Winkel zwischen Geraden und Ebenen

Benötigtes Grundwissen

Voraussetzung für ein erfolgreiches Verstehen dieses Kapitels sind grundlegende Kenntnisse zu den folgenden Themen:

  • Skalarprodukt
  • Winkel zwischen 2 Vektoren
  • Kosinus und Sinus im Einheitskreis
  • Kreuzprodukt (Normalenvektor zweier Vektoren)
  • Normalenvektoren von Geraden und Ebenen
  • Normalenform, Koordinatenform und Parameterform der Ebenengleichung

Überblick zu den Inhalten dieses Kapitels

(1) Berechnung der Größe des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Geraden

(2) Berechnung der Größe des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene

(3) Berechnung der Größe des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen

(1) Berechnung der Größe des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Geraden

Aufgabe:

1) Beobachten Sie in dem folgenden Geogebra-Applet, wie der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden definiert wird.

  • Sie können sich schrittweise durch die Beschreibung bewegen, indem Sie wiederholt auf die blaue Schaltfläche mit dem grünen Pfeil klicken.
  • Die Lage der Punkte A, P und S können Sie verändern (mehrmals anklicken, um zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung umzuschalten, oder auf der Tastatur die Pfeiltasten bzw. Bild auf und Bild ab verwenden – auch in Kombination mit der Umschalt-Taste für eine feinere Schrittweite).
  • Sie können aber auch auf die Neu-Schaltfläche klicken, um eine neue zufällige Anordnung der Punkte erzeugen zu lassen.

2) Um zu prüfen, ob Sie die Methode verstanden haben, sollten Sie für weitere Situationen (dazu auf die „Neu“-Schaltfläche klicken) versuchen, die Lösung selber zu berechnen. Anschließend können Sie Ihre Lösung mit den Werten aus der Beschreibung vergleichen.

 

 

(2) Berechnung der Größe des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene

Aufgabe:

1) Beobachten Sie in dem folgenden Geogebra-Applet, wie der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene definiert wird (sofern sich die Gerade und die Ebene schneiden).

  • Sie können sich schrittweise durch die Beschreibung bewegen, indem Sie wiederholt auf die blaue Schaltfläche mit dem grünen Pfeil klicken.
  • Die Lage der Punkte A, B , C, P und Q können Sie verändern (mehrmals anklicken, um zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung umzuschalten, oder auf der Tastatur die Pfeiltasten bzw. Bild auf und Bild ab verwenden – auch in Kombination mit der Umschalt-Taste für eine feinere Schrittweite).
  • Sie können aber auch auf die Neu-Schaltfläche klicken, um eine neue zufällige Anordnung der Punkte erzeugen zu lassen.

2) Um zu prüfen, ob Sie die Methode verstanden haben, sollten Sie für weitere Situationen (dazu auf die „Neu“-Schaltfläche klicken) versuchen, die Lösung selber zu berechnen. Anschließend können Sie Ihre Lösung mit den Werten aus der Beschreibung vergleichen.

 

 

(3) Berechnung der Größe des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Ebenen

Aufgabe:

1) Beobachten Sie in dem folgenden Geogebra-Applet, wie der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen definiert wird.

Achtung:

Der erste nahe liegende Vorschlag, wie man den Zwischenwinkel zweier Ebenen definieren könnte, wird durch einen zweiten viel einfacheren Vorschlag ersetzt. Dennoch hängen beide Vorschläge eng zusammen.

  • Sie können sich schrittweise durch die Beschreibung bewegen, indem Sie wiederholt auf die blaue Schaltfläche mit dem grünen Pfeil klicken.
  • Wenn Sie die Lage der beiden Ebenen verändern wollen, müssen Sie zuerst das Häkchen in der obersten Zeile bei „Punkte“ setzen. Dann erst können Sie die Lage der Punkte A, B , C, P, Q und R verändern (mehrmals anklicken, um zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung umzuschalten, oder auf der Tastatur die Pfeiltasten bzw. Bild auf und Bild ab verwenden – auch in Kombination mit der Umschalt-Taste für eine feinere Schrittweite). Die Punkte wurden ausgeblendet, weil die Übersichtlichkeit sonst etwas unter den vielen Objekten leidet.
  • Sie können aber auch auf die Neu-Schaltfläche klicken, um eine neue zufällige Anordnung der Punkte erzeugen zu lassen.

2) Um zu prüfen, ob Sie die Methode verstanden haben, sollten Sie für weitere Situationen (dazu auf die „Neu“-Schaltfläche klicken) versuchen, die Lösung selber zu berechnen. Anschließend können Sie Ihre Lösung mit den Werten aus der Beschreibung vergleichen.

 

 

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