Ableiten von e-Funktionen, die mit linearen bzw. quadratischen Funktionen verknüpft sind

Im vorherigen Kapitel haben wir gesehen, dass Funktionen, die durch die Verknüpfung von \(e\)-Funktion mit linearen oder quadratischen Funktionen entstehen, in ihren Graphen Eigenschaften besitzen, die wir bereits von den Graphen ganzrationaler Funktionen kennen:

  • ihr Steigungsverhalten
  • ihr Krümmungsverhalten
  • ihre Extrempunkte (Hochpunkte, Tiefpunkte)
  • ihre Wendepunkte

Um diese Eigenschaften rechnerisch ermitteln zu können, werden wir wieder auf die Idee des „Ableitens“ zurückgreifen.\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)

Ermittlung der Ableitung von \(f:x\mapsto g(x)\cdot e^{h(x)} + y_0\)

Beispiel

In der nebenstehenden Abbildung ist der Ausschnitt der Funktion \(f:x\mapsto \frac{1}{4}(x^2-5)\cdot e^{-\frac{1}{2}x+1}+1\) mit der Definitionsmenge \(D_f=\IR\) zu sehen.

Der Graph der Funktion \(f\) besitzt

  • die lokalen Extrempunkte \(T\) und \(H\) bzw.
  • die Wendepunkte \(W_1\) und \(W_2\).

Für die Berechnung der exakten Koordinaten dieser Punkte benötigen wir bekanntlich die erste und die zweite Ableitung von \(f\).

 

 

Die Funktionsgleichung von \(f\) liegt in der Form \(f(x) = g(x)\cdot e^{h(x)} + y_0\) vor. Um so eine Funktion ableiten zu können, benötigt man das Wissen, wie man

  • die Verkettung zweier Funktionen (hier: \(e\)-Funktion verkettet mit der Funktion \(h\))
  • ein Produkt zweier Funktionen (hier: Funktion \(g\) multipliziert mit der Funktion \(x\mapsto e^{h(x)}\)

ableitet.

Kettenregel: Ableitung einer Verkettung von zwei Funktionen

Gegeben sei eine Funktion \(f\),
die sich als Verkettung

  • einer Funktion \(g\)
  • mit einer Funktion \(h\)

darstellen lässt,
also in der Form \(f(x) = g\big(\ h(x)\ \big)\).

Dann gilt für die Ableitung von \(f\):

\(\fs{f}(x) = \fs{g}\big( h(x) \big) \cdot \fs{h}(x)\)

Beim Anwenden der Kettenregel wird der Vorgang,
bei dem mit \(\fs{h}(x)\) multipliziert wird, auch als
„Nachdifferenzieren der inneren Funktion“ bezeichnet.

Beispiel 1: \(f(x)=(3x+1)^2\)

Beispiel 1: \(f(x)=(3x+1)^2\)

\(f\) ist eine Verkettung der Funktionen \(g\) und \(h\) mit
\(g(x)=x^2\) und \(h(x)=3x+1\),

denn: \(f(x) = \color{blue}{ \big(\color{magenta}{h(x)}\big)^2} =\color{blue}{g\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\)

Für die Ableitungen von \(g\) und \(h\) gilt:
\(\fs{g}(x)=2x\)  und \(\fs{h}(x)=3\)

\(\Rightarrow \fs{f}(x) = \color{forestgreen}{\fs{g}\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\cdot \color{red}{\fs{h}(x)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = \color{forestgreen}{\fs{g}\big( \color{magenta}{3x+1} \big)}\cdot \color{red}{3}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = \color{forestgreen}{2\cdot\big( \color{magenta}{3x+1} \big) }\cdot \color{red}{3}\)

Beispiel 2: \(f(x)=(x^3-2x)^8\)

\(f\) ist eine Verkettung der Funktionen \(g\) und \(h\) mit
\(g(x)=x^8\) und \(h(x)=x^3-2x\),

denn: \(f(x) = \color{blue}{ \big(\color{magenta}{h(x)}\big)^8} =\color{blue}{g\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\)

Für die Ableitungen von \(g\) und \(h\) gilt:
\(\fs{g}(x)=8x^7\)  und \(\fs{h}(x)=3x^2-2\)

