Aufgaben: Modellieren von exponentiellen Prozessen mit e-Funktionen

\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}
\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}\)

Aufgabe 1 (nach oben beschränktes Wachstum)

Ein Becher Joghurt wird aus einem Kühlschrank mit einer Temperatur \(\vartheta_0\) entnommen und im Zimmer abgestellt. Daraufhin nimmt die Temperatur des Joghurts exponentiell zu. Die Temperatur kann deshalb durch eine Funktionsgleichung der Form \(\vartheta (t)= 19 \, – 14 \cdot e^{{-}0{,}07582 \cdot t}\) beschrieben werden. Dabei bezeichnet \(\vartheta(t)\) die Temperatur des Joghurts in \(°C\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Minuten) seit Beobachtungsbeginn. Bei Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

a) Berechnen Sie die Anfangstemperatur \(\vartheta_0\) des Joghurts.

b) Berechnen Sie die Temperatur des Joghurts eine Viertelstunde nach dem Herausnehmen aus dem Kühlschrank.

c) Berechnen Sie die Zeit \(t\), nach der sich die Temperatur des Joghurts im Vergleich zum Beginn verdreifacht hat.

d) Berechnen Sie den Zeitpunkt \(t\), bei dem die Temperatur des Joghurts \(17\, °C\) beträgt.

e) Ermitteln Sie durch eine geeignete Rechnung die Temperatur des Joghurts nach langer Zeit.

f) Zeichnen Sie den Graphen von \(\vartheta\) im Bereich \(0 \leq t \leq 50 \) und seine Asymptote in ein geeignetes Koordinatensystem.

\(\vartheta (0)= 19 \, – 14 \cdot e^{{-}0{,}07582 \cdot 0} = 19 \, – 14 \cdot e^0 = 19 \, – 14 \cdot 1 = 5\)

Die Anfangstemperatur des Joghurts beträgt \( 5 \, °C\).

\(\frac 14 \, h = \frac 14 \cdot 60 \, min = 15 \, min \)

\(\vartheta (15)= 19 \, – 14 \cdot e^{{-}0{,}07582 \cdot 15} = 14{,}5\)

Nach \(15 \, min\) hat der Joghurt eine Temperatur von \( 14{,}5 \, °C\).

\(\begin{array}{lrclcl}
& \vartheta (t) &=& 3 \cdot 5 & &\\
& \vartheta (t) &=& 15 & &\\
\Rightarrow & 19 \, – 14 \cdot e^{{-}0{,}07582 \cdot t} &=& 15 &|& -19\\
\Rightarrow & – 14 \cdot e^{{-}0{,}07582 \cdot t} &=& – 4 &|& :(-14)\\
\Rightarrow & e^{{-}0{,}07582 \cdot t} &=& \frac{2}{7} &|& \ln (…)\\
\Rightarrow & – 0{,}07582 \cdot t &=& \ln (\frac{2}{7}) &|& :(- 0{,}07582)\\
\Rightarrow & t &=& \frac {\ln (\frac{2}{7})}{- 0{,}07582} \approx & 16{,}5 & & \\
\end{array}\)

Nach \(16{,}5 \, min\) hat sich die Temperatur des Joghurts verdreifacht.

\(\begin{array}{lrclcl}
& \vartheta (t) &=& 17 & &\\
\Rightarrow & 19 \, – 14 \cdot e^{{-}0{,}07582 \cdot t} &=& 17 &|& -19\\
\Rightarrow & – 14 \cdot e^{{-}0{,}07582 \cdot t} &=& – 2 &|& :(-14)\\
\Rightarrow & e^{{-}0{,}07582 \cdot t} &=& \frac{1}{7} &|& \ln (…)\\
\Rightarrow & – 0{,}07582 \cdot t &=& \ln (\frac{1}{7}) &|& :(- 0{,}07582)\\
\Rightarrow & t &=& \frac {\ln (\frac{1}{7})}{- 0{,}07582} \approx & 25{,}7 & & \\
\end{array}\)

Nach \(25{,}7 \, min\) beträgt die Temperatur des Joghurts \(17 \, °C\).

\(\lim \limits_{t \to +\infty}\left(\vartheta(t)\right) = \lim \limits_{t \to +\infty} (19 \, – 14 \cdot \underbrace {e^{{-}0{,}07582 \cdot t}}_{\to 0}) = 19\)

Nach hinreichend langer Zeit erwärmt sich das Joghurts auf ca. \(19 \, °C\).

Aufgabe 2 (nach unten begrenzter Abklingvorgang)

Lisa möchte ein warmes Bad nehmen. Sie hat das Badezimmer vorgeheizt und Wasser in die Wanne gelassen. Mit einem Badethermometer misst sie die Wassertemperatur. Sie stellt fest, dass das Wasser anfangs zu heiß ist, also eine zu hohe Anfangstemperatur \(T_0\) hat. Die Abkühlung des Wassers kann durch den Funktionsterm \(T(t) = 23 + 37 \cdot e^{{-}0{,}065 \cdot t}\) mit \(t \geq 0\) beschrieben werden, wobei \(t\) die seit Messbeginn verstrichene Zeit in Minuten ist.

a) Ermitteln Sie die Anfangstemperatur \(T_0\) des Wassers.

b) Berechnen Sie wie lange es dauert, bis die von Lisa gewünschte Badetemperatur von (\(40° C\)) erreicht ist.

c) Erläutern Sie anhand der Funktionsgleichung und einer geeigneten Rechnung, auf welche Temperatur das Badezimmer am Anfang vorgeheizt war.

d) Zeichnen Sie den Graphen von \(T\) im Bereich \(0 \leq t \leq 70 \) und seine Asymptote in ein geeignetes Koordinatensystem.

e) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur im Zeitintervall \(t \in [10; 15] \). Geben Sie den Wert mit der zugehörigen Einheit an und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.

\(T(0) = 23 + 37\cdot e^{-0{,}065\cdot 0} = 23 + 37 = 60\)

Das Wasser hatte zu Messbeginn eine Temperatur von \({60° C}\).

\(\begin{array}{lrclcl}
& T(t) &=& 40 & &\\
\Rightarrow & 23 + 37 \cdot e^{-0{,}065\cdot t} &=& 40  &|& -23\\
\Rightarrow & 37 \cdot e^{-0{,}065\cdot t} &=& 17 &|& :37\\
\Rightarrow & e^{-0{,}065\cdot t} &=& \frac{17}{37} &|& ln(…)\\
\Rightarrow & -0{,}065\cdot t &=& ln\left(\frac{17}{37}\right)   &|& : (-0{,}065)\\
\Rightarrow & t &=& -\frac{1}{0{,}065} \cdot ln\left(\frac{17}{37}\right) \\
\Rightarrow & t &\approx& 11{,}96 \\
\end{array}\)

Nach rund 12 Minuten hat das Badewasser die gewünschte Temperatur von \(40° C\)  erreicht.

Nimmt man an, dass die Raumtemperatur konstant bleibt, während das Wasser abkühlt, so wird sich das Wasser langfristig auf die anfängliche Temperatur des vorgeheizten Badezimmers abkühlen.

\(\lim\limits_{t\to+\infty}\left(T(t)\right) =\) \(\lim\limits_{t\to+\infty} (23 + 37 \cdot \underbrace{e^{-0{,}065\cdot t}}_{\rightarrow 0} ) = 23\)

Das Badezimmer war auf ca. \(23° C\) vorgeheizt.

\(\frac{\Delta{T}}{\Delta{t}} = \frac{T(15)-T(10)}{15-10} \approx -1{,}07\)

Der Wert \(-1{,}07 \frac{° C}{min}\)  gibt an, dass die Temperatur des Wassers im Zeitraum von der 10. bis zur 15. Minute durchschnittlich um \(1{,}07 °C\) pro Minute abnimmt.

Aufgabe 3 (Abbau eines Wirkstoffes)

Aspirintabletten enthalten den Wirkstoff Acetylsalicylsäure (ASS). Nach der Einnahme einer Tablette befindet sich nach einer gewissen Zeit (zum Zeitpunkt \(t = 0\))  eine maximale Menge von \(400 \, mg\) im Blutkreislauf einer Person. Pro Stunde werden dann \(15 \, \text{%}\) des ASS wieder aus dem Blutkreislauf ausgeschieden.
Die Abnahme der Wirkstoffmenge im Blutkreislauf der Person kann durch einen Funktionsterm \(A(t)\) einer Exponentialfunktion modelliert werden. Dabei gibt \(A(t)\) für \(t \geq 0\) die Wirkstoffmenge im Körper (in \(mg\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Stunden seit Beobachtungsbeginn) an.

a) Stellen Sie einen möglichen Funktionsterm \(A(t)\) auf.

Stellen Sie den Funktionsterm auch mit der \(e\)-Funktion dar.

[ Teilergebnis: \(A(t)=400 \cdot e^{{-}0{,}1625 \cdot t}\) ]

b) Berechnen Sie die biologische Halbwertszeit von ASS im Blutkreislauf der Person. Interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.

c) Berechnen Sie den Zeitpunkt \(t\), an dem die Wirkstoffmenge im Körper nur noch ein Fünftel der Anfangsmenge beträgt.

d) Zeichnen Sie den Graphen von \(A\) im Bereich \(0 \leq t \leq 8 \) in ein geeignetes Koordinatensystem.

e) Ermitteln Sie mithilfe des Graphen von \(A\) näherungsweise den Zeitpunkt \(t\), ab dem die Menge des ASS im Blutkreislauf den Wert \(250 \, mg\) unterschreitet.

Abbaurate: \(r=15\, \text{%} = 0{,}15\)

Basis: \(b = 1-0{,}15 = 0{,}85\)

\(A(t) = 400 \cdot 0{,}85^t\)

Darstellung mit der \(e\)-Funktion:

\(A(t) = 400 \cdot e^{\ln(0{,}85) \cdot t} \approx 400 \cdot e^{{-}0{,}1625 \cdot t} \)

\(t_H = \frac{0,5}{c} \frac{0,5}{-0,1625} \approx 4{,}27 \)

Die biologische Halbwertszeit von ASS beträgt ca. \(4{,}27 \, h\).
Interpretation: Nach rund \(4{,}27 \, h\) ist noch die Hälfte der ursprünglichen Menge des ASS im Blutkreislauf vorhanden.

\(20 \, \text{%} = 0,2\)

\(\begin{array}{lrclcl}
& A(t) &=& 0{,}2 \cdot 400 & &\\
& A(t) &=& 80 & &\\
\Rightarrow & 400 \cdot e^{{-}0{,}1625 \cdot t} &=& 80 &|& :400\\
\Rightarrow & e^{- 0{,}1625 \cdot t} &=& 0{,}2 &|& \ln (…)\\
\Rightarrow & – 0{,}1625 \cdot t &=& \ln (0{,}2) &|& :(- 0{,}1625)\\
\Rightarrow & t &=& \frac {\ln (0{,}2)}{- 0{,}1625} \approx & 9{,}9 & & \\
\end{array}\)

Nach rund \(9{,}9 \, h\) sind noch \(20 \, \text{%}\) der Anfangsmenge im Blutkreislauf vorhanden.

Ab \(t \approx 2{,}9 \, h\) wird die Menge von \(250 \,mg\) im Blutkreislauf unterschritten.

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