Extrempunkte mittels Ableitungsfunktion ermitteln
Vorüberlegungen
\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}}\)Situationen, in denen ein Zustand einen maximalen oder minimalen Wert erreicht, sind in realen Problemstellungen von besonderem Interesse. In graphischen Darstellungen, die die Entwicklung solcher Zustände veranschaulichen, fallen diese Situationen dadurch auf, dass der Graph dort am höchsten oder am tiefsten liegende Punkte besitzt.
Lokale und abolute Hochpunkte
Gegeben sei eine Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D_f\) und dem Graphen \(G_f\).
Ein Punkt \(H\in G_f\), der innerhalb seiner unmittelbaren Umgebung am höchsten liegt, heißt lokaler Hochpunkt von \(G_f\).
Liegt der Punkt \(H\in G_f\) sogar höchsten bzgl. aller anderen Punkte des gesamten Funktionsgraphen von \(f\), so heißt er sogar absoluter oder globaler Hochpunkt von \(G_f\).
- Die \(x\)-Koordinate von \(H\) ist eine lokale (oder evtl. absolute) Maximalstelle der Funktion \(f\).
- Die \(y\)-Koordinate von \(H\) ist ein lokales (oder evtl. absolutes) Maximum der Funktion \(f\).
Beispiel:
\(f(x)=-\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+x^2\) mit \(D_f=\IR\)
Lokale Hochpunkte:
\(H_1(-2|f(-2))\) und \(H_2(1|f(1))\) sind beide lokale Hochpunkte von \(G_f\).
Abolute Hochpunkte:
\(H_1(-2|f(-2))\) ist ein absoluter Hochpunkt von \(G_f\).
\(H_2(1|f(1))\) ist KEIN absoluter Hochpunkt, weil andere Punkte von \(G_f\) offenbar höher liegen als \(H_2(1|f(1))\).
Lokale und abolute Tiefpunkte
Gegeben sei eine Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D_f\) und dem Graphen \(G_f\).
Ein Punkt \(T\in G_f\), der innerhalb seiner unmittelbaren Umgebung am tiefsten liegt, heißt lokaler Tiefpunkt von \(G_f\).
Liegt der Punkt \(T\in G_f\) sogar am tiefsten bzgl. aller anderen Punkte des gesamten Funktionsgraphen von \(f\), so heißt er sogar absoluter oder globaler Tiefpunkt von \(G_f\).
- Die \(x\)-Koordinate von \(T\) ist eine lokale (oder evtl. absolute) Minimalstelle der Funktion \(f\).
- Die \(y\)-Koordinate von \(T\) ist ein lokales (oder evtl. absolutes) Minimum der Funktion \(f\).
Beispiel:
\(h(x)=\frac{3}{4}x^4-2 x^3+2\) mit \(D_h=\IR\)
Lokale Tiefpunkte:
\(T(2|h(2))\) ist ein lokaler Tiefpunkt von \(G_h\).
Abolute Tiefpunkte:
\(T(2|h(2))\) ist auch ein absoluter Tiefpunkt von \(G_h\).
Extrempunkte
Der Oberbegriff für lokale Hoch- und Tiefpunkte lautet lokale Extrempunkte.
Der Oberbegriff für absolute Hoch- und Tiefpunkte lautet absolute Extrempunkte.
- Die \(x\)-Koordinate eines Extrempunkts ist eine lokale (oder evtl. absolute) Extremstelle der Funktion \(f\).
- Die \(y\)-Koordinate eines Extrempunkts ist ein lokaler (oder evtl. absoluter) Extremwert der Funktion \(f\).
Beispiel:
\(d(x)=\frac{1}{6}x^3-2 x+\frac{2}{3}\) mit \(D_d=\IR\)
Lokale Extrempunkte:
\(H(-2|d(-2))\) ist ein lokaler Hochpunkt von \(G_d\).
\(T(2|d(2))\) ist ein lokaler Tiefpunkt von \(G_d\).
Abolute Hochpunkte:
\(G_d\) besitzt KEINE absoluten Extrempunkte.
Randextrempunkte (Randhochpunkt, Randtiefpunkt)
Gegeben sei eine Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D_f\) und dem Graphen \(G_f\).
- Ein Punkt \(H\in G_f\) am Rand der Definitionsmenge,
der innerhalb seiner unmittelbaren Umgebung am höchsten liegt,
heißt lokaler Randhochpunkt von \(G_f\).
- Ein Punkt \(T\in G_f\) am Rand der Definitionsmenge,
der innerhalb seiner unmittelbaren Umgebung am tiefsten liegt,
heißt lokaler Randtiefpunkt von \(G_f\).
