punkt \(Q\bigl(x|f(x)\bigr)\) auf dem Graphen von \(f\),
  • der „bewegliche“ Punkt \(P\bigl(b|f(b)\bigr)\) auf dem Graphen von \(f\) und
  • die Sekante \(s\) durch die Punkte \(P\) und \(Q\).

An den Graphen von \(f\) lässt sich genau genommen keine Tangente anlegen, die ihn nur in einem einzigen Punkt berührt, da es sich bei dem Graphen von \(f\) um eine (waagrechte) Gerade handelt.

Etwas philosophisch könnte man auch sagen, dass der Graph von \(f\) seine eigene „entartete“ Tangente mit der Steigung 0 ist.

Selbstverständlich kann man konsequent die Idee verfolgen,

  • zunächst die Steigung einer Sekanten durch \(P\) und \(Q\) zu ermitteln,
  • dann \(P\) „unendlich nah“ an \(Q\) heranzuschieben,
  • und schließlich den zu beobachtenden Grenzfall der Sekantensteigung als „Ableitung“ der Funktion \(f\) zu definieren.

Für die Sekantensteigung erhält man dann:

\(m_s=\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}=\dfrac{c-c}{x-b}=\dfrac{0}{x-b}=0 \)

Das Annähern von \(P\) an \(Q\) spielt hier keine Rolle:

\(b\rightarrow x \quad\Rightarrow\quad m_s\rightarrow 0\)

Für die Ableitung \(f^{\large\prime}(x)\) gilt folglich:

\(f^{\large\prime}(x) = 0\)

Faktorregel

Lässt sich ein Funktionsterm \(f(x)\) als Produkt eines konstanten Faktors \(k\in\IR\) und eines nicht-konstanten Terms \(g(x)\), dessen Ableitungsterm \(g^{\large\prime}(x)\) lautet, darstellen, so gilt:

\(f(x)= k \cdot g(x)\), mit \(k\in\IR\)

\(f^{\large\prime}(x)=k \cdot g^{\large\prime}(x) \)

Kurz: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.

Beispiele:

\(f(x)=3x^2 \quad\Rightarrow\quad f^{\large\prime}(x)= 3 \cdot 2x = 6x\)
\(f(x)=-4x^3 \quad\Rightarrow\quad f^{\large\prime}(x)= -4 \cdot 3x^2 =-12x^2 \)

Gegeben sind:

  • die Funktion \(\color{red}{f}:x\mapsto k\cdot \color{blue}{g}(x)\) mit der Defintionsmenge \(D_\color{red}{f}=\IR\), wobei \(k\in\IR\) eine konstante reelle Zahl ist,
  • der „feste“ Punkt \(Q\bigl(x|\color{red}{f}(x)\bigr)\) auf dem Graphen von \(\color{red}{f}\),
  • der „bewegliche“ Punkt \(P\bigl(b|\color{red}{f}(b)\bigr)\) auf dem Graphen von \(\color{red}{f}\) und
  • die Sekante \(s\) durch die Punkte \(P\) und \(Q\).

1. Schritt: Ermitteln eines Terms für die Steigung der Sekante \(s\)

\(m_s=\dfrac{\color{red}{f}(x)-\color{red}{f}(b)}{x-b}=\dfrac{k\cdot \color{blue}{g}(x)-k\cdot \color{blue}{g}(b)}{x-b} \)

2. Schritt: Faktorisieren und Vereinfachen des Sekantensteigungs-Terms

\(m_s=\dfrac{k\cdot \color{blue}{g}(x)-k\cdot \color{blue}{g}(b)}{x-b}=\dfrac{k\cdot (\color{blue}{g}(x)-\color{blue}{g}(b))}{x-b}=k\cdot\dfrac{\color{blue}{g}(x)-\color{blue}{g}(b)}{x-b}\)

Hier taucht plötzlich der Term \(\dfrac{\color{blue}{g}(x)-\color{blue}{g}(b)}{x-b}\) auf. Dabei handelt es sich offenbar um die Steigung einer SEKANTEN des Graphen von \(\color{blue}{g}\) bzgl. der Stellen \(x\) und \(b\).

3. Schritt: Annähern des „beweglichen“ Punkts \(P\) an den „festen“ Punkt \(Q\)

Wenn \(P\) „unendlich nah“ an \(Q\) herangeschoben wird, dann nimmt die \(x\)-Koordinate von \(P\)  letztendlich den Wert der \(x\)-Koordinate von \(Q\) an, d.h.: \(b\) wird letztendlich zu \(x\) (Schreibweise: \(b\to x\)):

Aus der SEKANTEN des Graphen von \(\color{blue}{g}\) bzgl. der Stellen \(x\) und \(b\) wird dabei die TANGENTE des Graphen von \(\color{blue}{g}\) im Punkt \(\bigl(x|\color{blue}{g}(x)\bigr)\):

\(b\rightarrow x \quad\Rightarrow\quad \dfrac{\color{blue}{g}(x)-\color{blue}{g}(b)}{x-b} \rightarrow \color{blue}{g}^{\large\prime}(x)\)

Somit folgt für die Steigung der SEKANTEN des Graphen von \(\color{red}{f}\) durch die Punkte \(P\) und \(Q\):

\(b\rightarrow x \quad\Rightarrow\quad m_s=\dfrac{\color{red}{f}(x)-\color{red}{f}(b)}{x-b}=k\cdot\dfrac{\color{blue}{g}(x)-\color{blue}{g}(b)}{x-b} \rightarrow k\cdot \color{blue}{g}^{\large\prime}(x)\)

Aus der SEKANTEN des Graphen von \(\color{red}{f}\) durch die Punkte \(P\) und \(Q\) wird dabei die TANGENTE des Graphen von \(\color{red}{f}\) im Punkt \(Q\bigl(x|\color{red}{f}(x)\bigr)\):

\(\color{red}{f}^{\large\prime}(x) =  k\cdot \color{blue}{g}^{\large\prime}(x)\)

Summenregel

Eine Summe bzw. Differenz wird gliedweise abgeleitet.

\(f(x)= h(x)\pm g(x)\)

\(f^{\prime}(x)= h^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x)\)

Beispiele:

\(f(x)=x^4+x^2 \quad\Rightarrow\quad f^{\large\prime}(x)= 4x^3+2x\)
\(f(x)=-2x^3+5x^2 \quad\Rightarrow\quad f^{\large\prime}(x)= -6x^2+10x\)

Gegeben sind:

  • die Funktion \(f:x\mapsto h(x) + g(x)\) mit der Defintionsmenge \(D_f=\IR\),
  • der „feste“ Punkt \(Q\bigl(x|f(x)\bigr)\) auf dem Graphen von \(f\),
  • der „bewegliche“ Punkt \(P\bigl(b|f(b)\bigr)\) auf dem Graphen von \(f\) und
  • die Sekante \(s\) durch die Punkte \(P\) und \(Q\).

1. Schritt: Ermitteln eines Terms für die Steigung der Sekante \(s\)

\(m_s=\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}=\dfrac{\bigl(h(x) + g(x)\bigr)-\bigl(h(b) + g(b)\bigr)}{x-b}\)

2. Schritt: Umformen des Sekantensteigungs-Terms, Erkennen bekannter Terme

Im Zähler sortiert man die Summanden so um, dass Terme mit gleichen Funktionen beieinander stehen:

\(m_s=\dfrac{h(x) + g(x)-h(b) – g(b)}{x-b}=\dfrac{\bigl(h(x) – h(b)\bigr)+\bigl(g(x) – g(b)\bigr)}{x-b}=\dfrac{h(x) – h(b)}{x-b}+\dfrac{g(x) – g(b)}{x-b}\)

  • Bei dem Term \(\dfrac{{h}(x)-{h}(b)}{x-b}\) handelt es sich offenbar um die Steigung einer SEKANTEN des Graphen von \({h}\) bzgl. der Stellen \(x\) und \(b\).
  • Bei dem Term \(\dfrac{{g}(x)-{g}(b)}{x-b}\) handelt es sich offenbar um die Steigung einer SEKANTEN des Graphen von \({g}\) bzgl. der Stellen \(x\) und \(b\).

3. Schritt: Annähern des „beweglichen“ Punkts \(P\) an den „festen“ Punkt \(Q\)

Wenn \(P\) „unendlich nah“ an \(Q\) herangeschoben wird, dann nimmt die \(x\)-Koordinate von \(P\)  letztendlich den Wert der \(x\)-Koordinate von \(Q\) an, d.h. \(b\) wird letztendlich zu \(x\) (Schreibweise: \(b\to x\)):

Aus der SEKANTEN des Graphen von \({g}\) bzgl. der Stellen \(x\) und \(b\) wird dabei die TANGENTE des Graphen von \({g}\) im Punkt \(\bigl(x|{g}(x)\bigr)\):

\(b\rightarrow x \quad\Rightarrow\quad \dfrac{{g}(x)-{g}(b)}{x-b} \rightarrow {g}^{\large\prime}(x)\)

Aus der SEKANTEN des Graphen von \({h}\) bzgl. der Stellen \(x\) und \(b\) wird dabei die TANGENTE des Graphen von \({h}\) im Punkt \(\bigl(x|{h}(x)\bigr)\):

\(b\rightarrow x \quad\Rightarrow\quad \dfrac{{h}(x)-{h}(b)}{x-b} \rightarrow {h}^{\large\prime}(x)\)

Somit folgt für die Steigung der SEKANTEN des Graphen von \({f}\) durch die Punkte \(P\) und \(Q\):

\(b\rightarrow x \quad\Rightarrow\quad m_s=\dfrac{h(x) – h(b)}{x-b}+\dfrac{g(x) – g(b)}{x-b} \rightarrow {h}^{\large\prime}(x) + {g}^{\large\prime}(x)\)

Aus der SEKANTEN des Graphen von \({f}\) durch die Punkte \(P\) und \(Q\) wird dabei die TANGENTE des Graphen von \({f}\) im Punkt \(Q\bigl(x|{f}(x)\bigr)\):

\({f}^{\large\prime}(x) =  {h}^{\large\prime}(x) + {g}^{\large\prime}(x)\)

Folgerung für die Ableitung der Differenz zweier Terme:

Es gilt: \(h(x) – g(x) = h(x) + (-1)\cdot g(x)\).

Ist also \(f(x) = h(x) – g(x)\), so folgt zusammen mit der Faktorregel:

\({f}^{\large\prime}(x)={h}^{\large\prime}(x) + (-1)\cdot{g}^{\large\prime}(x)={h}^{\large\prime}(x) – {g}^{\large\prime}(x)\)

Interaktive Aufgaben zum Ableiten von ganzrationalen Funktionen

Neue Funktion erzeugen und Ableitung eingeben:
  • Klicken Sie auf die Schaltfläche [NEU], um einen neuen zufällig erzeugten Funktionsterm angezeigt zu bekommen.
  • Klicken Sie anschließend auf [EINGABE] und geben Sie den korrekten Ableitungsterm in das Eingabefeld ein. Sie erhalten anschließend eine Rückmeldung, ob Ihre Eingabe richtig war oder nicht.
Lösung anzeigen lassen (auch Schritt für Schritt)
  • Klicken Sie auf die Schaltfläche [o], um einen Lösungsterm angezeigt zu bekommen, der noch nicht vereinfacht wurde.
  • Klicken Sie auf die Schaltfläche [>], um sich den nächsten Lösungsschritt anzeigen zu lassen.
    Achtung:
    ZUERST wird der Lösungsterm angezeigt. Erst danach folgen die Lösungsschritte.
  • Klicken Sie auf die Schaltfläche [<], um sich den vorherigen Lösungsschritt anzeigen zu lassen.

Achtung:

Bei den Lösungsschritten wird der Ableitungsoperator \(\frac{d}{dx}\) verwendet. Er zeigt an, dass alles was in den nachfolgenden Klammern steht, abgeleitet werden soll.

Beispiel:

\(\frac{d}{dx}(x^2)\) heißt, dass \(x^2\) abgeleitet werden soll. Es gilt also: \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x.\)

Einstellungen innerhalb des Applets ändern:
  • Klicken Sie auf die Schaltfläche [ÄNDERN], um das Applet in den Einstellungsmodus umzuschalten.
  • Klicken Sie in der Zeile mit dem Text „Einstellung für neuen Term“ auf das linke Dropdownmenü, um „mit Parameter“ oder „ohne Parameter“ auszuwählen.
    Achtung:
    Das Erzeugen von Termen mit Parameter dauert jeweils ca. 2 Sekunden (je nach Internetbrowser und Rechenleistung des Computers).
  • Klicken Sie in der Zeile mit dem Text „Einstellung für neuen Term“ auf das rechte Dropdownmenü, um z.B. der Eintrag „Polynom 4. Grades“ auszuwählen.
  • Klicken Sie abschließend auf [FERTIG], um den Einstellungsmodus zu beenden.
  • Klicken Sie dann auf [NEU], um die Auswirkung der getätigten Änderungen beobachten zu können.
 

 

Weiter
Zurück