Untersuchung des Monotonieverhaltens

Vorüberlegungen

\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}}\)Für die praktische Untersuchung des Monotonieverhaltens des Graphen einer Funktion \(f\) ist die Definition des Monotonieverhaltens in den meisten Fällen tatsächlich nicht hilfreich.

Im folgenden Beispiel soll der Aufwand veranschaulicht werden, der bereits zur Untersuchung des Monotonieverhaltens des Graphen der Quadratfunktion nötig ist.

Beispiel: \(f(x)=x^2\) mit \(D_f=\IR\)

Wir wählen gemäß der Definition des Monotonieverhaltens zunächst zwei beliebige \(x\)-Werte \(x_1, x_2\in D_f\) mit \(x_1<x_2\).

Nun muss man entscheiden, ob \(f(x_1)<f(x_2)\) oder \(f(x_1)>f(x_2)\) gilt. Man stellt schnell fest, dass dann, wenn beide \(x\)-Werte das gleiche Vorzeichen haben, eine eindeutige Aussage möglich ist:

Fall 1: \(x_1<x_2\), wobei beide Werte positiv sind

• Multiplikation beider Seiten mit \(x_1\) liefert: \(x_1\cdot{}x_1<x_2\cdot{}x_1\)
• Multiplikation beider Seiten mit \(x_2\) liefert: \(x_1\cdot{}x_2<x_2\cdot{}x_2\)
• Insgesamt folgt also \(x_1\cdot{}x_1<x_2\cdot{}x_1<x_2\cdot{}x_2\)
• D.h.: Für \(0<x_1<x_2\) folgt \(x_1^2<x_2^2\) und somit \(f(x_1)<f(x_2)\),
  also ist der Graph von \(f\) streng monoton steigend in \(]0; +\infty[\).

Ergänzung: \(x_1=0\) und \(x_1<x_2\)

• Offenbar ist \(x_1^2=0\) und \(0<x_2^2\), also gilt: \(x_1^2<x_2^2\)
• D.h.: Auch für \(0 \color{red}{\leq} x_1<x_2\) folgt \(f(x_1)<f(x_2)\),
  also ist der Graph von \(f\) streng monoton steigend sogar in \(\color{red}{[}0; +\infty[\).

Fall 2: \(x_1<x_2\), wobei beide Werte negativ sind

• Multiplikation beider Seiten mit \(x_1\) liefert: \(x_1\cdot{}x_1>x_2\cdot{}x_1\)
• Multiplikation beider Seiten mit \(x_2\) liefert: \(x_1\cdot{}x_2>x_2\cdot{}x_2\)
• Insgesamt folgt also \(x_1\cdot{}x_1>x_2\cdot{}x_1>x_2\cdot{}x_2\)
• D.h.: Für \(x_1<x_2<0\) folgt \(x_1^2>x_2^2\) und somit \(f(x_1)>f(x_2)\),
  also ist der Graph von \(f\) streng monoton fallend in \(]-\infty; 0[\).

Ergänzung: \(x_2=0\) und \(x_1<x_2\)

• Offenbar ist \(x_2^2=0\) und \(x_1^2>0\), also gilt: \(x_1^2>x_2^2\)
• D.h.: Auch für \(x_1f(x_2)\),
  also ist der Graph von \(f\) streng monoton fallend sogar in \(]-\infty; 0\color{red}{]}\).

Fazit:

Ein handlicheres Verfahren ist dringend wünschenswert! Und ein solches Verfahren gibt es, sofern die zugrunde liegende Funktion abgeleitet werden kann. Im Folgenden wird dieses handlichere Verfahren vorgestellt.

Überlegung (I)

Liegt in einem Punkt \(B\) des Funktionsgraphen \(G_f\) eine steigende Tangente an, so ist einleuchtend, dass zumindest in einer kleinen Umgebung des Punkts \(B\) der Graph \(G_f\) streng monoton ansteigt.

Überlegung (II)

Zuletzt haben wir gesehen, dass wir die Steigung einer solchen Tangente im Punkt \(B\) des Funktionsgraphen \(G_f\) mithilfe der Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\) berechnen können.

Folgerung

Setzen wir Überlegung (I) und Überlegung (II) zusammen, so ist folgende Idee zur Untersuchung des Monotonieverhaltens einleuchtend:

Achtung:

Das obige „Monotoniekriterium“ macht KEINE AUSSAGE

• über Intervalle, in denen einzelne Stellen vorkommen, an denen \(f^{\large\prime}(x)=0\) ist oder
• über eventuelle Randpunkte des Intervalls, an denen \(f\) gar nicht ableitbar ist.

Weiter unten werden solche Funktionen vorgestellt, bei denen die Funktionsgraphen trotz einzelner Stellen mit \(f^{\large\prime}(x)=0\) oder trotz Randpunkten des Intervalls, an denen \(f\) gar nicht ableitbar ist, ein eindeutiges Monotonieverhalten in den betroffenen Intervallen haben können.

Konkrete Anwendung des Monotoniekriteriums

Mit folgendem Schema werden die größtmöglichen Monotonieintervalle des Graphen einer Funktion \(f\) ermittelt:

(Größtmögliche Monotonieintervalle sind die größtmöglichen Intervalle auf der \(x\)-Achse, in denen der Graph \(G_f\) jeweils gleichartiges Steigungsverhalten besitzt.)

Lösung:

Ermittlung der Nullstellen der Ableitungsfunktion von \(f\):

\(f^{\large\prime}(x)=\frac {1}{18} (3x^2-18x+15)\)

\(f^{\large\prime}(x)= 0\)\(\quad \Rightarrow \quad \frac {1}{18} (3x^2-18x+15)=0\)\(\quad\Rightarrow\quad  3x^2-18x+15=0\)

\(\Rightarrow\quad  x_{1, 2} = \frac {18 \pm \sqrt{(-18)^2-4\cdot 3 \cdot 15}} {2 \cdot 3} \)

\(\Rightarrow\quad x_1 = 1\), \(x_2=5\)

Durch die beiden Nullstellen von \(f^{\large\prime}\) wird die Definitionsmenge \(D_f=\IR\) in drei offene Intervalle zerlegt:

• \(]-\infty; 1[\)
• \(]1; 5[\)
• \(]5; +\infty[\)

Vorzeichen-Untersuchung mittels Vorzeichentabelle

Folgende Überlegungen sind sehr hilfreich:

• Das Vorzeichen von \(f^{\large\prime}(x)\) kann sich nur bei den Nullstellen von \(f^{\large\prime}\) ändern.

• Folglich bleibt das Vorzeichen von \(f^{\large\prime}(x)\) an allen Stellen in jedem der drei Intervalle jeweils gleich.

• Um die Vorzeichen zu ermitteln, die zu jedem der drei Intervalle gehören, kann man zum Beispiel einen geeigneten \(x\)-Wert aus dem jeweiligen Intervall einsetzen:

• \(x=0\in ]-\infty; 1[\) und \(f^{\large\prime}(0)=\frac{5}{6} > 0 \),
  also gilt:
  \(f^{\large\prime}(x) > 0\) für alle \(x\in ]-\infty; 1[\)

• \(x=2\in ]1; 5[\) und \(f^{\large\prime}(2)=-\frac{1}{2} < 0 \),
  also gilt:
  \(f^{\large\prime}(x)<0\) für alle \(x\in ]1; 5[\)

• \(x=6\in ]5; +\infty[\) und \(f^{\large\prime}(6)=\frac{5}{6} > 0 \),
  also gilt:
  \(f^{\large\prime}(x)>0\) für alle \(x\in ]5; +\infty[\)

Diese Erkenntnisse lassen sich in einer sog. „Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime}(x)\)“ zusammenfassend übersichtlich darstellen:

Die Vorzeichentabelle kann man auch noch um eine weitere Zeile ergänzen, in der man die Verlaufsrichtung des Graphen von \(f\) durch einen schräg nach oben oder schräg nach unten zeigenden Pfeil andeutet:

Alternative Vorzeichen-Untersuchung: Anfertigen einer Vorzeichenskizze

Wenn sich der Graph der Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\) schnell skizzieren lässt, kann man auch eine solche Skizze des Graphen der Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\) anfertigen, um daraus die Vorzeichen der Funktionswerte von \(f^{\large\prime}\) ablesen und den drei Intervallen zuordnen zu können.

Es genügt dabei, die wesentlichen Eigenschaften des Ableitungsgraphen zu berücksichtigen.

Im voliegenden Fall für \(f^{\large\prime}(x)=\frac {1}{18} (3x^2-18x+15)\) sind es diese Eigenschaften:

• Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel.
• Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1=1\) und \(x_2=5\).

Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\)

Nachdem der Graph der Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\) skizziert wurde, kann man sich die Berechnung der drei Ableitungsfunktionswerte sparen und die Vorzeichen in den drei Intervallen direkt der Skizze ablesen.

Auch diesmal kann man die Ergebnisse in einer Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime}(x)\) zusammenfassen.

Abschließende Beschreibung des Steigungsverhaltens

Da die Funktion \(f\) stetig ist, also ihr Graph keine Sprünge innerhalb der Definitionsmenge macht, müssen wir nun überprüfen, ob die Punkte des Graphen, die jeweils an den Rändern der Intervalle liegen, aus Sicht dieser Intervall vielleicht sogar am höchsten oder am tiefsten liegen und folglich mit in die maximalen Monotonieintervalle aufgenommen werden müssen.

Achten Sie im folgenden Text genau auf die Intervallklammern!

Betrachtung aus Sicht des Intervalls \(]-\infty; 1[\):

• Die Randstelle \(x=1\) liegt zwar NICHT im Intervall \(]-\infty; 1[\), aber in der Definitionsmenge von \(f\).
• Aus der Vorzeichentabelle bzw. der Vorzeichenskizze von \(G_{f^{\large\prime}}\) ist zu entnehmen:
  \(G_f\) ist im Intervall \(]-\infty; 1[\) streng monoton steigend.
• Da der Graph \(G_f\) „nicht springt“ (weil \(f\) stetig ist), verläuft er also ansteigend nahtlos bis in den rechten Randpunkt \((1|f(1))\), der folglich höher liegt als alle anderen Punkte des Graphen im Intervall \(]-\infty; 1[\).
• \(G_f\) ist also sogar streng monoton steigend in \(]-\infty; 1\color{red}{]}\).

Betrachtung aus Sicht des Intervalls \(]1; 5[\):

• Die Randstellen \(x=1\) und \(x=5\) liegen NICHT im Intervall \(]1; 5[\), aber in der Definitionsmenge von \(f\).
• Aus der Vorzeichentabelle bzw. der Vorzeichenskizze von \(G_{f^{\large\prime}}\) ist zu entnehmen:
  \(G_f\) ist im Intervall \(]1; 5[\) streng monoton fallend.
• Da der Graph \(G_f\) „nicht springt“ (weil \(f\) stetig ist), verläuft er also ab dem linken Randpunkt \((1|f(1))\) abfallend nahtlos bis in den rechten Randpunkt \( (5|f(5)) \).
• \(G_f\) ist also sogar streng monoton fallend in \(\color{red}{[}1; 5\color{red}{]}\).

Betrachtung aus Sicht des Intervalls \(]5; +\infty[\):

• Die Randstelle \(x=5\) liegt zwar NICHT im Intervall \(]5; +\infty[\), aber in der Definitionsmenge von \(f\).
• Aus der Vorzeichentabelle bzw. der Vorzeichenskizze von \(G_{f^{\large\prime}}\) ist zu entnehmen:
  \(G_f\) ist im Intervall \(]5; +\infty[\) streng monoton steigend.
• Da der Graph \(G_f\) „nicht springt“ (weil \(f\) stetig ist), verläuft er also ab dem linken Randpunkt \((5|f(5))\) ansteigend. Der linke Randpunkt \((5|f(5))\) liegt folglich tiefer als alle anderen Punkte des Graphen im Intervall \(]5; +\infty[\).
• \(G_f\) ist also sogar streng monoton steigend in \(\color{red}{[}5; +\infty[\).

Zusammenfassung:

• \(G_f\) ist streng monoton steigend in \(]-\infty; 1\color{red}{]}\) und in \(\color{red}{[}5; +\infty[\).
• \(G_f\) ist streng monoton fallend in \(\color{red}{[}1; 5\color{red}{]}\).

Der Graph von \(f\) sieht tatsächlich folgendermaßen aus:

Lösung:

Ermittlung der Nullstellen der Ableitungsfunktion von \(f\):

\(f^{\large\prime}(x)=3x^3-6x^2=3x^2(x-2)\)

\(f^{\large\prime}(x)= 0\)\(\quad \Rightarrow \quad x_{1/2}= 0\) (doppelte Nullstelle), \(x_3=2\) (einfache Nullstelle)

Vorschlag 1: Direkt mit Vorzeichentabelle

Das Grundgerüst der Vorzeichentabelle sieht folgendermaßen aus:

\(\)

Um die Vorzeichen für die drei Bereiche zu ermitteln, nutzen wir diesmal auch die Vielfachheiten der Nullstellen von \(f^{\large\prime}\):

• \(f^{\large\prime}(-1)=-9<0\)
• \(x=0\) ist doppelte Nullstelle von \(f^{\large\prime}\),
  also hat \(f^{\large\prime}(x)\) dort KEINEN Vorzeichenwechsel.
• \(x=2\) ist einfache Nullstelle von \(f^{\large\prime}\),
  also hat \(f^{\large\prime}(x)\) dort einen Vorzeichenwechsel.

Damit können wir die die Vorzeichen für die drei Bereiche eintragen und die Verlaufsrichtung von \(G_f\) folgern:

Vorschlag 2: Mit Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\)

Beim Anfertigen der Skizze sind Kenntnisse über den Zusammenhang zwischen den Vielfachheiten von Nullstellen und das Verhalten des Graphen bei den Nullstellen nötig.

Aus der Skizze kann man die Vorzeichen in den drei Intervallen sofort ablesen und die Verlaufsrichtung von \(G_f\) folgern:

Zusammenfassung:

Weil die beiden Intervalle \(]-\infty; 0\color{red}{]}\) und \(\color{red}{[}0; 2\color{red}{]}\) nahtlos ineinander übergehen und der Graph von \(f\) in beiden Intervallen das gleiche Steigungsverhalten aufweist, darf man beide Intervalle zu einem einzigen Intervall vereinigen: \(]-\infty; 0\color{red}{]} \cup \color{red}{[}0; 2\color{red}{]} = {]}{-}\infty; 2\color{red}{]}\).

Unter Berücksichtigung der Stetigkeit der Funktion \(f\) kann man nun die maximalen Monotonieintervalle angeben:

• \(G_f\) ist streng monoton fallend in \(]-\infty; 2\color{red}{]}\).
• \(G_f\) ist streng monoton steigend in \(\color{red}{[}2; +\infty [\).

Der Graph von \(f\) sieht tatsächlich folgendermaßen aus:

Eine wichtige Erkenntnis aus dem vorherigen Beispiel 2 fassen wir hier noch einmal zusammen:

Lösung:

Ermittlung der Nullstellen der Ableitungsfunktion von \(f\):

\(f(x)= \frac {1}{40} x^5-\frac{1}{3}x^3+2x\)

\(f^{\large\prime}(x)=\frac {1}{8} x^4-x^2+2=\frac {1}{8}( x^4-8x^2+16)\)

Substitution: \(x^2=z\)

\(f^{\large\prime}(z)=\frac {1}{8}(z^2-8z+16)=\frac {1}{8}(z-4)^2\)

Resubstitution: \(z=x^2\)

\(f^{\large\prime}(x)=\frac {1}{8}(x^2-4)^2=\frac {1}{8}\bigl((x-2)(x+2)\bigr)^2=\frac {1}{8}(x-2)^2(x+2)^2\)

Nullstellen aus faktorisiertem Term ablesen:

\(f^{\large\prime}(x)= 0\)\(\quad \Rightarrow \quad x_{1/2}= -2\) (doppelte Nullstelle), \(x_{3/4}=2\) (doppelte Nullstelle)

Vorschlag 1: Direkt mit Vorzeichentabelle

Das Grundgerüst der Vorzeichentabelle sieht folgendermaßen aus:

\(\)

Wieder berechen wir einen Ableitungswert und nutzen die Vielfachheiten der Nullstellen von \(f^{\large\prime}\):

• \(f^{\large\prime}(1)=\frac{203}{120}>0\)
• \(x=-2\) und \(x=+2\) sind beide doppelte Nullstellen von \(f^{\large\prime}\),
  also hat \(f^{\large\prime}(x)\) dort KEINEN Vorzeichenwechsel.

Damit können wir die die Vorzeichen für die drei Bereiche eintragen und die Verlaufsrichtung von \(G_f\) folgern:

Vorschlag 2: Mit Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\)

Beim Anfertigen der Skizze sind Kenntnisse über den Zusammenhang zwischen den Vielfachheiten von Nullstellen und das Verhalten des Graphen bei den Nullstellen nötig.

Aus der Skizze kann man die Vorzeichen in den drei Intervallen sofort ablesen und die Verlaufsrichtung von \(G_f\) folgern:

Zusammenfassung:

Da die drei gefundenen Teilintervalle alle unmittelbar aneinander angrenzen und \(G_f\) in allen drei Teilintervallen das gleiche Steigungsverhalten aufweist, stellen wir fest, dass es aufgrund der Stetigkeit der Funktion \(f\) nur ein einziges maximales Monotonieintervall gibt:

• \(G_f\) ist streng monoton steigend in \(]-\infty; +\infty[\).

Der Graph von \(f\) sieht tatsächlich folgendermaßen aus: