Beispiele und Aufgaben zu exponentiellen Prozessen \(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime\prime}}
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Viele reale Vorgänge laufen exponentiell ab, wie zum Beispiel die Vermehrung von Bakterien oder der Abbau von Wirkstoffen im menschlichen Körper. Dabei könnte von Interesse sein, zu welchem Zeitpunkt wie viele Bakterien vorhanden sind, oder zu welchem Zeitpunkt der Wirkstoff im menschlichen Körper so stark abgebaut ist, dass er keine Wirkung mehr hat.

Beispiele

Beispiel: Exponentielles Wachstum

Das Wachstum einer Bakterienkolonie wird im Labor untersucht. Unter bestimmten Bedingungen verdreifacht sich die Anzahl \(N(t)\) der Bakterien stündlich, wobei \(t\) die seit Beobachtungsbeginn verstrichene Zeit in Stunden angibt. Zu Beobachtungsbeginn befinden sich \(100\) Bakterien in einer Schale mit Nährlösung.

a) Ermitteln Sie, wie viele Bakterien sich nach einer, zwei bzw. drei Stunden in der Schale befinden.

b) Geben Sie den Anfangsbestand \(N_0\), die Wachstumsrate \(r\) sowie den Wachstumsfaktor \(b\) an.
Stellen Sie einen geeigneten für Term \(N(t)\) auf, der die Anzahl \(N\) der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Stunden) angibt.

c) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf der Bakterienanzahl \(N(t)\) für \(0 \leq t \leq 3\) in einem Koordinatensystem dar.

Beispiel: Exponentielle Abnahme

Ein Mittel zur Senkung des Blutdrucks wird im Körper jede Stunde um \(20 \text{%}\) abgebaut. Eine Einzeldosis enthält \(12 mg\) Wirkstoff.
Die im Körper vorhandene Wirkstoffmenge hängt also von der Zeit ab. Im Folgenden bezeichnet \(M(t)\)  die zum Zeitpunkt \(t\) noch im Körper vorhandene Wirkstoffmenge in Milligramm (\(mg\)), wobei \(t\) die seit Beobachtungsbeginn verstrichene Zeit in Stunden angibt.

a) Ermitteln Sie, welche Wirkstoffmenge nach einer, zwei bzw. drei Stunden im Körper noch vorhanden ist.

b) Geben Sie die Anfangsmenge \(M_0\), die Zerfallsrate \(r\) sowie den Zerfallsfaktor \(b\) an.
Stellen Sie einen Term auf, der die Wirkstoffmenge \(M(t)\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) angibt.

c) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf der Wirkstoffmenge \(M(t)\) für \(0 \leq t \leq 3\) in einem Koordinatensystem dar.

Wachstumsfaktor, Wachstumsrate bzw. Zerfallsfaktor, Zerfallsrate

Es gilt: \(f(t) = a \cdot b^t \) mit \(b>0\).

• \(a\) heißt Anfangswert.
• \(b\) heißt Basis.
• \(r\) ist der „Abstand“ von \(b\) zur Zahl \(1\).

Exponentielles Wachstum: z.B. \(f(t) = 20 \cdot 1{,}3^t \)

Bei exponentiellem Wachstum

• ist die Basis \(b\) größer als \(1\) (kurz: \(b > 1\)).
• heißt die Basis \(b\) auch Wachstumsfaktor.
• wird der Wert \(r = b\ -\ 1\) als Wachstumsrate bezeichnet.
• ist die Wachstumsrate \(r\) positiv (kurz: \(r>0)\).
• kann man auch schreiben \(f(t) = a \cdot (\underbrace{1+r}_{=b})^t \) mit \(r>0\).

Exponentieller Zerfall: z.B. \(f(t) = 20 \cdot 0{,}87^t \)

Bei exponentiellem Zerfall

• liegt die Basis \(b\) zwischen \(0\) und \(1\) (kurz: \(0 < b < 1\)).
• heißt die Basis \(b\) auch Zerfallsfaktor.
• wird der der Wert \(r = 1\ -\ b\) als Zerfallsrate bezeichnet.
• liegt auch die Zerfallsrate \(r\) zwischen \(0\) und \(1\) (kurz: \(0 < r < 1)\).
• kann man auch schreiben \(f(t) = a \cdot (\underbrace{1-r}_{=b})^t \) mit \(0<r<1\).