Bedeutung der \(e\)-Funktion für beliebige Exponentialfunktionen

Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, \(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}
\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)

a) dass für die Exponentialfunktion zur Basis \(e\) (kurz: \(e\)-Funktion) gilt:

• \(f(x) = e^x\)  und \(\fs{f}(x) = e^x\),
• wobei \(e\) die sog. Euler’sche Zahl ist und \(e \approx 2{,}72\) ist.

b) dass der Logarithmus zur Basis \(e\) auch logarithmus naturalis genannt wird:

• Anstelle von \(\log_e\) schreibt man kürzer einfach nur \(\ln\).
  Also gilt: \(e^\color{magenta}{x} = y \ \ \Leftrightarrow\ \ \color{magenta}{x} = \color{magenta}{\log_e}(y) = \ \ \Leftrightarrow\ \ \color{magenta}{x} = \color{magenta}{\ln}(y)\).
• Außerdem kann man den Logarithmus zu jeder beliebigen Basis \(\color{brown}{b}\) allein mithilfe des \(\color{magenta}{\ln}\) berechnen:
  \(\log_\color{brown}{b}(y) = \dfrac{\color{magenta}{\ln}(y)}{\color{magenta}{\ln}(\color{brown}{b})}\)   („Basis-Wechsel-Formel„)

In diesem Abschnitt werden wir sehen, wie mächtig diese beiden Konzepte sind! Denn man kann

• jede andere Exponentialfunktion mithilfe der \(e\)-Funktion darstellen,
• die Ableitung von jeder anderen Exponentialfunktion mithilfe der \(e\)-Funktion berechnen.

Darstellung von Exponentialfunktionen mithilfe der \(e\)-Funktion

Interaktive Untersuchungen

Aufgabe 1

Sofern das Häkchen bei der Option „f(x)“ gesetzt ist, entfernen Sie das Häkchen (damit der Graph von \(f\) ausgeblendet wird).

Variieren Sie den Wert von \(d\) und beobachten Sie, wie sich

• der Graph von \(u:x\mapsto e^{d\,\cdot\, x}\)
• im Vergleich zum Graphen der \(e\)-Funktion

verändert.

Aufgabe 2

Setzen Sie Häkchen bei der Option „f(x)“
(damit der Graph von \(f\) sichtbar wird).

Beobachten Sie, bei welchem Wert von \(d\)

• der Graph von \(u:x\mapsto e^{d\,\cdot\, x}\)
• mit dem Graphen von \(f:x\mapsto b^x\)

übereinstimmt.

Zusammenhang zwischen der \(e\)-Funktion und einer Exponentialfunktion zur Basis \(b\)

Gegeben sei die Funktion

• \(f:x \mapsto b^x\)  (Exponentialfunktion zur Basis \(b\))

mit der Definitionsmenge \(D_f=\IR\)
und \(b\in\IR^+\setminus\{1\}\).

Dann gilt: \(f(x) = b^x = e^{\ln(b)\cdot x}\)

Beispiele:

\(f(x) = 2^x\),  \(g(x) = e^{\ln(2)\cdot x}\) \(\quad\Rightarrow\ f(x) = g(x)\)

\(\Rightarrow\ f(0) = 2^0 = 1\),
\(\phantom{\Rightarrow\ } g(0) = e^{\ln(2)\cdot 0} = e^0 = 1\)

\(\Rightarrow\ f(1) = 2^1 = 2\),
\(\phantom{\Rightarrow\ } g(1) = e^{\ln(2)\cdot 1} = e^{\ln(2)} = 2\)

\(\Rightarrow\ f(3) = 2^3 = 8\),
\(\phantom{\Rightarrow\ } g(3) = e^{\ln(2)\cdot 3} = e^{\ln(2^3)} = 2^3 =8\)

\(v(x) = 4^x\),  \(w(x) = e^{\ln(4)\cdot x}\) \(\quad\Rightarrow\ v(x) = w(x)\)

\(\Rightarrow\ v(1{,}5) = 4^{1{,}5}=8\),
\(\phantom{\Rightarrow\ } w(1{,}5) = e^{\ln(4)\cdot 1{,}5} = 8\)

Herleitung der Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis \(b\)

Mithilfe der Erkenntnis, dass \(b^x = e^{ln(b)\cdot x}\) gilt, wird es uns nun endlich gelingen, auch die Ableitung einer Exponentialfunktion zu einer beliebigen Basis \(b\) zu bestimmen.

Wir benötigen dafür allerdings noch zwei „Zutaten“:

• die Darstellung einer Funktion \(f\) als Verkettung einer Funktion \(g\) mit einer Funktion \(h\).

• die Ableitungsregel für eine solche Funktion \(f\),
  die eine Verkettung von \(g\) und \(h\) ist
  (die sog. „Kettenregel„).

