Der Kondensator – Energieinhalt
Energieinhalt von Kondensatoren
Beim Laden eines Kondensatoren werden der Platte, die mit dem Pluspol der Spannungsquelle verbunden ist, Elektronen entzogen und der zweiten Platte zugeführt. Wie wir bereits wissen, muss bei diesem Ladungstransport Arbeit verrichtet werden, weil die Platten dem Anlegen der Spannungsquelle unterschiedliche Potenziale besitzen. Die verrichtete Arbeit ist anschließend im Kondensator in Form von elektrischer Energie gespeichert. Wird der Kondensator wieder von der Spannungsquelle getrennt, bleibt die elektrische Energie im Kondensator gespeichert, weil die Ladungen durch eine fehlende Verbindung der Platten keine Möglichkeit zum Ladungsausgleich haben. Wäre die Spannung beim Laden des Kondensators konstant, könnten wir die elektrische Energie wie folgt berechnen:
Mit \( E_{el} = U \cdot I \cdot t \) gemeinsam mit \( I=\frac{Q}{t} \) ergibt sich \( E_{el}=Q \cdot U \).
Tatsächlich steigt die Spannung jedoch proportional mit der Ladung auf dem Kondensator an:
\( U=\frac{1}{C} \cdot Q \) (aus der Definition \( C=\frac{Q}{U} \) )
Die elektrische Arbeit, die während des Ladens verrichtet werden muss, wächst also mit steigender Kondensatorspannung an. Etwas analoges haben wir schon beim Spannen von Federn kennengelernt. Mit steigender Federdehnung steigt hier die Kraft und damit die Arbeit an, die pro Dehnungsstecke geleistet werden muss. Umso mehr der Kondensator geladen ist, umso mehr Spannung liegt an ihm an, und umso mehr Arbeit muss für den Transport einer Ladungsmenge verrichtet werden. Bei der Feder entspricht die Spannenergie der Fläche im \( s-F-Diagramm\), weil die Spannarbeit für eine kleine Dehnungsstrecke (sie verändert \( F \) nur geringfügig) mit \( W = F \cdot \Delta s\) berechnet wird. Beim Kondensator entspricht die elektrische Energie der Fläche im \(Q-U-Diagramm\), weil die elektrische Arbeit für eine kleine Ladung \(Q\) (sie verändert \(U\) nur geringfügig) mit \(W_{el} = Q \cdot U\) berechnet wird.
\( E_{el}=\int U \; dQ= \int \frac{1}{C}\cdot Q \; dQ=\frac{1}{C} \cdot \int Q \; dQ=\frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{C} \)
\( \boxed{E_{el}=\frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{C}}\;\;\; Energieinhalt\; des\; Kondensators\)
mit \( Q=C \cdot U \) ergibt sich für den Energieinhalt auch:
\( \boxed{E_{el}=\frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2}\) und \( \boxed{E_{el}=\frac{1}{2} \cdot Q \cdot U}\)
Anmerkung: Es existieren durch die Beziehungen \(E=\frac{U}{d}\) und \(\sigma=\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot E \) weitere Formeln für den Energieinhalt:
\( \boxed{E_{el}=\frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot A \cdot E^2 \cdot d}\)
Der Ausdruck \( A \cdot d \) (Plattenfläche mal Plattenabstand) entspricht dem Volumen \( V \) zwischen den Kondensatorplatten:
\( \boxed{E_{el}=\frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot E^2 \cdot V}\)
\( \boxed{E_{el}=\frac{1}{2} \cdot \sigma \cdot E \cdot V}\)