Aufgaben zu Sekanten- und Tangentensteigung
\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}
\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \frac 12 x^3 +x^2 -2x\) mit \(D_f =\mathrm{I\!R}\).
a) Berechnen Sie die Steigung der Sekante am Graphen von \(f\) zwischen den Punkten \(A(-3|f(-3))\) und \(B(-1|f(-1))\).
b) Berechnen Sie den Wert der mittleren Änderungsrate von\(f\) zwischen den Punkten \(A(-3|f(-3))\) und \(C(1,5|f(1,5))\).
c) Berechnen Sie den Wert der lokalen Änderungsrate von \(f\) in den Punkten \(A(-3|f(-3))\), \(B(-1|f(-1))\), \(C(1,5|f(1,5))\) und \(D(1|f(1))\).
Aufgabe 2
Alle benötigten Werte sind aus der Abbildung zu entnehmen.
\(\)
a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von \(h\) zwischen den Punkten \(P(-1,5|f(-1,5))\) und \(Q(-0,5|f(-0,5))\). Interpretieren Sie das Vorzeichen der mittleren Änderungsrate.
b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von \(h\) zwischen den Punkten \(P(-1,5|f(-1,5))\) und \(R(0,5|f(0,5))\). Interpretieren Sie das Vorzeichen der mittleren Änderungsrate.
c) Geben Sie die Werte der lokalen Änderungsrate von \(h\) an den Stellen \(x_1=-0,5\), \(x_2=0,5\) und \(x_3=-0,75\) an. Formulieren Sie in Worten, wie Sie diese Werte ermittelt haben.
d) Geben Sie (näherungsweise) die \(x\)-Werte an, bei denen die lokale Änderungsrate im dargestellten Ausschnitt den Wert \(0\) hat.
e) Geben Sie näherungsweise den \(x\)-Wert an, bei dem die lokale Änderungsrate von \(h\) im dargestellten Ausschnitt den größten Wert hat. Geben Sie auch diesen größten Wert der lokalen Änderungsrate an.
Aufgabe 3
\(\)
Aufgabe 4 (Anwendungssituation)
Die Länge des von einem Fahrzeugs zurückgelegten Weges \(s\) in Metern in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Sekunden kann durch die Funktionsgleichung \(s(t)=1,4 \cdot t^2 + 2t +5\) mit \(t \in [0; 12]\) beschrieben werden.
a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate (mit Einheit) des Weges in den ersten \(4\) Sekunden. Interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.
b) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeugs im Zeitbereich \(2\leq t \leq 10 [Sekunden]\).
c) Berechnen Sie die lokale Änderungsrate des Weges zum Zeitpunkt \(t_1=2 [Sekunden]\) und zum Zeitpunkt \(t_2=9 [Sekunden]\). Interpretieren Sie diese Werte im Sachzusammenhang.