Schritt 1: Darstellung von \(f\) als „Verkettung“

Gegeben seien die Funktionen

♦ \(f:x \mapsto b^x\)  (Exponentialfunktion zur Basis \(b\))
♦ \(g:x \mapsto e^x\)  (\(e\)-Funktion)
♦ \(h:x\mapsto \ln(b) \cdot x\)

mit den Definitionsmengen \(D_f=D_g=D_h=\IR\)
und \(b\in\IR^+\setminus\{1\}\).

Dann lässt sich \(f\) als Verkettung
der Funktionen \(g\) und \(h\) darstellen:

\(f(x) = b^x = e^{\overbrace{\ln(b)\cdot x}^{= h(x)}} = e^{h(x)} =  g\big(h(x)\big)\).

Schritt 2: Anwendung der „Kettenregel“

Die Kettenregel lautet:

\(f(x) = g\big(h(x)\big)\) \(\implies \fs{f}(x) = \fs{g}\big( h(x) \big) \cdot \fs{h}(x)\)

Laut der Kettenregel benötigen wir die Ableitung von \(g\) und die Ableitung von \(h\):

• \(g(x) =e^x \quad\quad\ \ \implies \fs{g}(x) = e^x\)
• \(h(x)=\ln(b) \cdot x \implies \fs{h}(x) = \ln(b)\)

Diese Terme setzen wir an den richtigen Stellen in die Kettenregel ein:

\(\fs{f}(x) = \fs{g}\big( h(x) \big) \cdot \fs{h}(x)\)
\(\phantom{\fs{f}(x)} = e^{h(x)} \cdot \ln(b)\)
\(\phantom{\fs{f}(x)} = e^{\ln(b) \cdot x} \cdot \ln(b)\)
\(\phantom{\fs{f}(x)} = b^x \cdot \ln(b)\)

Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis \(b\)

Für die Ableitung der Funktion \(f: x\mapsto b^x\)  (Exponentialfunktion zur Basis \(b\)) mit der Definitionsmenge \(D=\IR\)  gilt:

\(\fs{f}(x) = b^x \cdot \ln(b)\).

Achtung:

\(\ln(b)\) ist ein konstanter Wert!

Interpretation:

Den Graphen von \(\fs{f}\) erhält man
durch Streckung des Graphen von \(f\)
in \(y\)-Richtung mit dem Streckungsfaktor \(\ln(b)\).

1. und 2. Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis \(b\)

Wir haben zuletzt hergeleitet:

• \(f(x) = b^x \implies \fs{f}(x) = b^x \cdot \ln(b)\)

Da \(\ln(b)\) hier ein konstanter Faktor ist (der beim Ableiten bekanntlich erhalten bleibt), können wir auch die 2. Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis \(b\) bestimmen:

• \(\fs{f}(x) = b^x \cdot \ln(b) \implies \fss{f}(x) = b^x \cdot \big((\ln(b)\big)^2\)

Folgerungen:

• \(G_f\) ist streng monoton steigend,
  wenn \(\fs{f}(x) = \underbrace{b^x}_{>\,0} \cdot \ln(b) > 0\),
  also wenn \(\ln(b)>0\), was für \(b>1\) der Fall ist.

• \(G_f\) ist streng monoton fallend,
  wenn \(\fs{f}(x) = \underbrace{b^x}_{>\,0} \cdot \ln(b) < 0\),
  wenn \(\ln(b)<0\), was für \(0<b<1\) der Fall ist.

• \(G_f\) ist stets linksgekrümmt,
  da \(\fss{f}(x) =\underbrace{b^x}_{>\,0}\cdot \big((\ln(b)\big)^2\) stets positiv ist.

Zusammenfassung

1) Exponentialfunktion zur Basis \(e\) (auch \(e\)-Funktion genannt)

• \(g(x) = e^x \implies \fs{g}(x) = e^x\)
• \(e\approx 2{,}71828 18284 59045 …\)

2) Logarithmus zur Basis \(e\) (auch Logarithmus naturalis genannt)

• \(\color{blue}{\ln}(x) = \color{blue}{\log}_\color{red}{e}(x)\)
• \(\color{blue}{\ln}(\color{magenta}{w}) = \color{blue}{h} \,\Longleftrightarrow\,  \color{red}{e}^\color{blue}{h} = \color{magenta}{w}\)
• \(\log_b(w) = \dfrac{\ln(w)}{\ln(b)}\)   („Basis-Wechsel-Formel„)

3) Exponentialfunktion zur Basis \(b\)

• \(f(x) = b^x \quad\Leftrightarrow\quad f(x) = e^{\ln(b)\cdot x}\)
• \(\fs{f}(x) = b^x \cdot \ln(b)\)
• \(\fss{f}(x) = b^x \cdot \left(\ln(b)\right)^2\)