Beispiel:
\(f(x)=x^3-\frac{33}{4}x^2+21x-\frac{63}{4}\) mit \(D_f=\left[1; \tfrac{9}{2}\right]\)
Lokale Hochpunkte:
\(H_1(2|f(2))\) und \(H_2(4|f(4))\) sind beide lokale Hochpunkte von \(G_f\).
\(H_2(4|f(4))\) ist außerdem ein lokaler Randhochpunkt von \(G_f\).
Lokale Tiefpunkte:
\(T_1(1|f(1))\) und \(T_2(3{,}5|f(3{,}5))\) sind beide lokale Tiefpunkte von \(G_f\).
\(T_1(1|f(1))\) ist außerdem ein lokaler Randtiefpunkt von \(G_f\).
\(T_1(1|f(1))\) ist auch der absolute Tiefpunkt von \(G_f\).
Zusammenhang zwischen lokalen Extrempunkten und dem Steigungsverhalten
Wir wissen bereits aus dem vorherigen Kapitel, wie man das STEIGUNGSVERHALTEN des Graphen einer Funktion mithilfe der Ableitungsfunktion ermitteln kann – sofern die Funktion differenzierbar (ableitbar) ist.
Hat man die maximalen Monotonieintervalle erst einmal ermittelt,
- hat man damit automatisch auch schon die Extremstellen (also \(x\)-Koordinaten der Extrempunkte) und kann außerdem
- die Art der lokalen Extrempunkte des Funktionsgraphen angeben und begründen,
sofern der Funktionsgraph überhaupt Extrempunkte besitzt.
Aufgabe:
Klicken Sie im nachfolgenden Geogebra-Applet auf die „Lösung“-Schaltfläche und beobachten Sie das Monotonieverhalten jeweils VOR und jeweils NACH nach den Extrempunkten.
Klicken Sie auf die NEU-Schaltfläche, um zufällig neu erzeugte Funktionen und deren Graphen angezeigt zu bekommen.
Sehr deutlich wird der Zusammenhang zwischen der Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\) und den Extremstellen von \(G_f\), wenn Sie sich den Graphen von \(f^{\large\prime}\) anzeigen lassen (setzen Sie hierzu da Häkchen in der entsprechenden Checkbox).
Beobachten Sie jeweils bei den Extremstellen von \(G_f\) das Verhalten den Graphen von \(f^{\large\prime}\).
Zusammenfassung der Beobachtungen
Die Erkenntnisse aus der vorherigen Untersuchung können wir folgendermaßen zusammenfassen
- einmal allgemein und
- einmal für differenzierbare (ableitbare) Funktionen, bei denen man Ableitungsfunktion verwenden kann.
Lokale Extrempunkte am Steigungsverhalten erkennen
Gegeben sei eine Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D_f\) und dem Graphen \(G_f\).
Ändert sich das Steigungsverhalten des Funktionsgraphen in einem Punkt \(E\)
- von steigend zu fallend,
so ist \(E\) ein lokaler Hochpunkt
- von fallend zu steigend,
so ist \(E\) ein lokaler Tiefpunkt
des Funktionsgraphen.
Lokale Extremstellen mittels Ableitungsfunktion erkennen
Gegeben sei eine differenzierbare Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D_f\) und dem Graphen \(G_f\).
Ändert sich das Vorzeichen der Ableitungs-Funktionswerte \(f^{\large\prime}(x)\) an einer Stelle \(x_0\)
- von POSITIV zu NEGATIV,
so ist \((x_0|f(x_0)\) ein lokaler Hochpunkt
- von NEGATIV zu POSITIV,
so ist \((x_0|f(x_0)\) ein lokaler Tiefpunkt
des Funktionsgraphen.
Mit folgendem Schema können
- die größtmöglichen Monotonieintervalle und
- die Koordinaten und die Art der Extrempunkte
des Graphen einer Funktion \(f\) ermittelt werden.
Schrittfolge zur Ermittlung der Monotonieintervalle
- Term der Ableitungsfunktion, also \(f^{\large\prime}(x)\) bilden
\(\) - Gleichung \(f^{\large\prime}(x)=0\) lösen, um die Nullstellen von \(f^{\large\prime}\) zu berechnen
(weil sich nur dort das Vorzeichen von \(f^{\large\prime}(x)\) ändern kann)
\(\) - Vorzeichenuntersuchung von \(f^{\large\prime}(x)\) durchführen
(z.B. mittels Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime}(x)\) oder mittels Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\))
\(\) - Monotonieintervalle folgern und angeben
\(\) - Art der lokalen Extrempunkte von \(G_f\) folgern und deren Koordinaten berechnen
Beispiel 1
Gegeben ist die Funktion \(f\) durch \(f(x)= \frac {1}{18} (x^3-9x^2+15x+17)\) mit \(D_f=\IR\).
