k-Tupel aus einer n-Menge
(Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge)
Viele Gegenstände wie z. B. Fahrräder oder auch Koffer werden mit Zahlenschlössern gesichert.
Ein Fahrradschloss hat z.B. \(4\) Stellen. An jeder Stelle kann eine Zahl zwischen \(0\) und \(9\) eingestellt werden. Wie viele Geheimzahlen gibt es für dieses Schloss?
Die erste Stelle hat \(10\) Möglichkeiten. Für jede weitere Stelle gibt es jeweils wieder \(10\) Ziffern. Folglich gibt es bei \(4\) Stellen
\(10\cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4=10000\) Kombinationen.
Wie viele Geheimzahlen gibt es, wenn das Schloss dreistellig ist und die Zahlen \(1\) bis \(7\) eingestellt werden können?
Wie viele Geheimzahlen gibt es, wenn das Schloss \(k\) Stellen hat und für jede Stelle \(n\) Zahlen möglich sind ?
Vergleicht man diese Zufallsexperimente mit einem Urnenmodell, so handelt es sich um „Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge“, sogenannte \(k\)-Stichprobe mit Zurücklegen. Bei einem solchen Experiment heißen die Elemente Tupel (vgl. Kapitel 1). Ein Tupel mit \(k\) Stellen, bei dem für jede Stelle alle \(n\) Elemente einer \(n\)-Menge zur Verfügung stehen heißt \(k\)-Tupel aus einer \(n\)-Menge.
Damit erhalten wir also:
\[\text{Die Anzahl der }k\text{-Tupel aus einer }n \text{-Menge ist }n^k.\]
Weitere Beispiele
- Ein Spielautomat hat \(3\) Walzen. Auf jeder dieser Walzen erscheinen unterschiedliche Früchte (Bananen, Äpfel,…). Wie viele verschiedene Anzeigen können entstehen, wenn sich auf jeder Walze \(5\) verschiedene Bilder befinden?
- Bei der Sportwette Oddset (früher Toto) kann man auf den Ausgang von Fußballspielen wetten. Dabei steht die \(1\) für den Sieg der Heimmannschaft, die \(0\) für Unentschieden und die \(2\) für den Sieg der Gastmannschaft. Jemand wettet für \(11\) Spiele. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Tippschein auszufüllen?
- Ein Aktenkoffer ist durch \(2\) voneinander unabhängige Zahlenschlösser gesichert. Jedes Schloss hat \(4\) Stellen, es können jeweils die Ziffern \(0\) bis \(9\) eingestellt werden. Wie viele Zahlenkombinationen muss man maximal ausprobieren, wenn man die Schlösser nacheinander öffnet?