\(\Rightarrow \fs{f}(x) = \color{forestgreen}{\fs{g}\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\cdot \color{red}{\fs{h}(x)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = \color{forestgreen}{\fs{g}\big( \color{magenta}{x^3-2x} \big)}\cdot \color{red}{(3x^2-2)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = \color{forestgreen}{8\cdot\big( \color{magenta}{x^3-2x} \big)^7 }\cdot \color{red}{(3x^2-2)}\)

Beispiel 3: \(f(x)= e^{h(x)}\)

\(f\) ist eine Verkettung der Funktionen \(g\) und \(h\) mit
\(g(x)=e^x\),

denn: \(f(x) = \color{blue}{e}^{\color{magenta}{h(x)}} =\color{blue}{g\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\)

Für die Ableitung von \(g\) gilt: \(\fs{g}(x)=e^x\)

\(\Rightarrow \fs{f}(x) = \color{forestgreen}{\fs{g}\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\cdot \color{red}{\fs{h}(x)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = \color{forestgreen}{e^{\color{magenta}{h(x)}}}\cdot \color{red}{\fs{h}(x)}\)

Beispiel 4: \(f(x)= e^{-x}\)

\(f\) ist eine Verkettung der Funktionen \(g\) und \(h\) mit
\(g(x)=e^x\)  und \(h(x)=-x\),

denn: \(f(x) = \color{blue}{e}^{\color{magenta}{h(x)}} =\color{blue}{g\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\)

Für die Ableitungen von \(g\) und \(h\) gilt:
\(\fs{g}(x)=e^x\)  und \(\fs{h}(x)=-1\)

\(\Rightarrow \fs{f}(x) = \color{forestgreen}{\fs{g}\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\cdot \color{red}{\fs{h}(x)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = \color{forestgreen}{\fs{g}\big( \color{magenta}{{-}x} \big)}\cdot \color{red}{(-1)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = \color{forestgreen}{e^{\color{magenta}{-x}}}\cdot \color{red}{(-1)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = -e^{-x}\)

Beispiel 5: \(f(x)=\frac{3}{2} e^{x^2-2x+1}\)

\(f\) ist eine Verkettung der Funktionen \(g\) und \(h\) mit
\(g(x)=\frac{3}{2} e^x\) und \(h(x)=x^2-2x+1\),

denn: \(f(x) = \color{blue}{\frac{3}{2} e}^{\color{magenta}{h(x)}} =\color{blue}{g\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\)

Für die Ableitungen von \(g\) und \(h\) gilt:
\(\fs{g}(x)=\frac{3}{2} e^x\)  und \(\fs{h}(x)=2x-2\)

\(\Rightarrow \fs{f}(x) = \color{forestgreen}{\fs{g}\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\cdot \color{red}{\fs{h}(x)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = \color{forestgreen}{\fs{g}\big( \color{magenta}{\color{magenta}{x^2-2x+1}} \big)}\cdot \color{red}{(2x-2)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = \color{forestgreen}{\frac{3}{2} e^{\color{magenta}{\color{magenta}{x^2-2x+1}}}}\cdot \color{red}{(2x-2)}\)

Beispiel 6: \(f(x)=(e^x+5x^3)^4\)

\(f\) ist eine Verkettung der Funktionen \(g\) und \(h\) mit
\(g(x)= x^4\) und \(h(x)=e^x+5x^3\), also

denn: \(f(x) = \color{blue}{{\color{magenta}{h(x)}}^4} =\color{blue}{g\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\)

Für die Ableitungen von \(g\) und \(h\) gilt:
\(\fs{g}(x)= 4x^3\)  und \(\fs{h}(x)=e^x+15x^2\)

\(\Rightarrow \fs{f}(x) = \color{forestgreen}{\fs{g}\big( \color{magenta}{h(x)} \big)}\cdot \color{red}{\fs{h}(x)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = \color{forestgreen}{\fs{g}\big( \color{magenta}{\color{magenta}{e^x+5x^3}} \big)}\cdot \color{red}{(e^x+15x^2)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} = \color{forestgreen}{4\cdot ({\color{magenta}{e^x+5x^3}} )^3}\cdot \color{red}{(e^x+15x^2)}\)

1. Schritt: Ermittelung des Differenzenquotienten (Term für die Sekantensteigung)

Wir ermitteln zunächst den Differenzenquotienten für \(f(x) = g\big(h(x)\big)\) bzgl. der \(x\)-Koordinaten \(x\) und \(x_0\).

\(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) \(= \dfrac{g\big(\color{magenta}{h(x)}\big)-g\big(\color{magenta}{h(x_0)}\big)}{x-x_0} = …\)

Zur einfacheren Lesbarkeit ersetzen wir \(z = h(x)\) und \(z_0 = h(x_0)\).

\(…= \dfrac{g\big(\color{magenta}{z}\big)-g\big(\color{magenta}{z_0}\big)}{x-x_0} = …\)

Wir erweitern mit \((z-z_0)\) und schreiben den Quotienten als Produkt von zwei „brauchbareren“ Quotienten.

\(…= \dfrac{(g\big(z\big)-g\big(z_0\big))\cdot \color{red}{(z-z_0)}}{(x-x_0)\cdot \color{red}{(z-z_0)}}\) \(= \dfrac{g\big(z\big)-g\big(z_0\big)}{\color{red}{z-z_0} }\cdot \dfrac{\color{red}{z-z_0}}{x-x_0} = …\)

Im hinteren Quotienten machen wir die Ersetzungen wieder rückgängig,

schreiben also \(h(x)\) statt \(z\) und \(h(x_0)\) statt \(z_0\).

\(… = \dfrac{g\big(z\big)-g\big(z_0\big)}{z-z_0} \cdot \dfrac{\color{magenta}{h(x)}-\color{magenta}{h(x_0)}}{x-x_0}\)

2. Schritt: Ermittelung des Differenzialquotienten (Term für die Ableitung)

Jetzt endlich schieben wir die Stelle \(x_0\) unendlich nah an die Stelle \(x\) heran, berechnen also

  • nicht länger die Sekantensteigung von \(G_f\) bzgl. \(x\) und \(x_0\),
  • sondern die Steigung der Tangente an \(G_f\) an der Stelle \(x\).
  • Mit anderen Worten: wir berechnen nun \(\fs{f}(x)\).

\(\fs{f}(x) = \lim \limits_{x_0 \to x}\left(\dfrac{g\big(z\big)-g\big(z_0\big)}{z-z_0} \cdot \dfrac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}\right) = …\)

Wenn der Graph der Funktion \(h\) keine Sprünge macht (d.h. wenn \(h\) stetig ist),
dann nähert sich mit \(x_0 \rightarrow x\) auch die Stelle \(z_0\) automatisch unendlich nah an die Stelle \(z\) an.

\(… = \underbrace{\lim \limits_{z_0 \to z}\left(\dfrac{g\big(z\big)-g\big(z_0\big)}{z-z_0}\right)}_{\large=\ \fs{g}(z)} \cdot \underbrace{\lim \limits_{x_0 \to x}\left(\dfrac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}\right)}_{\large=\ \fs{h}(x)}\) \(= \fs{g}(\color{magenta}{z}) \cdot \fs{h}(x)\)

Wir machen die Ersetzung wieder rückgängig, schreiben also \(h(x)\) statt \(z\), und erhalten somit einen Term, der verrät, wie man eine Funktion \(f\) ableitet, die eine Verkettung der Funktionen \(g\) und \(h\) ist.

\(\fs{f}(x) =\fs{g}\big( \color{magenta}{h(x)} \big) \cdot \fs{h}(x)\)

Produktregel: Ableitung eines Produkts von zwei Funktionen

Gegeben sei eine Funktion \(f\),
die sich als Produkt

  • einer Funktion \(g\) und
  • einer Funktion \(h\)

darstellen lässt,
also in der Form \(f(x) = g(x) \cdot h(x)\).

Dann gilt für die Ableitung von \(f\):

\(\fs{f}(x) = g(x) \cdot \fs{h}(x) + \fs{g}(x) \cdot h(x) \)

Merke:

Es werden niemals beide Faktoren gleichzeitig abgeleitet!

Beispiel 1: \(f(x)=(3x-2)\cdot (4x+1)\)

\(f\) ist ein Produkt der Funktionen \(g\) und \(h\) mit
\(g(x)=3x-2\)  und \(h(x)=4x+1\).

Für die Ableitungen von \(g\) und \(h\) gilt:
\(\fs{g}(x)=3\)  und \(\fs{h}(x)=4\).

\(\Rightarrow \fs{f}(x) = \color{blue}{g(x)} \cdot \color{red}{\fs{h}(x)} + \color{forestgreen}{\fs{g}(x)} \cdot\color{magenta}{h(x)} \)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} =\color{blue}{(3x-2)} \cdot \color{red}{4} + \color{forestgreen}{3} \cdot \color{magenta}{(4x+1)}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} =12x-8 + 12x +3 = 24x-5\)

Beispiel 2: \(f(x)=x \cdot e^x\)

\(f\) ist ein Produkt der Funktionen \(g\) und \(h\) mit
\(g(x)=x\)  und \(h(x)=e^x\),

Für die Ableitungen von \(g\) und \(h\) gilt:
\(\fs{g}(x)=1\)  und \(\fs{h}(x)=e^x\)

\(\Rightarrow \fs{f}(x) = \color{blue}{g(x)} \cdot \color{red}{\fs{h}(x)} + \color{forestgreen}{\fs{g}(x)} \cdot\color{magenta}{h(x)} \)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} =\color{blue}{x} \cdot \color{red}{e^x} + \color{forestgreen}{1} \cdot \color{magenta}{e^x}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} =x\cdot e^x + e^x = e^x\cdot (x+1)\)

Beispiel 3: \(f(x)=3 \cdot e^x\)

ACHTUNG:

Da der erste Faktor eine konstante Zahl ist, ist die Anwendung der Produktregel hier unnötig umständlich.

Einfacher ist hier die Ableitungsregel für konstante Faktoren, die besagt, dass konstante Faktoren beim Ableiten erhalten bleiben.

Wer es gerne umständlich mag:

\(f\) ist ein Produkt der Funktionen \(g\) und \(h\) mit
\(g(x)=3\)  und \(h(x)=e^x\),

Für die Ableitungen von \(g\) und \(h\) gilt:
\(\fs{g}(x)=0\)  und \(\fs{h}(x)=e^x\)

\(\Rightarrow \fs{f}(x) = \color{blue}{g(x)} \cdot \color{red}{\fs{h}(x)} + \color{forestgreen}{\fs{g}(x)} \cdot\color{magenta}{h(x)} \)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} =\color{blue}{0} \cdot \color{red}{e^x} + \color{forestgreen}{3} \cdot \color{magenta}{e^x}\)
\(\phantom{\Rightarrow \fs{f}(x)} =3 \cdot e^x\)

1. Schritt: Ermittelung des Differenzenquotienten (Term für die Sekantensteigung)

Wir ermitteln zunächst den Differenzenquotienten für \(f(x) = g(x) \cdot h(x)\) bzgl. der \(x\)-Koordinaten \(x\) und \(x_0\).

\(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) \(= \dfrac{g(x) \cdot h(x)-g(x_0) \cdot h(x_0) }{x-x_0} = …\)

Damit wir später teilweise ausklammern können, müssen wir zunächst einen Trick anwenden:
wir fügen im Zähler eine \(0\) ein.

\(… = \dfrac{g(x) \cdot h(x)\ \color{red}{+0}\ -g(x_0) \cdot h(x_0) }{x-x_0} = …\)

Die eingefügte \(0\) ersetzen wir durch den Term \(-g(x)\cdot h(x_0) + g(x)\cdot h(x_0)\), der offensichtlich den Wert \(0\) hat.

\(… = \dfrac{g(x) \cdot h(x)\ \color{red}{-g(x)\cdot h(x_0) + g(x)\cdot h(x_0)}\ -g(x_0) \cdot h(x_0) }{x-x_0} = …\)

Jetzt endlich können wir teilweise ausklammern.

\(… = \dfrac{\color{purple}{g(x)} \cdot h(x)-\color{purple}{g(x)}\cdot h(x_0) + g(x)\cdot\color{forestgreen}{h(x_0)} -g(x_0) \cdot \color{forestgreen}{h(x_0)}}{x-x_0} = …\)

\(… = \dfrac{\color{purple}{g(x)}\cdot\big(h(x)-h(x_0)\big) + \big(g(x)-g(x_0)\big)\cdot\color{forestgreen}{h(x_0)}}{x-x_0} = …\)

Der gesamte Bruchterm lässt sich in zwei geeignete Summanden zerlegen.

\(= \dfrac{\color{purple}{g(x)}\cdot\big(h(x)-h(x_0)\big)}{x-x_0} + \dfrac{\big(g(x)-g(x_0)\big)\cdot\color{forestgreen}{h(x_0)}}{x-x_0} = …\)

\(= \color{purple}{g(x)}\cdot\dfrac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} + \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\cdot\color{forestgreen}{h(x_0)}\)

2. Schritt: Ermittelung des Differenzialquotienten (Term für die Ableitung)

Jetzt endlich schieben wir die Stelle \(x_0\) unendlich nah an die Stelle \(x\) heran, berechnen also

  • nicht länger die Sekantensteigung von \(G_f\) bzgl. \(x\) und \(x_0\),
  • sondern die Steigung der Tangente an \(G_f\) an der Stelle \(x\).
  • Mit anderen Worten: wir berechnen nun \(\fs{f}(x)\).

\(\fs{f}(x) = \lim \limits_{x_0 \to x}\left(\color{purple}{g(x)}\cdot\dfrac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} + \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\cdot\color{forestgreen}{h(x_0)}\right)\)

\(\phantom{\fs{f}(x)} = \color{purple}{g(x)}\cdot\underbrace{\lim \limits_{x_0 \to x}\left(\dfrac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}\right)}_{\large=\ \fs{h}(x)} + \underbrace{\lim \limits_{x_0 \to x}\left(\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)}_{\large=\ \fs{g}(x)}\cdot\underbrace{\lim \limits_{x_0 \to x}\left(\color{forestgreen}{h(x_0)}\right)}_{\large=\ h(x)}\)

Somit erhalten wir einen Term, der verrät wie man eine Funktion \(f\) ableiten kann,
die sich als Produkt der Funktionen \(g\) und \(h\) darstellen lässt:

\(\fs{f}(x) = g(x) \cdot \fs{h}(x) + \fs{g}(x) \cdot h(x)\)

Aufgaben, bei denen sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel erforderlich sind

Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktion \(f\).

Aufgabe 1:  \(f(x) = 3x\cdot e^{x^2-x}\)

\(\fs{f}(x) = \color{red}{\fs{(\color{blue}{3x\cdot e^{x^2-x}})}} = …\)

Da ein Produkt (aus \(3x\) und \(e^{x^2-x}\)) vorliegt, muss die Produktregel angewendet werden.

\(… = 3x\cdot \color{red}{   \fs{(   \color{magenta}{e^{x^2-x}} )}    } +  \color{red}{\fs{(\color{blue}{3x})}} \cdot e^{x^2-x} = …\)

Für die Ableitung von \(e^{x^2-x}\) wird die Kettenregel benötigt: \(\color{red}{   \fs{ (\color{magenta}{e^{x^2-x}} )}} = \color{purple}{e^{x^2-x}\cdot (2x-1)}\).

\(… = 3x\cdot \color{purple}{e^{x^2-x}\cdot (2x-1)} +  3 \cdot e^{x^2-x} =…\)

Da im Normalfall die Nullstellen der Ableitung benötigt werden, bietet es sich an, diesen Term zu faktorisieren.

\(… = e^{x^2-x}\cdot \big( 3x\cdot (2x-1) +  3 \big)\)
\(\phantom{…} = e^{x^2-x}\cdot \big(6x^2 -3x + 3\big)\)

Aufgabe 2:  \(f(x) = g(x)\cdot e^{h(x)}\)

\(\fs{f}(x) = \color{red}{\fs{(\color{blue}{g(x)\cdot e^{h(x)}})}} = …\)

Da ein Produkt (aus \(g(x)\) und \(e^{h(x)})\)) vorliegt, muss die Produktregel angewendet werden.

\(… = g(x)\cdot \color{red}{   \fs{ (\color{magenta}{e^{h(x)} }) }} +  \color{red}{\fs{(\color{blue}{g(x)})}} \cdot e^{h(x)} = …\)

Für die Ableitung von \(e^{h(x)}\) wird die Kettenregel benötigt: \(\color{red}{   \fs{ (\color{magenta}{e^{h(x)} }) }} = \color{purple}{e^{h(x)}\cdot \fs{h}(x)}\).

