Bewegung geladener Teilchen im homogenen E-Feld
Beschleunigung entlang des elektrischen Felds
Geladene Teilchen der Masse \(m\) und Ladung \(q\) können in einem elektrischen Feld entlang der Feldlinien beschleunigt oder abgebremst werden. Die elektrische Arbeit \(W_{el}\), die an dem Teilchen beim Durchlaufen des Feldes entlang des Weges (hier \(\Delta x\)) verrichtet wird, wird in kinetische Energie \(E_{kin}\) umgewandelt. Im homogenen Feld \(E\) des Plattenkondensators wirkt die beschleunigende Kraft stets senkrecht zu den Kondensatorflächen (siehe Bild). Es gilt:
\( E_{kin}=W_{el}\)
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{x}^2=F \cdot \Delta x\)
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{x}^2=q \cdot E \cdot \Delta x\)
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{x}^2=q \cdot \frac{U}{\Delta x} \cdot \Delta x\)
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{x}^2=q \cdot U_{Beschl}\)
Die Geschwindigkeit \(v_x\) eines geladenen Teilchens nach einer Beschleunigungsspannung \(U_{Beschl}\) berechnet sich also zu
\(\boxed{v_x=\sqrt{\frac{2 \cdot U_{Beschl} \cdot q}{m}}}\)
Beschleunigung senkrecht zum elektrischen Feld
Besitzt ein Teilchen durch eine Beschleunigungsspannung \(U_{Beschl}\) eine Geschwindigkeit \(v_x\) in x-Richtung, so kann es durch einen weiteren Kondensator mit der Spannung \(U_y\) in y-Richtung abgelenkt werden. Ursache für die Ablenkung ist die an ihnen angreifende vertikal gerichtete Kraft, die durch das elektrische Feld entsteht.
Vernachlässigt man die Beschleunigung durch die Schwerkraft, so entsteht innerhalb des Kondensators eine Bahnkurve mit der Form einer Parabel: In x-Richtung besitzt das Teilchen eine gleichförmige Geschwindigkeit, in y-Richtung wird es beschleunigt (Vergleiche: Waagrechter Wurf!).
Verlässt das geladene Teilchen das homogene elektrische Feld des Plattenkondensators, so fliegt es geradlinig weiter. Hier ein Beispiel für die Bahnkurve bei negativ geladenen Teilchen:
Die Gesamtablenkung (ohne Schwerkraft)
Für die Berechnung der Gesamtablenkung \(y_{ges}=y_1+y_2\) des geladenen Teilchens der Masse \(m\) ermitteln wir zunächst die Ablenkung innerhalb des Kondensators \(y_1\). Die Kraft auf das geladene Teilchen ergibt sich hier zu:
\(F_y=q \cdot E=q \cdot \frac{U_y}{d_y}\)
Mit \(F_y=m \cdot a_y\) gleichgesetzt gilt dann:
\(\boxed{a_y=\frac{q \cdot U_y}{m \cdot d_y}}\)
Die Strecke \(y_1\), die die Teilchen nach dem Durchlaufen des Kondensators zurückgelegt haben, lässt sich mit der Bewegungsgleichung für beschleunigte Bewegungen ermitteln:
\(y_1=\frac{1}{2}\cdot a_y \cdot t_{1}^2\)
Die horizontale Bewegung der Teilchen wird, wie beim waagrechten Wurf, nicht durch die vertikale Beschleunigung beeinflusst. Die Zeit \(t_1\), während der sich das Teilchen zwischen den Kondensatorplatten befindet, ergibt sich deshalb zu:
\(t_1=\frac{l}{v_x}\)
Wir setzen \(a_y\) und \(t_1\) in die Gleichung für \(y_1\) ein und nutzen anschließend die obige Formel für \(v_x\):
\(y_1=\frac{1}{2} \cdot \frac{q \cdot U_y}{m \cdot d_y} \cdot \left ( \frac{l}{v_x}\right )^2=\frac{1}{2} \cdot \frac{q \cdot U_y}{m \cdot d_y} \cdot \frac{l^2}{\frac{2 \cdot U_{Beschl} \cdot q}{m}} \)
Gekürzt ergibt sich
\(y_1=\frac{1}{4} \cdot \frac{U_y \cdot l^2}{U_{Beschl} \cdot d_y}\).
Nachdem das Teilchen das homogene Feld des Plattenkondensators verlassen hat bewegt es sich gleichförmig weiter.
\(y_2\) berechnet sich damit aus der Geschwindigkeit \(v_y\), die es durch den Ablenkkondensator gewonnen hat und der Flugzeit vom Kondensator bis zum Auftreffpunkt (in der Animation ein „Leuchtschirm“):
\(y_2=v_y \cdot t_2\)
Die Zeit bis zum Auftreffen berechnet sich zu
\(t_2=\frac{s}{v_x}\)
und die vertikal gerichtete Geschwindigkeitskomponente \(v_y\) nach dem Kondensator zu
\(v_y=a_y \cdot t_1\) (mit der Zeit \(t_1=\frac{l}{v_x}\) des Teilchens innerhalb des Kondensators)
Nun kann man in \(y_2=v_y \cdot t_2\) Einsetzen und \(y_2\) ermitteln:
\(y_2= a_y \cdot t_1 \cdot t_2= a_y \cdot \frac{l}{v_x} \cdot \frac{s}{v_x}= \frac{q \cdot U_y}{m \cdot d_y} \cdot \frac{l \cdot s}{\frac{2 \cdot U_{Beschl} \cdot q}{m}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y \cdot l \cdot s}{U_{Beschl} \cdot d_y}\)
Die Gesamtablenkung berechnet sich damit zu
\(y_{ges}=y_1+y_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{l}{d_y} \cdot \left ( \frac{l}{2}+s \right ) \cdot \frac{U_y}{U_{Beschl}}\)
Die Ablenkung am Schirm hängt damit nur von den Dimensionen des Ablenkkondensators, dem Abstand des Schirms, der Beschleunigungsspannung \(U_{Beschl}\) und der Kondensatorspannung \(U_y\) ab. Eine Messung der Spannung \(U_y\) ist einfach, da sie sich proportional zur Auslenkung verhält:
\( \boxed{y_{ges} \sim U_y} \)
Deshalb wurden solche Ablenkkondensatoren früher in Oszilloskopen eingesetzt, um Spannungen zu messen:
