\(\newcommand{fs}[1]{#1^{\large\prime}}\)

Aufgaben zu Extremwertaufgaben

Aufgabe 1: Hochbeet

Um das Grundgerüst eines Hochbeets für den örtlichen Kindergarten herzustellen, stehen Holzlatten der Gesamtlänge 14 Meter zur Verfügung. Eine Skizze ist nebenstehend abgebildet. Der Pflanzraum soll 50 cm vom Boden angehoben sein, die Breite b soll dreimal so groß sein wie die Höhe h.

Gesucht sind die Abmessung desjenigen Hochbeetes, welches den größtmöglichen Pflanzraum besitzt.

  1. Zeigen Sie, dass für das Volumen \(V\) des Pflanzraums in Abhängigkeit von der Höhe \(h\) gilt:
    \[V(h)=-12h^3+9h^2\] Begründen Sie, dass \(D_V=[0;0,75]\) die maximal sinnvolle Definitionsmenge ist.
    \(\)
  2. Ermitteln Sie die Abmessungen des optimalen Hochbeets und seinen maximalen Rauminhalt.

Hauptbedingung:

\[V(b,t,h)=b \cdot t \cdot h\]

Nebenbedingungen:

  • \(b=3h\)
  • \(4b+4t+4h+4 \cdot 0,5=14\Rightarrow t=3-h-b=3-4h\)

Zielfunktion und Definitionsbereich:

\[V(t)=3h \cdot (3-4h) \cdot h =3h^2\cdot (3-4h)=-12h^3+9h^2\]

\[t\ge 0 \quad \land \quad b=3-4h \ge 0\Rightarrow t\le 0,75\]

\[D_V=[0;0,75]\]

\[V(h)=-12h^3+9h^2, \quad D_V=[0;0,75]\]

Ermittlung der Nullstellen der Ableitungsfunktion von \(V\)

\(\fs{V}(h)=-36h^2+18h\)

\(\fs{V}(h)= 0\)\(\quad \Rightarrow \quad -36h^2+18h=18h\cdot(-2h+1)=0 \quad \Rightarrow \quad h_1=0, h_2=0{,}5\)

Vorzeichenskizze des Graphen von \(\fs{V}\)

\(\fs{V}(h)=-36h^2+18h\)
\(\Rightarrow\quad G_{\fs{V}}\) verläuft vom I. in den IV. Quadraten. Um den Vorzeichenverlauf untersuchen zu können, wird hier ohne Berücksichtigung des Definitionsbereichs der Graph auch für \(h<0\) und \(h>0,75\) gezeichnet.

\(\)

Darstellung in einer Vorzeichentabelle für \(h \in [0;0,75]\):

\(h\) \(0,5\)
Vorzeichen von \(\fs{V}(h)\) \(+\) \(-\)
Richtung von \(G_V\) \(\nearrow\) \(\searrow\)

\(\)
Folgerungen

Der Punkt \(HOP(0,5|V(0,5))\) ist ein lokaler Hochpunkt von \(G_V\), wobei \(V(0,5)=0{,}75\).

Für \(h<0,5\) ist \(G_V\) streng monoton steigend, für \(h>0,5\) ist \(G_V\) streng monoton fallend. Folglich muss bei \(h=0{,}5\) der globale Hochpunkt von \(G_V\) vorliegen. Das maximale Volumen des Hochbeets wird also für

  • \(h_{max}=0{,}5 [\mathrm{m}]\)
  • \(b_{max}=3 \cdot h_{max} =1{,}5 [\mathrm{m}]\) und
  • \(t_{max}= 3-4\cdot h_{max}=1 [\mathrm{m}]\) erreicht.

Das maximale Volumen hat den Wert \(V_{max}=V(0{,}5)=0{,}75 [\mathrm{m^3}]\).

Aufgabe 2: Fußballfeld

Für die neue Sportanlage der Schule soll auch ein Fußballfeld mit umliegender 400-Meter-Laufbahn angelegt werden. Die Laufbahn besteht aus zwei Halbkreisen hinter den Toren des Fußballfeldes und zwei Geradenstücken entlang des Spielfeldes.

Die Abmessungen des Fußballfeldes sollen so gewählt werden, dass der Flächeninhalt des Feldes möglichst groß ist. Laut Regeln des deutschen Fußballbundes (DFB) muss die Breite eines Fußballfeldes zwischen 45 und 90 Metern liegen, die Länge zwischen 90 und 120 Metern.