\(… = g(x)\cdot \color{purple}{e^{h(x)}\cdot \fs{h}(x)} +  \fs{g}(x) \cdot e^{h(x)} =…\)

Da im Normalfall die Nullstellen der Ableitung benötigt werden, bietet es sich an, diesen Term zu faktorisieren.

\(… = e^{h(x)}\cdot \big( g(x)\cdot \fs{h}(x) +  \fs{g}(x) \big)\)

Aufgabe 3:  \(f(x) = (x^3-1)^4 \cdot (x^2-2x)^3 \)

\(\fs{f}(x) = \color{red}{\fs{(\color{blue}{ (x^3-1)^4 \cdot (x^2-2x)^3  })}} = …\)

Da ein Produkt vorliegt
(aus \((x^3-1)^4\) und \((x^2-2x)^3\)),
muss die Produktregel angewendet werden.

\(… = (x^3-1)^4\cdot \color{red}{   \fs{(   \color{magenta}{(x^2-2x)^3   } )}    } \ +\)
\(\quad\quad +\ \color{red}{\fs{(\color{magenta}{(x^3-1)^4})}} \cdot (x^2-2x)^3 = …\)

Die Kettenregel wird an zwei Stellen benötigt:
♦ \(\color{red}{  \fs{ (\color{magenta}{(x^2-2x)^3} )}} = \color{purple}{ 3(x^2-2x)^2 \cdot (2x-2)  }\)
♦ \(\color{red}{  \fs{ (\color{magenta}{(x^3-1)^4 } )}} = \color{purple}{ 4(x^3-1)^3\cdot 3x^2  }\)

\(… = (x^3-1)^4\cdot \color{purple}{ 3(x^2-2x)^2 \cdot (2x-2)  }\ +\)
\(\quad\quad +\ \color{purple}{ 4(x^3-1)^3\cdot 3x^2  }\cdot (x^2-2x)^3 = …\)

Da im Normalfall die Nullstellen der Ableitung benötigt werden, bietet es sich an, diesen Term zu faktorisieren. Hier können sowohl \((x^3-1)^3\) also auch \((x^2-2x)^2\) ausgeklammert werden.

\(… = (x^3-1)^3\cdot (x^2-2x)^2\ \cdot\)
\(\quad\quad \cdot\ \big(\   3(x^3-1)(2x-2)\ +\  12x^2(x^2-2x)\ \big)\)

Interaktive Aufgaben zur Anwendung der Kettenregel und der Produktregel

Im folgenden Geogebra-Applet wird jeweilse eine neue Funktion \(f\) vorgegeben, sobald Sie auf die Schaltfläche  Neu  klicken.

Ihre Aufgabe besteht darin, einen korrekten Term für die Ableitung von \(f\) zu ermitteln.

Wichtige Hinweise zur Eingabe der Lösung:

  • Um Ihre Lösung für \(\fs{f}(x)\) einzugeben, klicken Sie bitte auf die Schaltfläche  Eingabe  und tippen Sie Ihre Lösung in das Eingabefeld.
  • Achten Sie dabei auf die korrekte Klammersetzung:
    z.B. \((x-1)\cdot e^{2x-2}\) muss in der Form
    (x-1) * e^(2x-2) eingegeben werden.
  • Um Ihre Eingabe zu beenden, drücken Sie bitte auf die Eingabetaste.

Lösung anzeigen lassen:

  • Sie können sich eine (noch nicht zusammengefasste) Lösung anzeigen lassen, indem Sie auf die Schaltfläche  o  klicken.
  • Um die einzelnen Lösungsschritte zu sehen, klicken Sie mehrmals auf die Schaltfläche  > . Zum Ende hin werden verschiedene Versuche angezeigt, wie der Term vereinfacht werden könnte.

Schwierigkeitsgrad verändern:

Klicken Sie auf die Schaltfläche  Ändern  und wählen Sie bei „Einstellungen für neuen Term“ im rechten Auswahl-Menü eine andere Einstellung für die Form des Funktionsterms von \(f\). Klicken Sie anschließend auf die Schaltfläche  Neu .

 

 

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