Steckbriefaufgaben

Erinnerung

In den vorherigen Kapiteln haben wir gesehen, wie wir allein aus dem Funktionsterm einer Funktion mithilfe verschiedener rechnerischer Tricks (Ableiten, Nullstellen ermitteln, Vorzeichenuntersuchung) besondere Eigenschaften des zugehörigen Funktionsgraphen ermitteln können, ohne den Graphen zu zeichnen.

Ausblick

Es gibt Situationen, in denen „nur“ ein Ausschnitt eines Funktionsgraphen vorliegt, oder sogar nur ein paar Informationen über besondere Eigenschaften des Funktionsgraphen vorliegen. Um letztendlich dann doch den gesamten Funktionsgraphen rekonstruieren zu können, benötigt man einen passenden Funktionsterm für diesen Funktionsgraphen.

In diesem Kapitel werden wir sehen, wie man allein aus einer Hand voll Informationen über einen Funktionsgraphen einen passenden Funktionsterm ermitteln kann.\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)

Lösungsvorschlag

Zuerst muss man die wesentlichen Eigenschaften in der Aufgabenstellung erkennen. Hier sind diese bereits gelb markiert.

Anschließend versuchen wir, jede der Eigenschaften mithilfe des Funktionsterms von \(f\) bzw. von \(\abl{f}\) mathematisch zu beschreiben:

\(f\) ist ganzrationale Funktion dritten Grades.

Die allgemeine Form des Terms einer ganzrationalen Funktion dritten Grades sieht folgendermaßen aus:

\(f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d\)

Das Ziel ist nun, konkrete Werte für \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) zu finden, so dass alle vorgegeben Eigenschaften (in der obigen Angabe gelb markiert) zutreffen.

Da wir auch den Term der Ableitungsfunktion verwenden werden, können wir ihn bereits jetzt schon einmal angeben:

\(\abl{f}(x) = 3a x^2 + 2b x + c \)

\(G_f\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S(0|2)\).

Der Punkt \(S\) hat

• die \(x\)-Koordinate \(0\),
• die \(y\)-Koordinate \(2\) und
• liegt auf dem Graphen von \(f\)

Setzt man im Term \(f(x)\) also für \(x\) den Wert \(0\) ein, muss der Term den Wert \(2\) ergeben:

\(f(0) = 2\)

\(T(2|-2)\) ist Tiefpunkt von \(G_f\).

Der Punkt \(T(2|-2)\) liegt auf dem Graphen von \(f\).

Setzt man im Term \(f(x)\) also für \(x\) den Wert \(2\) ein, muss der Term den Wert \(-2\) ergeben:

\(f(2) = -2\)

Da \(T\) ein lokaler Tiefpunkt ist, muss \(G_f\) dort eine waagrechte Tangente besitzen. Die Ableitung von \(f\) hat an der Stelle \(x=2\) folglich die Steigung \(0\).

\(\abl{f}(2)=0\)

\(G_f\) hat bei \(x = -1\) eine Tangente mit der Steigung \(9\).

Die Steigung von Tangenten vom Graphen von \(f\) wird mithilfe der Ableitung von \(f\) berechnet:

\(\abl{f}(-1)=9\)

Aufstellen des linearen Gleichungssystems

Uns liegt zunächst „nur“ die Funktionsgleichung von \(f\) und von \(\abl{f}\) in allgemeiner Form vor:

• \(f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d\)
• \(\abl{f}(x) = 3a x^2 + 2b x + c \)

Außerdem haben aus den vorgegebenen Eigenschaften die folgenden vier konkreten Gleichungen gefolgert:

I) \(f(0) = 2\)
II) \(f(2) = -2\)
III) \(\abl{f}(2)=0\)
IV) \(\abl{f}(-1)=9\)

Die vier gefundenen Gleichungen können wir mithilfe von \(f(x)\) und von \(\abl{f}(x)\) ausführlicher darstellen:

