Arten exponentieller Wachstums- bzw. Abklingvorgänge \(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}
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Unbegrenztes exponentielles Wachstum
Funktionsgleichung:
\(B(t) = B_0 \cdot e^{k \cdot t} \) mit \(t \geq 0\)
Bezeichnungen:
\(B(t)\): Bestand zum Zeitpunkt \(t\)
\(B_0\): Anfangsbestand
\(k > 0\): Wachstumskonstante
Beispiel unbegrenztes Wachstum
Für \(B_0 = 5\) und \(k = 0{,}008\) ergibt sich:
\(B(t) = 5 \cdot e^{0{,}08 \cdot t} \)
Begrenztes exponentielles Wachstum
Viele exponentielle Wachstumsvorgänge sind durch eine Sättigungsgrenze \(S\) nach oben begrenzt. Exponentielle Abnahmevorgänge sind immer nach unten begrenzt.
Beispiele für solche Grenzen:
- Begrenzter Platz
Z. B. die begrenzte Fläche eines Sees, auf dem sich Algen ausbreiten.
Der von den Algen bedeckte Flächeninhalt kann nicht größer sein als der Flächeninhalt des Sees.
-
begrenzte Ressourcen
Z. B. begrenzte Nahrung. -
begrenzte Temperatur
Z. B. die Umgebungstemperatur, die nicht unter- bzw. überschritten werden kann.
Funktionsgleichung:
\(B(t) = S + (B_0 \, {-} \, S) \cdot e^{{-}k \cdot t} \)
nach oben begrenztes Wachstum: \(S > B_0\)
nach unten begrenztes Wachstum: \(S < B_0\)
(= begrenzte Abnahme)
Bezeichnungen:
\(t \geq 0\): Zeit
\(B(t)\): Bestand zum Zeitpunkt \(t\)
\(B_0\): Anfangsbestand
\(S\): Sättigungsgrenze
\(k > 0\): Wachstumskonstante
Beispiel für nach oben begrenztes Wachstum
Für \(B_0 = 10\), \(S = 40\) und \(k = 0{,}1\) ergibt sich:
\(B(t) = 40 + (10 \, {-} \, 40) \cdot e^{{-}0{,}1 \cdot t} \)
\(\qquad = 40 {-} 30 \cdot e^{{-}0{,}1 \cdot t} \)
Beispiel für nach unten begrenzte Abnahme
Für \(B_0 = 30\), \(S = 20\) und \(k = 0{,}1\) ergibt sich:
\(B(t) = 20 + (30 \, {-} \, 20) \cdot e^{{-}0{,}1 \cdot t} \)
\(\qquad = 20 + 10 \cdot e^{{-}0{,}1 \cdot t} \)
Logistisches Wachstum
Viele Vorgänge in der Natur, wie zum Beispiel das Höhenwachstum von Pflanzen, laufen nicht einfach nach dem nach oben beschränkten Wachstum ab, sondern nach dem logistischen Wachstum. Beim logistischen Wachstum steigt der Graph zunächst exponentiell an (bis zum Wendepunkt). Danach schwächt sich das Wachstum ab durch Übergang in ein begrenztes Wachstum.
Funktionsgleichung:
\(B(t) =\dfrac{B_0 \cdot S}{B_0+(S \, {-} B_0) \cdot e^{{-}k\cdot S \cdot t}} = \dfrac{S}{1+\left(\frac{S}{B_0}\,{-}1\right) \cdot e^{{-}k\cdot S \cdot t}} \)
Bezeichnungen:
\(t \geq 0\): Zeit
\(B(t)\): Bestand zum Zeitpunkt \(t\)
\(B_0\): Anfangsbestand
\(S\): Sättigungsgrenze (obere Grenze)
\(k > 0\): Wachstumskonstante
Beispiel für logistisches Wachstum
Für \(B_0 = 10\), \(S = 40\) und \(k = 0{,}005\) ergibt sich:
\(B(t) = \dfrac{40}{1+\left(\frac{40}{10}\,{-}1\right) \cdot e^{{-}0{,}005 \cdot 40 \cdot t}} \)