Bernoulli-Ketten
Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten
In der Praxis spielen oft Zufallsexperimente eine Rolle, bei denen nur zwei Ereignisse (Treffer, Niete) eintreten können.
Beispiele:
1. Qualitätskontrolle (in Ordnung / nicht in Ordnung)
2. Elfmeterschießen (Tor / kein Tor)
3. Spiel (Gewinn / kein Gewinn)
4. Werfen eines Würfels, wobei man sich nur dafür interessiert, ob die Augenzahl \(6\) geworfen wird oder nicht (\(6\) / keine \(6\))
lm Prinzip lässt sich jedes beliebige Zufallsexperiment zu einem Experiment mit zwei Ergebnissen machen, wenn man sich nur dafür interessiert, ob ein beliebiges Ereignis eingetreten ist (Treffer) oder nicht (Niete). Ein solches Zufallsexperiment nennt man Bernoulli-Experiment.
Wird ein Bernoulli-Experiment mehrmals hintereinander durchgeführt und sind die einzelnen Durchführungen des Experiments unabhängig voneinander, so liegt eine Bernoulli-Kette vor.
Beispiel: Qualitätsprüfung von \(5\) gleichen Teilen aus der laufenden Produktion.
Definition
Ein Zufallsexperiment, bei dem genau zwei Ereignisse \(T\) (Treffer) und \(\overline{T}\) (Niete) eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.
\( P(T) = p\) heißt Trefferwahrscheinlichkeit.
\( P(\overline{T}) = 1-p = q\) heißt Nietenwahrscheinlichkeit.
Wird ein Zufallsexperiment \(n\)-mal hintereinander unabhängig ausgeführt und bleibt dabei die Treffer-WK \(p\) bei jeder Durchführung gleich, so entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).
Testen Sie Ihr Können bei den folgenden Übungen
Übung 1
Geben Sie jeweils die Bedeutung eines Treffers, die Kettenlänge und die Trefferwahrscheinlichkeit an.
1.1 Bei einer bestimmten Sorte Nüsse sind \(8\%\) der Nüsse taub (d.h. Nusschale ohne Kern). Ein Käufer erwirbt eine Kiste mit \(500\) Nüssen und untersucht alle auf Taubheit.
1.2 Autofahrer, die einen Tunnel verlassen, vergessen mit einer Wahrscheinlichkeit von \(10 \%\) das Licht wieder abzuschalten. Es werden \(50\) Meter nach einem Tunnel \(100\) aufeinanderfolgende Autos daraufhin beobachtet.