  1. Formulieren Sie einen Term, mit dem der Flächeninhalt des Fußballfeldes \(A(l)\) in Abhängigkeit von der Länge \(l\) der Geradenstücke berechnet werden kann. Entnehmen Sie den DFB-Regeln einen möglichst großen Definitionsbereich der Funktion \(A\).
    \(\)
  2. Bestimmen Sie den maximal möglichen Flächeninhalt des Fußballfeldes und die zugehörigen Werte von \(l\) und \(b\).
    \(\)
  3. Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des Flächeninhalts der nach DFB kleinst- und größtmöglichen Fußballfelder zu dem in 2. berechneten.

Hauptbedingung:

\[A(l,b)=l \cdot b \]

Nebenbedingung:

\[2\cdot l + 2\cdot \underbrace_=400\Rightarrow b=\frac\]

Zielfunktion und Definitionsbereich:

\[A(l)=l\cdot \frac=\frac\]

\[D_A=[90;120]\]

\[A(l)=\frac{-2l^2+400l}{\pi}, \quad D_A=[90;120]\]

Ermittlung der Nullstellen der Ableitungsfunktion von \(A\)

\(\fs{A}(l)=\dfrac{-4l+400}{\pi}\)

\(\fs{A}(l)= 0\)\(\quad \Rightarrow \quad -4l+400=0 \quad \Rightarrow \quad l=100\)

Vorzeichenskizze des Graphen von \(\fs{A}\)

\(\fs{A}(l)=\dfrac{-4l+400}{\pi}=-\dfrac{4}{\pi}l+\dfrac{400}{\pi}\)
\(\Rightarrow\quad G_{\fs{A}}\) ist eine fallende Gerade.

\(\)

Darstellung in einer Vorzeichentabelle für \(l \in [90;120]\):

\(l\) \(100\)
Vorzeichen von \(\fs{A}(l)\) \(+\) \(-\)
Richtung von \(G_A\) \(\nearrow\) \(\searrow\)

\(\)

Folgerungen

Der Punkt \(H(100|A(100))\) ist ein lokaler Hochpunkt von \(G_A\), wobei \(A(100)=\frac{20000}{\pi}\approx 6366\).

Für \(l<100\) ist \(G_A\) streng monoton steigend, für \(l>100\) ist \(G_A\) streng monoton fallend. Folglich muss bei \(l=100\) der globale Hochpunkt von \(G_A\) vorliegen. Der maximale Flächeninhalt des Fußballfeldes wird also für eine Länge \(l\) von 100 Metern erreicht. Weiterhin gilt:

  • \(A_{max}\approx 6366 [\mathrm{m^2}]\) und
  • \(b_{max}=\dfrac{400-2\cdot l_{max}}{\pi}=\dfrac{200}{\pi} \approx 63{,}66 [\mathrm{m}]\)

Das kleinstmögliche Fußballfeld hat die Maße \(l=90 [m]\) und \(b=45 [m]\), der Flächeninhalt beträgt dann \(A=4050 [m^2].\)

Das größtmögliche Fußballfeld hat die Maße \(l=120 [m]\) und \(b=90 [m]\), der Flächeninhalt beträgt dann \(A=10800 [m^2].\)

Im Vergleich zum Fußballfeld aus 2. (Flächeninhalt \(A=6366 [m^2]\)) ergibt das Abweichungen von \(\dots\)

\(\dots r=\dfrac{6366-4050}{6366}\approx 36{,}4 \% \) für das kleinste Feld.

\(\dots r=\dfrac{10800-6366}{6366}\approx 69{,}7 \% \) für das größte Feld.

Aufgabe 3: Zylinder in Kugel

In eine Kugel mit Radius \(R\) soll ein Zylinder mit Radius \(r\) und Höhe \(h\) einbeschrieben werden (Seitenansicht siehe Abbildung).

  1. Stellen Sie einen Term zur Berechnung des Zylindervolumens \(V\) in Abhängigkeit der Zylinderhöhe \(h\) auf. Geben Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion \(V\) an. Nutzen Sie die „weiter“-Schaltfläche der GeoGebra-Datei nur zum Überprüfen Ihrer Überlegungen.
    \(\left[ \text{mögliches Ergebnis: } V(h)=\pi \left( R^2 h- \frac{1}{4} h^3\right )\right]\)
    \(\)
    \(\)
  2. Es gelte nun \(R=10 cm\). Ermitteln Sie die Maße (Radius \(r\) und Höhe \(h\)) des Zylinders, so dass das Zylindervolumen maximal wird. Berechnen Sie auch das zugehörige Maximalvolumen.
 

