Aufgaben zum Krümmungsverhalten und Wendepunkten
\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}
\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)
Aufgabe 1
Ermitteln Sie rechnerisch die maximalen Krümmungsintervalle sowie die Art und Koordinaten der Wendepunkte des Graphen der Funktion \(f\) mit \(D_f=\IR\). Prüfen Sie weiterhin, ob Terrassenpunkte vorliegen.
a) \(f:x \mapsto x^3+9x^2+24x+16\)
b) \(f:x \mapsto -2x^3+15x^2-\frac{63}{2}x+\frac{67}{4}\)
c) \(f:x \mapsto \frac 19 x^3-x^2+3x-1\)
d) \(f:x \mapsto \frac{1}{18}x^4+\frac{5}{9}x^3+\frac{4}{3}x^2+\frac{11}{9}x+\frac{43}{18} \)
e) \(f:x \mapsto -x^4+2x^2\)
- Bilde den Term \(\abb{f}(x)\) der zweiten Ableitungsfunktion
- Berechne die Nullstellen von \(\abb{f}\)
- Skizziere den Graphen \(G_{\abb{f}}\) und trage die Vorzeichen von \(\abb{f}\) ein.
- Schließe auf die Krümmungsintervalle
\(\abb{f}(x)\) positiv \(\quad \Rightarrow \quad G_{f}\) ist linksgekrümmt
\(\abb{f}(x)\) negativ \(\quad \Rightarrow \quad G_{f}\) ist rechtsgekrümmt - Ermittle die Koordinaten der Wendepunkte
Setze dazu jeweils die Wendestelle \(x_w\) in \(f(x)\) ein und berechne den \(y\)-Wert des Wendepunkts
- Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
- Berechne die Tangentensteigung \(\fs{f}(x_{w})\) im Wendepunkt \(W(x_{w}|y_{w})\)
Wenn \(\fs{f}(x_{w})=0\) \(\quad \Rightarrow \quad\) \(W\) ist ein Terrassenpunkt \(TEP\)
\(f(x)= x^3+9x^2+24x+16\)
\(\abl{f}(x)=3x^2+18x+24\)
\(\abb{f}(x)=6x+18\)
Nullstellen von \(\abb{f}\)
\(\abb{f}(x)= 0\)
\(6x+18=0 \) \(\quad \Rightarrow \quad x=-3\) (einfache Nullstelle von \(\abb{f}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{\abb{f}}\)
\(G_f\) : \(\curvearrowright\) W \(\curvelinks\)
Maximale Krümmungsintervalle:
\(G_f\) ist in \(]-\infty; -3]\) rechtsgekrümmt
\(G_f\) ist in \([-3; \infty[\) linksgekrümmt
Wendepunkte:
bei \(x = -3\): Vorzeichenwechsel in \(\fss{f} \Rightarrow\) Wendepunkt in \(G_f\)
\(f(-3)= 0 \quad \Rightarrow \quad W(-3|-2) \)
Prüfung auf Terrassenpunkte:
\(\fs{f}(-3)=-3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad W\) ist kein Terrassenpunkt
\(f(x)= -2x^3+15x^2-\frac{63}{2}x+\frac{67}{4}\)
\(\fs{f}(x)=-6x^2+30x+\frac{63}{2}\)
\(\fss{f}(x)(x)=-12x+30\)
Nullstellen von \(\fss{f}\)
\(\fss{f}(x)= 0\)
\(-12x+30 \) \(\quad \Rightarrow \quad x=2,5\) (einfache Nullstelle von \(\fss{f}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{\fss{f}}\)
\(G_f\) : \(\curvelinks\) W \(\curvearrowright\)
Maximale Krümmungsintervalle:
\(G_f\) ist in \(]-\infty; 2,5]\) linksgekrümmt
\(G_f\) ist in \([2,5; \infty[\) rechtsgekrümmt
Wendepunkte:
bei \(x = 2,5\): Vorzeichenwechsel in \(\fss{f} \Rightarrow\) Wendepunkt in \(G_f\)
\(f(2,5)= 0 \quad \Rightarrow \quad W(2,5|0,5) \)
Prüfung auf Terrassenpunkte:
\(\fs{f}(2,5)=69 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad W\) ist kein Terrassenpunkt
\(f(x)= \frac 19 x^3+ \frac 23 x^2+ \frac 43 x+\frac{26}{9}\)
\(\fs{f}(x)=\frac 13 x^2+ \frac 43 x + \frac 43\)
\(\fss{f}(x)=\frac 23 x+ \frac 43\)
Nullstellen von \(\fss{f}\)
\(\fss{f}(x)= 0\)
\(\frac 23 x+ \frac 43=0 \) \(\quad \Rightarrow \quad x=-2\) (einfache Nullstelle von \(\fss{f}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{\fss{f}}\)
