Gebrochen-rationale Funktionen

Digitale Lernmaterialien Mathematik

Als Teilnehmer der VIBOS Bayern werden Sie eine Vielzahl an Kompetenzen erwerben und auch vertiefen.

Sie…

  • beschreiben und ermitteln die grundlegenden Eigenschaften (insbesondere Definitionsmenge, Art der Definitionslücken, Achsensymmetrie zur y‑Achse, Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) von echt und unecht gebrochen-rationalen Funktionen und deren Graphen, um damit auch die Graphen der Funktionen zu skizzieren bzw. zu zeichnen.
  • bestimmen das Verhalten der Funktionswerte einer gebrochen-rationalen Funktion in der Umgebung der Definitionslücken der Funktion und für x → ∞ bzw. x → –∞ (auch mithilfe der Polynomdivision), um zu entscheiden, ob der Funktionsgraph (senkrechte, waagrechte, schräge) Asymptoten besitzt und auf welche Weise sich der Funktionsgraph jeweils an diese Asymptoten annähert. Sie bestimmen auch die Gleichungen aller vorhandenen Asymptoten.
  • berechnen die Terme der Ableitungsfunktionen gebrochen-rationaler Funktionen unter Verwendung der Quotientenregel, der Kettenregel und ggf. der Produktregel, um weitere Eigenschaften der Graphen dieser Funktionen (z. B. Extrem‑, Terrassen‑ und Wendepunkte, Steigungs ‑ und Krümmungsverhalten) zu bestimmen. Damit lösen sie auch anwendungsorientierte Probleme, die sich auf gebrochen-rationale Funktionen zurückführen lassen, z. B. Materialkosten für die Herstellung einer zylinderförmigen Dose.
  • erläutern die Bedeutung des Grenzwerts einer Funktion anschaulich auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere für x → ∞ bzw. x → –∞ und für x → x0. Sie ermitteln anhand des Funktionsterms (auch mithilfe zielgerichteter elementarer Termumformungen) Grenzwerte einfacher gebrochen-rationaler Funktionen an den Rändern des jeweiligen Definitionsbereichs und verwenden dabei die Grenzwertschreibweise.
  • ermitteln anhand ausreichend vieler Informationen über eine gebrochen-rationale Funktion bzw. ihres Graphen einen geeigneten Funktionsterm, um damit weitere Eigenschaften des Graphen der betrachteten Funktion zu beschreiben.
  • skizzieren auf der Grundlage vorgegebener oder selbst ermittelter Informationen die Graphen von gebrochen-rationalen Funktionen und skizzieren bzw. zeichnen ihre Asymptoten.