Permutationen
In der Zeit des 16. und 17. Jahrhunderts tauschten viele Wissenschaftler ihre Entdeckungen untereinander verschlüsselt, in sogenannten Anagrammen aus. Anagramm bedeutet eine Aneinanderreihung von Buchstaben. Aus einem Wort lassen sich also viele verschiedene Anagramme herstellen. Die Anzahl der verschiedenen Anagramme kann man mit Hilfe des Zählprinzips berechnen.
Betrachtet man ein Wort mit \(3\) Buchstaben, so gibt es nach dem Zählprinzip \(6\) Möglichkeiten, nämlich \(3\) für den ersten Buchstaben, \(2\) für den zweiten Buchstaben und \(1\) für den dritten Buchstaben. Insgesamt also \(3\cdot 2\cdot 1 =6\) Möglichkeiten.
Wie viele Möglichkeiten gibt es für ein Wort mit \(4 (5, n)\) Buchstaben ?
Definition:
Jede Anordnung von \(n\) paarweise verschiedenen Elementen einer \(n\)-Menge heißt Permutation der Elemente, genauer \(n\)-Permutation aus einer \(n\)-Menge. Zu einer \(n\)-Menge gibt es also \(n·(n-1)·(n-2)·…·2·1\) Permutationen. Dafür schreibt man \(n!\) (gesprochen „n Fakultät“).
\[n!=n·(n-1)·(n-2)·…·2·1 \]
Es gilt:
\[1!=1 \hspace{2 cm} 0!=1\]
Die Anzahl der Permutationen aus einer \(n\)-Menge ist \(n!\). Die Zahl \(n!\) lässt sich mit der entsprechenden Taste des Taschenrechners berechnen oder aus einer Tabelle ablesen.
Weitere Beispiele:
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- Bei einem Sportfest laufen \(8\) gleichstarke Läufer gegeneinander. Bestimmen Sie rechnerisch die Anzahl der möglichen Zieleinläufe.
- Zu einem Fest sind \(25\) Personen eingeladen. Geben Sie mit Hilfe einer Rechnung die ungefähre Anzahl an Sitzordnungen an.
- Die Gäste aus 2. stellen sich nun in einem Kreis auf. Aufstellungen, die durch Rotieren einer anderen Aufstellung entstehen, sollen als identisch betrachtet werden. Begründen Sie, weshalb die Anzahl der möglichen Anordnungen nun \(24!\) ist.