 

Hauptbedingung:

\[V(r,h)=r^2 \cdot \pi \cdot h\]

Nebenbedingung:

\[R^2=r^2+\left ( \frac\right )^2 \left ( \text \right ) \quad \Rightarrow \quad r^2=R^2-\left ( \frac\right )^2\]

Zielfunktion und Definitionsbereich:

\[V(h)=\left ( R^2-\left ( \frac\right )^2 \right )\cdot \pi \cdot h=\pi \cdot \left ( R^2 h- \frach^3 \right )\]

\[h\ge 0 \quad \land \quad h \le 2R\Rightarrow D_V=\left [0;2R \right ]\]

\[V(h)=\pi \cdot \left ( 100h-\frac{1}{4}h^3 \right ), \quad D_V=[0;20]\]

Ermittlung der Nullstellen der Ableitungsfunktion von \(V\)

\(\fs{V}(h)=\pi\cdot \left ( 100-\frac{3}{4}h^2 \right )\)

\(\fs{V}(h)= 0\)\(\quad \Rightarrow \quad \pi\cdot \left ( 100-\frac{3}{4}h^2 \right )=0\)

\(\Rightarrow 100-\frac{3}{4}h^2 =0 \quad \Rightarrow \quad h^2=\frac{400}{3}\quad \Rightarrow \quad h_1=\sqrt{\frac{400}{3}}\approx 11{,}55, \quad \left ( h_2=-\sqrt{\frac{400}{3}}\approx -11{,}55 \notin D_V \right )\)

Vorzeichenskizze des Graphen von \(\fs{V}\)

\(\fs{V}(h)=\pi\cdot \left ( 100-\frac{3}{4}h^2 \right )\)
\(\Rightarrow\quad G_{\fs{V}}\) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Um den Vorzeichenverlauf untersuchen zu können, wird hier ohne Berücksichtigung des Definitionsbereichs die Parabel auch für \(h<0\) gezeichnet.

\(\)

Darstellung in einer Vorzeichentabelle:

\(h\) \(\sqrt{\tfrac{400}{3}}\)
Vorzeichen von \(\fs{V}(h)\) \(+\) \(-\)
Richtung von \(G_V\) \(\nearrow\) \(\searrow\)

\(\)

Folgerungen

Der Punkt \(H( h_1 | V(h_1) )\) mit \(h_1=\sqrt{\tfrac{400}{3}}\) ist ein lokaler Hochpunkt von \(G_V\), wobei \(V(h_1)\approx 2418\).

An den Rändern des Definitionsbereichs gilt \(V(0)=0\) sowie \(V(20)=0\).

Da es keine weiteren lokalen Maxima der Funktion \(V\) gibt, muss der Punkt \(H( h_1 | V(h_1) )\) der globale Hochpunkt des Graphen \(G_A\) sein. Das maximale Volumen des Zylinders wird also für \(h_{max}\approx 11{,}55 [\mathrm{cm}]\) und \(r_{max}=\sqrt{R^2-\left ( \frac{h_{max}}{2} \right )^2}\approx 8{,}16 [\mathrm{cm}]\) erreicht. Das maximale Volumen hat den Wert \(V_{max}= V(h_1)\approx 2418 [\mathrm{cm^3}]\).

Aufgabe 4: Gemüsegarten (Nebenbedingung über Funktionsgraphen)

Eine Familie hat in ihrem Garten einen Steinpfad angelegt. Dieser lässt sich aus der Vogelperspektive für \(x\in [0;3]\) mit Hilfe des Graphen \(G_f\) der Funktion \(f:x\mapsto -x^3 +3x^2-4x+12\) beschreiben. Unterhalb des Pfades möchte die Familie ein rechteckiges Gemüsebeet anlegen (s. nebenstehende Abbildung). Der untere linke Eckpunkt soll stets im Ursprung des Koordinatensystems, der obere rechte Eckpunkt immer auf \(G_f\) liegen. \(x\) bzw. \(y\) sind jeweils in Metern angegeben.

  1. Bestimmen Sie die Länge des Gemüsebeets für die Breiten \(b=1 m\), \(b=1,5 m\) und \(b=2,5 m\). Leiten Sie hiermit einen allgemeinen Zusammenhang zwischen der Breite \(b\) und Länge \(\ell\) des rechteckigen Gemüsebeets her.
    \(\)
  2. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt \(A\) des Gemüsebeets in Abhängigkeit von seiner Breite \(b\) gilt: \(A(b)=-b^4+3b^3-4b^2+12b\).
    \(\)
  3. Bestimmen Sie rechnerisch die Abmessungen des Gemüsebeets mit maximalem Flächeninhalt. Ermitteln Sie auch diesen maximalen Flächeninhalt.

Entscheidend sind für Höhe und Breite jeweils die Koordinaten des Punktes \(P\) in der obigen Abbildung. Der \(x\)-Wert entspricht jeweils der Breite des Beets, der \(y\)-Wert der Länge.

  • \(b=1 \hspace 1cm\Rightarrow \ell = f(1)=-1^3+3\cdot 1^2 -4\cdot 1+12=10\)
  • \(b=1,5 \hspace 0.5cm\Rightarrow \ell = f(1,5)=-1,5^3+3\cdot 1,5^2 -4\cdot 1,5+12\approx 9,83\)
  • \(b=2,5 \hspace 0.5cm\Rightarrow \ell = f(2,5)=-2,5^3+3\cdot 2,5^2 -4\cdot 2,5+12\approx 5,13\)

Allgemein ist also die Länge zur Breite \(b\): \(\ell=f(b)=-b^3+3b^2-4b+12\).

Hauptbedingung:

\[A(b,\ell)=b\cdot \ell\]

Nebenbedingung (vgl. Aufgabenteil 1.):

\[\ell=f(b)=-b^3+3b^2-4b+12\]

Zielfunktion und Definitionsbereich:

\[A(b)=b\cdot f(b)=b\cdot (-b^3+3b^2-4b+12)=-b^4+3b^3-4b^2+12b\]

\[b\in [0;3]\]

\[A(b)=-b^4+3b^3-4b^2+12b\]

Ermittlung der Nullstellen der Ableitungsfunktion von \(A\)

\(\fs{A}(b)=-4b^3+9b^2-8b+12\)

\(\fs{A}(b)= 0\)\(\quad \Rightarrow \quad -4b^3+9b^2-8b+12=0\)

Z.B. mit Hilfe der Wertetabelle der Funktion \(A\): \(\quad b_1=2\), denn \(\fs{A}(2)= -4\cdot 2^3 +9\cdot 2^2 -8\cdot 2 +12=0\)

Polynomdivision (ausführliche Rechnung selbst nachrechnen):

\[(-4b^3+9b^2-8b+12):(b-2)=-4b^2+b-6\]

Weitere Nullstellen von \(\fs{A}\) mit Hilfe der Lösungsformel ermitteln: \(-4b^2+b-6=0\Rightarrow b_{2/3}=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot(-4)\cdot (-6)}}{2\cdot (-4)}=\dfrac{-1\pm \sqrt{-95}}{-8} \quad \large\unicode{x21af}\)

Es gibt also keine weiteren Nullstellen.

Vorzeichenskizze des Graphen von \(\fs{V}\)

\(\fs{A}(b)=-4b^3+9b^2-8b+12\)
\(\Rightarrow\quad G_{\fs{A}}\) ist eine Funktion vom Grad \(3\). Sie verläuft vom zweiten in den vierten Quadranten. Ihre einzige Nullstelle liegt bei \(b=2\).

\(\)

Darstellung in einer Vorzeichentabelle:

\(b\) \(2\)
Vorzeichen von \(\fs{A}(b)\) \(+\) \(-\)
Richtung von \(G_A\) \(\nearrow\) \(\searrow\)

\(\)

Folgerungen

Der Punkt \(H( 2 | A(2) )\) ist ein lokaler Hochpunkt von \(G_A\), wobei \(A(2)=16\).

An den Rändern des Definitionsbereichs gilt \(A(0)=0\) sowie \(A(3)=0\).

Da es keine weiteren lokalen Maxima der Funktion \(A\) gibt, muss der Punkt \(H\) der globale Hochpunkt des Graphen \(G_A\) sein. Das Gemüsebeet mit maximalem Flächeninhalt wird also für \(b_{max}= 2 [\mathrm{m}]\) und \(\ell_{max}=f(2)=8 [\mathrm{m}]\) erreicht. Der maximale Flächeninhalt hat den Wert \(A_{max}= A(2)= 16 [\mathrm{m^2}]\).

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