Ermitteln Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte des Graphen der Funktion \(f\).
Lösung:
Ermittlung der Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\)
\(f^{\large\prime}(x)=\frac {1}{18} (3x^2-18x+15)\)
\(f^{\large\prime}(x)= 0\)\(\quad \Rightarrow \quad \frac {1}{18} (3x^2-18x+15)=0\)\(\quad\Rightarrow\quad 3x^2-18x+15=0\)
\(\Rightarrow\quad x_{1/ 2} = \dfrac {18 \pm \sqrt{(-18)^2-4\cdot 3 \cdot 15}} {2 \cdot 3} \)
\(\Rightarrow\quad x_1 = 1\), \(x_2=5\)
Anfertigen einer Vorzeichenskizze / Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime}\)
Da sich der Graph von \(f^{\large\prime}\) sehr schnell skizzieren lässt, fertigen wir eine Skizze des Graphen von \(f^{\large\prime}\) an, um daraus die Vorzeichen der Funktionswerte von \(f^{\large\prime}\) ablesen zu können.
Im voliegenden Fall ist der Graph von \(f^{\large\prime}\)
- eine nach oben geöffnete Parabel,
- der die \(x\)-Achse bei \(x_1=1\) und \(x_2=5\) schneidet.
Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\)
Die Ergebnisse stellen wir noch einmal in einer Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime}(x)\) dar (inkl. Verlaufsrichtung des Graphen).
| \(x\) | \(1\) | \(5\) | |||||
| Vorzeichen von \(f^{\large\prime}(x)\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | ||||
| Richtung von \(G_f\) | \(\nearrow\) | \(\searrow\) | \(\nearrow\) | ||||
Zusammenfassung
- \(G_f\) ist streng monoton steigend in \(]-\infty; 1\color{red}{]}\) und in \(\color{red}{[}5; +\infty[\).
- \(G_f\) ist streng monoton fallend in \(\color{red}{[}1; 5\color{red}{]}\).
Folgerungen für die Extrempunkte
Aufgrund des Vorzeichenwechsels von \(f^{\large\prime}(x)\)
- von \(+\) nach \(-\) bei \(x=1\)
ist \(H(1|f(1))\) ein lokaler Hochpunkt von \(G_f\).
\(f(1)=\frac {4}{3} \Rightarrow H\left(1\middle|\frac{4}{3}\right)\) - von \(-\) nach \(+\) bei \(x=5\)
ist \(T(5|f(5))\) ein lokaler Tiefpunkt von \(G_f\).
\(f(5)=-\frac {4}{9} \Rightarrow T\left(5\middle|-\frac{4}{9}\right)\)
Weil für \(x\rightarrow +\infty\) gilt: \(f(x)\rightarrow +\infty\)
und für \(x\rightarrow -\infty\) gilt: \(f(x)\rightarrow -\infty\),
können die beiden Extrempunkte \(H\) und \(T\) keine ABSOLUTEN Extrempunkte sein.
Der Graph von \(f\) sieht tatsächlich folgendermaßen aus:
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion \(f\) durch \(f(x)= \frac {3}{4}x^4-2x^3+2\) mit \(D_f=\IR\).
Ermitteln Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte des Graphen der Funktion \(f\).
Lösung:
Ermittlung der Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\)
\(f^{\large\prime}(x)=3x^3-6x^2=3x^2(x-2)\)
\(f^{\large\prime}(x)= 0\)\(\quad \Rightarrow \quad x_{1/2}= 0\) (doppelte Nullstelle), \(x_3=2\) (einfache Nullstelle)
Anfertigen einer Vorzeichenskizze / Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime}\)
Beim Anfertigen der Skizze sind Kenntnisse über den Zusammenhang zwischen den Vielfachheiten von Nullstellen und das Verhalten des Graphen bei den Nullstellen nötig.
Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\)
Die Ergebnisse stellen wir nocheinmal wir in einer Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime}(x)\) dar (inkl. Verlaufsrichtung des Graphen).
Aus der Skizze kann man die Vorzeichen in den drei Intervallen sofort ablesen und die Verlaufsrichtung von \(G_f\) folgern:
| \(x\) | \(0\) | \(2\) | |||||
| Vorzeichen von \(f^{\large\prime}(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | ||||
| Richtung von \(G_f\) | \(\searrow\) | \(\searrow\) | \(\nearrow\) | ||||
Zusammenfassung:
Unter Berücksichtigung der Stetigkeit der Funktion \(f\) kann man nun die maximalen Monotonieintervalle angeben:
- \(G_f\) ist streng monoton fallend in \(]-\infty; 2\color{red}{]}\).