\(G_f\) : \(\curvearrowright\) W \(\curvelinks\)
Maximale Krümmungsintervalle:
\(G_f\) ist in \(]-\infty; -2]\) rechtsgekrümmt
\(G_f\) ist in \([-2; \infty[\) linksgekrümmt
Wendepunkte:
bei \(x = -2\): Vorzeichenwechsel in \(\fss{f} \Rightarrow\) Wendepunkt in \(G_f\)
\(f(-2)= 2 \quad \Rightarrow \quad W(-2|2) \)
Prüfung auf Terrassenpunkte:
\(\fs{f}(-2)=0 \quad \Rightarrow \quad W\) ist ein Terrassenpunkt \(TEP\)
\(f^{\large\prime}(x)=\frac 29 x^3 +\frac 53 x^2+\frac 83 x+\frac{11}{9}\)
\(f^{\large\prime\large\prime}(x)=\frac 23x^2+\frac{10}{3}x +\frac 83\)
Nullstellen von \(f^{\large\prime\large\prime}\)
\(f^{\large\prime\large\prime}(x)= 0\)
\(\frac 23x^2+\frac{10}{3}x +\frac 83=0 \) | \(\cdot 3\) (Gleichung vereinfachen)
\( 2x^2+10x + 8=0 \) | \(: 2\) (Gleichung vereinfachen)
\( x^2+5x + 4=0 \)
\(x_1=-4\), \(x_2=-1\) (beide einfache Nullstellen von \(f^{\large\prime\large\prime}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime\large\prime}}\)
\(G_f\) : \(\curvelinks\) W \(\curvearrowright\) W \(\curvelinks\)
Maximale Krümmungsintervalle:
\(G_f\) ist in \(]-\infty; -4]\) linksgekrümmt
\(G_f\) ist in \([-4; -1]\) rechtsgekrümmt
\(G_f\) ist in \([-1; \infty[\) linksgekrümmt
\(\)
Wendepunkte:
bei \(x_1 = -4\): Vorzeichenwechsel in \(\abb{f} \Rightarrow\) Wendepunkt in \(G_f\)
\(f(-4)= 2,5 \quad \Rightarrow \quad W_1(-4|-2,5) \)
bei \(x_1 = -4\): Vorzeichenwechsel in \(\abb{f} \Rightarrow\) Wendepunkt in \(G_f\)
\(f(-1)= 2 \quad \Rightarrow \quad W_2(-1|2) \)
\(\)
Prüfung auf Terrassenpunkte:
\(\fs{f}(-4)=\frac{16}{9} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad W\) ist kein Terrassenpunkt
\(\fs{f}(-1)=-\frac{11}{9} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad W\) ist kein Terrassenpunkt
\(f(x)= -x^4+2x^2\)
\(\fs{f}(x)=-4x^3+4x\)
\(\fss{f}(x)=-12x^2+4\)
Nullstellen von \(\fss{f}\)
\(\fss{f}(x) = 0\)
\(-12x^2+4 = 0\)
\( x^2 = \frac 13 \) | \(\sqrt{}\)
\(x_1=\sqrt{\frac 13}\), \(x_2 = -\sqrt{\frac 13}\) (beide einfache Nullstellen von \(\fss{f}\) mit Vorzeichenwechsel)
Vorzeichen-Skizze von \(G_{\fss{f}}\)
\(G_f\) : \(\curvearrowright\) W \(\curvelinks\) W \(\curvearrowright\)
Maximale Krümmungsintervalle:
\(G_f\) ist in \(\left]-\infty; -\sqrt{\frac 13}\right]\) rechtsgekrümmt
\(G_f\) ist in \(\left[-\sqrt{\frac 13}; \sqrt{\frac 13}\right]\) linksgekrümmt
\(G_f\) ist in \(\left[\sqrt{\frac 13}; \infty\right[\) rechtsgekrümmt
Wendepunkte:
bei \(x_1 = \sqrt{\frac 13}\): Vorzeichenwechsel in \(\fss{f} \Rightarrow\) Wendepunkt in \(G_f\)
\(f\left(\sqrt{\frac 13}\right)= -\frac 59 \quad \Rightarrow \quad W_1\left(\sqrt{\frac 13}\middle|-\frac 59\right) \)
bei \(x_2 = -\sqrt{\frac 13}\): Vorzeichenwechsel in \(\fss{f} \Rightarrow\) Wendepunkt in \(G_f\)
\(f\left(-\sqrt{\frac 13}\right)= -\frac 59 \quad \Rightarrow \quad W_2\left(-\sqrt{\frac 13}\middle|-\frac 59\right) \)
Prüfung auf Terrassenpunkte:
\(\fs{f}\left(\sqrt{\frac 13}\right) \approx 1,54 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad W_1\) ist kein Terrassenpunkt
\(\fs{f}\left(-\sqrt{\frac 13}\right) \approx -1,54 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad W_2\) ist kein Terrassenpunkt