Aufgaben zur allgemeinen Exponentialfunktion

\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}
\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}\)

Aufgabe 1

Gegeben sind Ausschnitte von Graphen der Funktionen \(f\), \(g\), \(h\) und \(i\) mit den Definitionsmengen \(D_f=\IR\), \(D_g=\IR\), \(D_h=\IR\) und \(D_i=\IR\). Die Funktionsterme von \(f\), \(g\), \(h\) und \(i\)  lassen sich alle in der Form \(a \cdot b^{k \cdot x}+d\) mit \(a, b, k, d \in \IR\) darstellen. Geben Sie jeweils die fehlenden Werte für \(a, b\) und \(d\) an.

Aufgabe 1a

Aufgabe 1b

Aufgabe 1c

Aufgabe 1d

  • Der Wert von \(a\) ist für die Stauchung oder Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung verantwortlich. Zusätzlich wird der Graph bei negativem Wert von \(a\) an der \(x\)-Achse gespiegelt.
  • Der Wert von \(b\) lässt sich berechnen, indem man die Koordinaten eines Punkts auf dem Graphen nutzt, der nicht auf der \(y\)-Achse liegt.
  • Das Vorzeichen des Wertes von \(k\) spiegelt den Graphen an der \(y\)-Achse.
  • Der Wert von \(d\) ist für die Verschiebung des Graphen in \(y\)-Richtung verantwortlich.

Aufgabe 2

Gegeben sind die folgenden Funktionsgleichungen von allgemeinen Exponentialfunktionen auf der Definitionsmenge \(D=\IR\). Wählen Sie jeweils den passenden Funktionsgraphen aus.

\(f(x)=-2 \cdot 3^x+4\)

\(g(x)=0,5^{x-2}\)

\(h(x)=1,5 \cdot 3^x\)

\(i(x)=1,2^{-2x+4}\)

Vorschläge für den Graphen von \(f\)

Vorschläge für den Graphen von \(g\)

Vorschläge für den Graphen von \(h\)

Vorschläge für den Graphen von \(i\)

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f:x\mapsto 3 \cdot 2^{2(x+0,5)}-12\) mit der Definitionsmenge \(D_f=\IR\). Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit der \(x\)-Achse bzw. der \(y\)-Achse.

Ansatz für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0)\)

Ansatz für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(f(x)=0\)

\(f(0)=3 \cdot 2^{2(0+0,5)}-12=- 6\)

\(S_y(0|{-}6)\)

\(\begin{array}{lrcl}
& f(x) &=& 0\\
\Rightarrow & 3 \cdot 2^{2(x+0{,}5)}-12 &=&0 \\
\Rightarrow & 3 \cdot 2^{2(x+0{,}5)} &=& 12\\
\Rightarrow & 2^{2(x+0{,}5)} &=& 4\\
\Rightarrow & \log_2(2^{2(x+0{,}5)}) &=& \log_2(4)\\
\Rightarrow & 2(x+0{,}5) &=& 2\\
\Rightarrow & x+0{,}5 &=& 1\\
\Rightarrow & x &=& 0{,}5\\
\end{array}\)

\(S_x(0{,}5|0)\)

Aufgabe 4

\(i(0)=8 \cdot 1,5^{0+2}-27=-9\)

\(S_y (0|-9)\)

\(\begin{array}{lrcl}
& i(x) &=&0\\
\Rightarrow & 8 \cdot 1{,}5^{x+2}-27 &=& 0\\
\Rightarrow & 8 \cdot 1,5^{x+2} &=& 27\\
\Rightarrow & 1{,}5^{x+2} &=& \frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = 1{,}5^3 \\
\Rightarrow & x+2 &=&log_{1{,}5}\left(1{,}5^3\right) = 3\\
\Rightarrow & x &=& 1\\
\end{array}\)

\(S_x(1|0)\)

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