I) \(f(0) = 2\)

II) \(f(2) = -2\)

III) \(\abl{f}(2)=0\)

IV) \(\abl{f}(-1)=9\)

\(\Rightarrow\quad a\cdot 0^3 + b\cdot 0^2 + c\cdot 0 + d = 2\)

\(\Rightarrow\quad a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c\cdot 2 + d = -2\)

\(\Rightarrow\quad 3a\cdot 2^2 + 2b\cdot 2 + c = 0\)

\(\Rightarrow\quad 3a\cdot(-1)^2 + 2b\cdot (-1) + c = 9\)

\(\Rightarrow\quad d = 2\)

\(\Rightarrow\quad 8 a + 4 b + 2 c + d = -2\)

\(\Rightarrow\quad 12 a + 4 b + c = 0\)

\(\Rightarrow\quad 3 a\ {-}\ 2 b + c = 9\)

Nachdem uns die Gleichung I) bereits verrät, dass \(d=2\) sein muss, bleibt uns zur Berechnung von \(a\), \(b\) und \(c\) ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit den drei Unbekannten \(a\), \(b\) und \(c\).

Achtung: Die drei Gleichungen wurden neu durchnummeriert.

I) \(8 a + 4 b + 2 c + 2 = -2\)
II) \(12 a + 4 b + c = 0\)
III) \(3 a\ {-}\ 2 b + c = 9\)

Lösen des linearen Gleichungssystems

Das lineare Gleichungssystem können wir zum Beispiel mithilfe des Gaußverfahrens lösen.

In dem nebenstehenden Geogebra-Applet kann das Verfahren Schritt für Schritt verfolgt werden.

Als Lösung des Gleichungssystems finden wir \(a=1\), \(b=-3\) und \(c=0\).

Außerdem hatten wir festgestell, dass \(d=2\) sein muss.

Ersetzen wir in der allgemeinen Form \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) alle 4 Unbekannten durch die gefundenen Werte (\(a=1\), \(b=-3\), \(c=0\), \(d=2\)), so erhalten wir die Funktionsgleichung \(f(x) = x^3 -3x^2+2\) der gesuchten Funktion \(f\).

Am Graphen von \(f:x\mapsto{x^3 -3x^2+2}\) können wir alle von der Aufgabenstellung geforderten Eigenschaften wiederfinden. Der Graph von \(f\)

• schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_y(0|2)\),
• hat im Punkt \(T(2|-2)\) einen lokalen Tiefpunkt und
• hat bei \(x = -1\) eine Tangente mit der Steigung \(9\).

Wichtige Überlegungen zur Lösbarkeit von Steckbriefaufgaben

Im Einführungsbeispiel haben wir gesehen, dass man Steckbriefaufgaben lösen kann, indem man

• zuerst den Funktionterm (und die Terme von evtl. weiteren benötigten Ableitungen) in allgemeiner Form angibt

• dann sämtliche aufgelisteten Eigenschaften durch geeignete lineare Gleichungen beschreibt

• und schließlich alle gefundenen Gleichungen zu einem Gleichungssystem zusammenfasst und dieses löst.

Kurze Darstellung der Lösung

\(\begin{array}{ll}
grad(f)=3 & \Rightarrow\quad f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d \\
& \Rightarrow\quad \abl{f}(x) = 3a x^2 + 2b x + c \\
\end{array}\)

\(\begin{array}{lll}
\textrm{I)} & f(0) = 2 & \Rightarrow\quad d = 2 \\
\textrm{II)} & f(2) = -2 & \Rightarrow\quad 8 a + 4 b + 2 c + d = -2 \\
\textrm{III)} & \abl{f}(2)=0 & \Rightarrow\quad 12 a + 4 b + c = 0 \\
\textrm{IV)} & \abl{f}(-1)=9 & \Rightarrow\quad 3 a\ {-}\ 2 b + c = 9 \\
\end{array}\)

\(d=2\) einsetzen und neu durchnummerieren:

\(\begin{array}{lll}
\textrm{I)} & 8 a + 4 b + 2 c + 2 & = -2 \\
\textrm{II)} & 12 a + 4 b + c & = 0 \\
\textrm{III)} & 3 a\ {-}\ 2 b + c & = 9 \\
\end{array}\)

Führt diese Vorgehensweise immer zum Ziel?

Wer sich mit linearen Gleichungssystemen auskennt, weiß, dass diese entweder

• KEINE Lösung,
• GENAU EINE Lösung oder
• UNENDLICH VIELE Lösungen

haben können.

Es liegt also auf der Hand, dass diese Möglichkeiten auch bei Steckbriefaufgaben bestehen.

Beispiel 1 (unlösbare Steckbriefaufgabe)

Gesucht ist der Term einer Funktion \(h\) dritten Grades mit Definitionsmenge \(D_h=\IR\), deren Graph durch den Ursprung und den Punkt \(A(4|3)\) verläuft, außerdem den Wendepunkt \((2|2)\) besitzt.

Lösung:

Bereits anhand einer Skizze kann man erkennen, dass es eine solche Funktion nicht geben kann.

Rechnerisch:

Während der Durchführung des Lösungsverfahrens wird nach einer der Umformungen plötzlich eine Gleichung mit einer falschen Aussage auftauchen (also z.B. \(1 = 0\) ist eine falsche Aussage).

Ein Gleichungssystem, welches eine falsche Aussage beinhaltet, besitzt keine Lösung (d.h. die Lösungsmenge ist leer).

Folgerung:

Eine Funktion mit den in der Aufgabenstellung geforderten Aufgaben gibt es nicht.

Gaußverfahren selber durchführen:

Beispiel 2 (unlösbare Steckbriefaufgabe)

Gesucht ist der Term einer Funktion \(q\) dritten Grades mit Definitionsmenge \(D_q=\IR\), deren Graph bei \(x=-3\) einen Hochpunkt hat, den Tiefpunkt \(T(1|{-}2)\) besitzt und bei \(x=0\) eine Tangente mit der Steigung \(\tfrac{1}{2}\) hat.

Lösung:

Bereits anhand einer Skizze würde man erkennen, dass es eine solche Funktion nicht geben kann.

Problem:

Auf den ersten Blick ist es verblüffend, dass man auf rechnerische Weise eine eindeutige Lösung zu finden scheint.

Aber:

Diese Lösung passt nicht zur Aufgabenstellung!

Der Punkt \(T(1|-2)\) sollte laut Aufgabenstellung ein Tiefpunkt sein, also müsste er in einem linksgekrümmten Kurvenabschnitt liegen. Folglich müsste bei \(x=1\) die 2. Ableitung von \(q\) positiv sein.

Das überprüfen wir:

\(q(x)=-\tfrac{1}{18}x^3-\tfrac{1}{6}x^2+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{41}{18}\)
\(\Rightarrow\quad\abl{q}(x)=-\tfrac{1}{6}x^2-\tfrac{1}{3}x+\tfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\quad\abb{q}(x)=-\tfrac{1}{3}x-\tfrac{1}{3}\)

\(\abb{q}(1)=-\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}=-\tfrac{2}{3}<0\)

D.h. bei \(x=1\) ist die 2. Ableitung von \(q\) negativ!

Bei genauerer Betrachtung stellt man fest, dass der Graph der gefundenen Funktion bei

• bei \(x=1\) keinen Tiefpunkt, sondern einen Hochpunkt hat und
• bei \(x=-2\) nicht den gefordeten Hochpunkt besitzt, sondern einen Tiefpunkt.

Gaußverfahren selber durchführen:

Beispiel 3 (Steckbriefaufgabe mit unendlich vielen Lösungen)

Gesucht ist der Term einer Funktion \(u\) dritten Grades mit Definitionsmenge \(D_u=\IR\), deren Graph den Hochpunkt \(H(0|3)\) hat und die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) schneidet.

Wenn zu wenige Informationen vorgegeben sind, um den Graphen der Funktion eindeutig zu beschreiben, muss der rechnerische Lösungsweg dazu führen, dass im Funktionsterm mindestens ein Parameter übrig bleibt – dieser sorgt dafür, dass es unendlich verschiedene Lösungsgraphen gibt.

ACHTUNG:

Je nach Wert für den Parameter \(a\) kann es aber noch passieren, der Graph der zugehörigen Funktion plötzlich nicht mehr den in der Aufgabenstellung gewünschten Eigenschaften gerecht wird.

Verändern Sie im nebenstehenden Applet den Wert von \(a\) (mithilfe des Schiebreglers) und beobachten Sie, für welche Werte von \(a\) der Graph von \(u\) nicht mehr zur Aufgabenstellung passt.

Mögliche Angaben von Eigenschaften der Funktion bzw. ihres Graphen

Spezialfall 1: Funktion mit Graph, der zur \(y\)-Achse achsensymmetrisch ist

Beispiel:

Gegeben sei die ganzrationale Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D_f=\IR\) hat den Grad \(4\).

Der Graph von \(f\) sei achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Verlockend ist zunächst der Ansatz: \(f(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)

Aber…

Spezialfall 2: Funktion mit Graph, der zum Ursprung punktsymmetrisch ist

Beispiel:

Gegeben sei die ganzrationale Funktion \(h\) mit der Definitionsmenge \(D_h=\IR\) hat den Grad \(5\).

Der Graph von \(h\) sei punktsymmetrisch zum Ursprung.

Verlockend ist zunächst der Ansatz: \(h(x)= ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f\)

Aber…

Beispiele für Eigenschaften und die zugehörige Darstellung in mathematischer Form

Der Punkt \(P(2|5)\) liegt auf dem Graphen von \(f\).

Der Graph von \(f\) hat im Punkt \(H(-1|3)\) einen Hochpunkt.

Der Graph von \(f\) hat im Punkt \(W(2|-4)\) einen Wendepunkt.

Der Punkt \(Q(0|5)\) ist ein Terrassenpunkt des Graphen von \(f\).

Der Graph von \(f\) hat an der Stelle \(x=-4\) eine Tangente mit der Steigung \(-\tfrac{1}{2}\).

Der Graph von \(f\) hat im Punkt \(B(-1|2)\) eine Tangente mit der Steigung \(\tfrac{2}{3}\).

Die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(y=\tfrac{1}{3}x-1\) berührt den Graphen von \(f\) bei \(x=6\).

Die Gerade \(h\) mit der Gleichung \(y=-2x+3\) ist Wendetangente des Graphen von \(f\) und berührt diesen bei \(x=0\).

Der Graph von \(\abl{f}\) besitzt den Hochpunkt \(R\left(2\middle|-\tfrac{3}{4}\right)\).

Zufällig generierte Steckbriefaufgaben mit Lösungsschritten

Anleitung:

1) Lesen Sie in dem nebenstehenden Geogebra-Applet die Steckbrief-Aufgabe durch.

2) Notieren Sie die Funktionsgleichung in allgemeiner Form (nutzen Sie dabei gegebenenfalls Informationen über Symmetrieeigenschaften). Überlegen Sie außerdem, ob auch die erste oder sogar die zweite Ableitung der Funktion benötigt wird, und notieren Sie auch diese gegebenenfalls.

3) Versuchen Sie nun, alle aufgelisteten Eigenschaften der gesuchten Funktion durch geeignete lineare Gleichungen darzustellen (zuerst in Kurzform, dann als Gleichung mit ausgewerteten Termen).

4) Ermitteln Sie die Lösung des Gleichungssystems und geben Sie schließlich den Term der gesuchten Funktion an.