- \(G_f\) ist streng monoton steigend in \(\color{red}{[}2; +\infty [\).
Folgerungen für die Extrempunkte
Aufgrund des Vorzeichenwechsels von \(f^{\large\prime}(x)\)
- von \(-\) nach \(+\) bei \(x=2\)
ist \(T(2|f(2))\) ein lokaler Tiefpunkt von \(G_f\).
\(f(2)=-2 \Rightarrow T(2|-2)\)
Weil \(T\) der einzige EXTREMPUNKT von \(G_f \) ist, muss \(T\) sogar ABSOLUTER TIEFPUNKT von \(G_f\) sein.
Der Graph von \(f\) sieht tatsächlich folgendermaßen aus:
Beispiel 3 (Funktion mit eingeschränkter Definitionsmenge)
Gegeben ist die Funktion \(f\) durch \(f(x)= \frac {1}{4}x^4-\frac {1}{3}x^3 – x^2\) mit \(D_f=[-2; 3]\).
Ermitteln Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte des Graphen der Funktion \(f\).
Lösung:
Ermittlung der Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f^{\large\prime}\)
\(f^{\large\prime}(x)=x^3-x^2-2x=x\cdot (x^2-x-2)\overset{Vieta}{=}x (x+1)(x-2)\)
\(f^{\large\prime}(x)= 0\)\(\quad \Rightarrow \quad x_{1}= -1\) (einfache Nullstelle), \(x_2=0\) (einfache Nullstelle), \(x_3=2\) (einfache Nullstelle)
Anfertigen einer Vorzeichenskizze / Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime}\)
Beim Anfertigen der Skizze sind Kenntnisse über den Zusammenhang zwischen den Vielfachheiten von Nullstellen und das Verhalten des Graphen bei den Nullstellen nötig.
Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime}}\)
Die Ergebnisse stellen wir nocheinmal wir in einer Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime}(x)\) dar (inkl. Verlaufsrichtung des Graphen).
Aus der Skizze kann man die Vorzeichen in den vier Intervallen sofort ablesen und die Verlaufsrichtung von \(G_f\) folgern:
| \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | |||||||
| Vorzeichen von \(f^{\large\prime}(x)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | ||||||
| Richtung von \(G_f\) | \(\searrow\) | \(\nearrow\) | \(\searrow\) | \(\nearrow\) | ||||||
Zusammenfassung:
Unter Berücksichtigung der beschränkten Definitionsmenge \(D_f = [-2; 3]\) kann man nun die maximalen Monotonieintervalle angeben:
- \(G_f\) ist streng monoton fallend
in \([-2; -1]\) und \([0; 2]\). - \(G_f\) ist streng monoton steigend
in \([-1; 0]\) und \([2; 3]\).
Folgerungen für die Extrempunkte
Aufgrund des Vorzeichenwechsels von \(f^{\large\prime}(x)\)
- von \(-\) nach \(+\) bei \(x=-1\) und bei \(x=2\)
sind \(T_1(-1|f(-1))\) und \(T_2(2|f(2))\) lokale Tiefpunkte von \(G_f\).
\(f(-1)=-\frac {5}{12}\) und \(f(2)=-\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow T_1\left(-1\middle|-\frac{5}{12}\right)\) und \(T_2\left(2\middle|-\frac{8}{3}\right)\) - von \(+\) nach \(-\) bei \(x=0\)
ist \(H_1(0|f(0))\) ein lokaler Hochpunkt von \(G_f\).
\(f(0)=0 \Rightarrow H_1(0|0)\)
Randextrempunkte (Definitionsmenge ist geschlossenes Intervall!):
- Unmittelbar nach der linken Randstelle \(x=-2\) fällt \(G_f\),
also ist \(H_2(-2|f(-2))\) ein Randhochpunkt.
\(f(-2)=\frac {8}{3} \Rightarrow H_2\left(-2\middle|\frac{8}{3}\right)\) - Unmittelbar vor der rechten Randstelle \(x=3\) steigt \(G_f\),
also ist \(H_3(3|f(3))\) ein Randhochpunkt.
\(f(3)=\frac {9}{4} \Rightarrow H_3\left(3\middle|\frac{9}{4}\right)\)
Absolute Extrempunkte:
- Weil \(H_2\) höher liegt als \(H_3\) und \(H_1\),
ist \(H_2\) der ABSOLUTE HOCHPUNKT von \(G_f\). - Weil \(T_2\) tiefer liegt als \(T_1\), ist \(T_2\) der ABSOLUTE TIEFPUNKT von \(G_f\).
Der Graph von \(f\) sieht tatsächlich folgendermaßen aus: