Untersuchung des Krümmungsverhaltens
Erinnerung
Wenn bereits der Graph der ersten Ableitung vorliegt, ist es hilfreich zu wissen, wie dieser Graph mit der Krümmungsart des ursprünglichen Funktionsgraphen zusammenhängt:\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)
Zusammenhang zwischen der Krümmungsart eines Funktionsgraphen und dem Graphen der ersten Ableitung
Der Graph \( G_f \) einer differenzierbaren Funktion \( f:x \mapsto f(x) \) mit der Definitionsmenge \(D_f\) ist in einer Menge \(I \subseteq D_f\) genau dann
- rechtsgekrümmt,
wenn der Graph der Ableitung von \(f\) in \( I \) streng monoton fallend ist,
- linksgekrümmt,
wenn der Graph der Ableitung von \(f\) in \( I \) streng monoton steigend ist.
Gelingt es einem also, das Steigungsverhalten des Graphen der Ableitungsfunktion von \(f\) zu untersuchen, so kann man damit sofort auf das Krümmungsverhalten des Graphen von \(f\) schließen.
Wenn die Funktion \(f\) sogar zweimal ableitbar ist, so kann man sich folgende Überlegung zunutze machen:
- Mithile von \(\abl{f}(x)\) untersucht man das Steigungsverhalten des Graphen von \(f\).
- Mithilfe von \(f^{\large\prime \prime}(x)\) untersucht man folglich das Steigungsverhalten des Graphen von \(f^{\large\prime}\).
- Somit verrät \(f^{\large\prime \prime}(x)\) auch das Krümmungsverhalten des Graphen von \(f\).
Diese Idee liegt dem nachfolgend genannten „Krümmungskriterium“ zugrunde:
Krümmungskriterium
Die Funktion \( f \) sei auf dem geschlossenen Intervall \([a;b]\) stetig und auf dem offenen Intervall \(]a;b[\) mindestens zweimal differenzierbar.
Dann gilt:
Ist \(f^{\large\prime \prime}(x) < 0 \) für alle \(x\in ]a;b[\), so ist \(G_f \) rechtsgekrümmt in \([a;b]\).
Ist \(f^{\large\prime \prime}(x) > 0 \) für alle \(x\in ]a;b[\), so ist \(G_f \) linksgekrümmt in \([a;b]\).
Achtung:
Das obige „Krümmungskriterium“ macht KEINE AUSSAGE über Intervalle, in denen einzelne Stellen vorkommen, an denen \(f^{\large\prime \prime}(x)=0\) ist.
Konkrete Anwendung des Krümmungskriteriums
Mit folgendem Schema werden die größtmöglichen Krümmungsintervalle des Graphen einer Funktion \(f\) ermittelt:
(Größtmögliche Krümmungsintervalle sind die größtmöglichen Intervalle auf der \(x\)-Achse, in denen der Graph \(G_f\) jeweils gleichartiges Krümmungsverhalten besitzt)
Schrittfolge zur Ermittlung der Krümmungsintervalle
- Funktion \(f\) zweimal ableiten, um die sog. 2. Ableitung von \(f\) zu erhalten, also \(f^{\large\prime\prime}\).
\(\) - Gleichung \({f^{\large\prime\prime}(x)} = 0\) lösen, um die Nullstellen von \(f^{\large\prime\prime}\) zu bestimmen
(denn nur dort kann sich das Vorzeichen von \(f^{\large\prime\prime}\) ändern)
\(\) - Vorzeichenuntersuchung von \(f^{\large\prime\prime}(x)\) durchführen
(z.B. mithilfe einer Vorzeichentabelle oder Vorzeichenskizze für \(f^{\large\prime\prime}(x)\))
\(\) - Krümmungsintervalle folgern und angeben
Beispiel 1
Gegeben ist die Funktion \(f\) durch \(f(x)= \frac {1}{18} (x^3-9x^2+15x+17)\) mit der Definitionsmenge \(D_f=\IR\).
Ermitteln Sie die maximalen Krümmungsintervalle und die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von \(f\).
Lösung:
Ermittlung der Nullstellen der zweiten Ableitung von \(f\):
\(f^{\large\prime}(x)=\frac {1}{18} (3x^2-18x+15)\)
\(\Rightarrow \quad f^{\large\prime \prime}(x)=\frac {1}{18} (6x-18)\)
\(f^{\large\prime\prime}(x)= 0\)
\(\Rightarrow \quad \frac {1}{18} (6x-18)=0\)\(\quad\Rightarrow\quad 6x-18=0\)
\(\Rightarrow\quad x = \frac {18} {6}=3 \)
Durch die einzige Nullstelle von \(f^{\large\prime \prime}\) wird die Definitionsmenge \(D_f=\IR\) in zwei offene Intervalle zerlegt:
- \(]{-}\infty; 3[\)
- \(]3; +\infty[\)
Vorzeichen-Untersuchung mittels Vorzeichentabelle
Folgende Überlegungen sind sehr hilfreich:
- Das Vorzeichen von \(f^{\large\prime \prime}(x)\) kann sich nur bei der Nullstelle von \(f^{\large\prime \prime}\) ändern.
- Folglich bleibt das Vorzeichen von \(f^{\large\prime \prime}(x)\) an allen Stellen in beiden Intervalle jeweils gleich.
- Um die Vorzeichen zu ermitteln, die jeweils zu den beiden Intervallen gehören, kann man zum Beispiel einen geeigneten \(x\)-Wert aus dem jeweiligen Intervall in \(f^{\large\prime \prime}(x)\) einsetzen:
- \(x=0\in ]{-}\infty; 3[\) und
\(f^{\large\prime \prime}(0)={-}18 < 0 \),
also gilt:
\(f^{\large\prime\prime}(x) < 0\) für alle \(x\in ]{-}\infty; 3[\)
- \(x=4\in ]3; +\infty[\) und
\(f^{\large\prime \prime}(4)=6 > 0 \),
also gilt:
\(f^{\large\prime \prime}(x)>0\) für alle \(x\in ]3; +\infty[\)
Diese Erkenntnisse lassen sich in einer Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime \prime}(x)\) zusammenfassend übersichtlich darstellen:
| \(x\) | \(3\) | |||
| Vorzeichen von \(f^{\large\prime\prime}(x)\) | \(-\) | \(+\) | ||
Die Vorzeichentabelle kann man auch noch um eine weitere Zeile ergänzen, in der man die Krümmungsart des Graphen von \(f\) durch einen entsprechenden gebogenen Pfeil (\(\curvearrowright\) bzw. \(\curvelinks\)) andeutet:
| \(x\) | \(3\) | |||
| Vorzeichen von \(f^{\large\prime\prime}(x)\) | \(-\) | \(+\) | ||
| Krümmungsart von \(G_f\) | \(\curvearrowright\) | \(\curvelinks\) | ||
Alternative Vorzeichen-Untersuchung: Anfertigen einer Vorzeichenskizze
Wenn sich der Graph von \(f^{\large\prime \prime}\) schnell skizzieren lässt, kann man auch eine solche Skizze des Graphen von \(f^{\large\prime \prime}\) anfertigen, um daraus die Vorzeichen der Funktionswerte von \(f^{\large\prime \prime}\) ablesen und den beiden Intervallen zuordnen zu können.
Es genügt dabei, die wesentlichen Eigenschaften des Graphen von \(f^{\large\prime \prime}\) zu berücksichtigen.
Im voliegenden Fall für \(f^{\large\prime \prime}(x)=\frac {1}{18} (6x-18)\) sind es diese Eigenschaften:
- Es handelt sich um eine nach steigende Gerade.
- Die Gerade schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=3\).
Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime \prime}}\)
Nachdem der Graph von \(f^{\large\prime \prime}\) skizziert wurde, kann man die Vorzeichen von \(f^{\large\prime \prime}(x)\) in den beiden Intervallen direkt aus der Skizze ablesen und sich weitere Berechnungen zur Untersuchung der Vorzeichen sparen.
Auch diesmal kann man die Ergebnisse in einer Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime \prime}(x)\) zusammenfassen.
| \(x\) | \(3\) | |||
| Vorzeichen von \(f^{\large\prime\prime}(x)\) | \(-\) | \(+\) | ||
| Krümmungsart von \(G_f\) | \(\curvearrowright\) | \(\curvelinks\) | ||
Abschließende Beschreibung des Krümmungsverhaltens
Da die Funktion \(f\) stetig ist, also ihr Graph keine Sprünge innerhalb der Definitionsmenge macht, werden die beiden endlichen und in der Definitionsmenge von \(f\) enthaltenen Ränder der beiden Intervalle mit zu den größtmöglichen Krümmungsintervallen dazugenommen:
Achten Sie im folgenden Text genau auf die Intervallklammern!
- \(G_f\) ist rechtsgekrümmt in \(]-\infty; 3\color{red}{]}\).
- \(G_f\) ist linksgekrümmt in \(\color{red}{[}3; +\infty[\).
Die Punkte, in denen jeweils zwei unterschiedlich gekrümmte Abschnitte von \(G_f\) aufeinandertreffen, sind die Wendepunkte von \(G_f\).
Ihre \(x\)-Koordinaten sind diejenigen Nullstellen von \(f^{\large\prime \prime}\) mit Vorzeichenwechsel.
Hier ist das offenbar nur der Punkt \(W(3|f(3))\).
\(f(3)=\frac {4}{9} \Rightarrow W\left(3\middle|\frac{4}{9}\right)\)
Der Graph von \(f\) sieht tatsächlich folgendermaßen aus:
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion \(f\) durch \(f(x)= \frac {3}{4}x^4-2x^3+2\) mit der Defintionsmenge \(D_f=\IR\).
Ermitteln Sie die maximalen Krümmungsintervalle und die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen der Funktion \(f\).
Lösung:
Ermittlung der Nullstellen von \(f^{\large\prime \prime}\):
\(f^{\large\prime}(x)=3x^3-6x^2\)
\(\Rightarrow\quad f^{\large\prime \prime}(x)= 9x^2-12x=9x(x-\frac{12}{9})\)
\(f^{\large\prime \prime}(x)= 0\)\(\quad\Rightarrow\quad 9x(x-\frac{12}{9})=0 \)
\(\Rightarrow \quad x_1= 0,\ x_2=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\)
\(\phantom{\Rightarrow} \quad\)(jeweils einfache Nullstellen)
Vorschlag 1: Direkt mit Vorzeichentabelle
Das Grundgerüst der Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime \prime}(x)\) sieht folgendermaßen aus:
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{4}{3}\) | |||||
| Vorzeichen von \(f^{\large\prime \prime}(x)\) | \(\) | \(\) | \(\) | ||||
| Krümmungsart von \(G_f\) | |||||||
\(\)
Um die Vorzeichen für die drei Bereiche zu ermitteln, berechnen wir den Wert der 2. Ableitung an einer konkreten Stelle (z.B. \(x=1\)) und nutzen außerdem die Vielfachheiten der Nullstellen von \(f^{\large\prime \prime}\):
- \(f^{\large\prime \prime}(1)=-3<0\)
- \(x=0\) und \(x=\frac{4}{3}\) sind einfache Nullstellen von \(f^{\large\prime\prime}\),
also hat \(f^{\large\prime \prime}(x)\) dort jeweils einen Vorzeichenwechsel.
Damit können wir die die Vorzeichen für die drei Bereiche eintragen und die Krümmungsart von \(G_f\) folgern:
| mit VZW |
mit VZW |
||||||
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{4}{3}\) | |||||
| Vorzeichen von \(f^{\large\prime \prime}(x)\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | ||||
| Krümmungsart von \(G_f\) | \(\curvelinks\) | \(\curvearrowright\) | \(\curvelinks\) | ||||
Vorschlag 2: Mit Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime \prime}}\)
Beim Anfertigen der Skizze sind Kenntnisse über den Zusammenhang zwischen den Vielfachheiten von Nullstellen und das Verhalten des Graphen bei den Nullstellen nötig.
Aus der Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime \prime}}\) kann man die Vorzeichen in den drei Intervallen sofort ablesen und die Krümmungsart von \(G_f\) folgern:
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{4}{3}\) | |||||
| Vorzeichen von \(f^{\large\prime \prime}(x)\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | ||||
| Krümmungsart von \(G_f\) | \(\curvelinks\) | \(\curvearrowright\) | \(\curvelinks\) | ||||
Unter Berücksichtigung der Stetigkeit der Funktion \(f\) kann man nun die maximalen Krümmungsintervalle des Graphen von \(f\) angeben:
- \(G_f\) ist linksgekrümmt in \(]-\infty; 0\color{red}{]}\).
- \(G_f\) ist rechtsgekrümmt in \(\color{red}{[}0;\frac{4}{3}\color{red}{]}\)
- \(G_f\) ist linksgekrümmt in \(\color{red}{[}\frac{4}{3}; +\infty {[}\).
Die Punkte, in denen jeweils zwei unterschiedlich gekrümmte Abschnitte von \(G_f\) aufeinandertreffen, sind die Wendepunkte von \(G_f\).
Hier sind es offenbar diese beiden Punkte:
\(W_{1}(0|f(2))\) und \(W_{2}\left(\frac{4}{3}\middle|f\left(\frac{4}{3}\right)\right)\)
\(f(0)=2\) und \(f\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{10}{27}\)
\(\Rightarrow W_1(0|2)\) und \(W_2\left(\frac{4}{3}\middle|-\frac{10}{27}\right)\)
Der Graph von \(f\) sieht tatsächlich folgendermaßen aus:
Beispiel 3
Gegeben ist die Funktion \(f\) durch \(f(x)=\frac{1}{100}(3x^5-40x^3)\) mit der Definitionsmenge \(D_f=[-2; +\infty[\).
Ermitteln Sie die maximalen Krümmungsintervalle und die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen der Funktion \(f\).
Lösung:
Ermittlung der Nullstellen von \(\abb{f}\):
\(f(x)=\frac{1}{100}(3x^5-40x^3)\)
\(\Rightarrow\quad\abl{f}(x)=\frac{1}{100}(15x^4-120x^2)\)
\(\Rightarrow\quad\abb{f}(x)= \frac{1}{100}(60x^3-240x)\)
\(\phantom{\Rightarrow\quad\abb{f}(x)} = \frac{60}{100} x (x^2-4)\)
\(\abb{f}(x)= 0\)\(\quad\Rightarrow\quad \frac{6}{10} x (x-2) (x+2)=0 \)
\(\Rightarrow \quad x_1= 0, x_2=-2, x_2= 2 \in D_f=[-2; +\infty[\)
\(\phantom{\Rightarrow} \quad\)(jeweils einfache Nullstellen)
Vorschlag 1: Direkt mit Vorzeichentabelle
Das Grundgerüst der Vorzeichentabelle für \(f^{\large\prime \prime}(x)\) sieht unter Beachtung der Definitionsmenge \(D_f=[-2; +\infty [\) folgendermaßen aus:
| \(x\) | nicht def. | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | ||||||
| Vorzeichen von \(\abb{f}(x)\) | / |
\(\) | \(\) | \(\) | ||||||
| Krümmungsart von \(G_f\) | / |
\(\) | \(\) | \(\) | ||||||
\(\)
Um die Vorzeichen für die drei Bereiche zu ermitteln, ermitteln wir den Wert der 2. Ableitung an einer konkreten Stelle (z.B. \(x=1\)) und nutzen außerdem die Vielfachheiten der Nullstellen von \(f^{\large\prime \prime}\):
- \(\abb{f}(1)=-\frac{9}{5}<0\)
- alle drei Nullstellen von \(\abb{f}\) sind einfache Nullstellen,
also hat \(\abb{f}(x)\) dort jeweils einen Vorzeichenwechsel.
Damit können wir unter Beachtung der Definitionsmenge \(D_f=[-2; +\infty [\) die Vorzeichen für die drei Bereiche eintragen und die Krümmungsart von \(G_f\) folgern:
| mit VZW |
mit VZW |
mit VZW |
||||||||
| \(x\) | nicht def. | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | ||||||
| Vorzeichen von \(\abb{f}(x)\) | / |
\(+\) | \(-\) | \(+\) | ||||||
| Krümmungsart von \(G_f\) | / |
\(\curvelinks\) | \(\curvearrowright\) | \(\curvelinks\) | ||||||
Vorschlag 2: Mit Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime \prime}}\)
Beim Anfertigen der Skizze sind Kenntnisse über den Zusammenhang zwischen den Vielfachheiten von Nullstellen und das Verhalten des Graphen bei den Nullstellen nötig.
Aus der Vorzeichen-Skizze von \(G_{f^{\large\prime \prime}}\) kann man unter Beachtung der Definitionsmenge \(D_f=[-2; +\infty [\) die Vorzeichen in den drei Intervallen sofort ablesen und die Krümmungsart von \(G_f\) folgern:
| \(x\) | nicht def. | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | ||||||
| Vorzeichen von \(\abb{f}(x)\) | / |
\(+\) | \(-\) | \(+\) | ||||||
| Krümmungsart von \(G_f\) | / |
\(\curvelinks\) | \(\curvearrowright\) | \(\curvelinks\) | ||||||
Unter Berücksichtigung der Stetigkeit der Funktion \(f\) kann man nun die maximalen Krümmungsintervalle des Graphen von \(f\) angeben:
- \(G_f\) ist linksgekrümmt in \([-2; 0\color{red}{]}\).
- \(G_f\) ist rechtsgekrümmt in \(\color{red}{[}0; 2\color{red}{]}\).
- \(G_f\) ist linksgekrümmt in \(\color{red}{[}2; +\infty [\).
Die Punkte, in denen jeweils zwei unterschiedlich gekrümmte Abschnitte von \(G_f\) aufeinandertreffen, sind die Wendepunkte von \(G_f\).
Hier sind es offenbar diese beiden Punkte:
\(W_{1}(0|f(0))\) und \(W_{2}(2|f(2))\)
\(f(0)=0\) und \(f(2)=-\frac{56}{25}\)
\(\Rightarrow W_1(0|0)\) und \(W_2\left(2\middle|-\frac{56}{25}\right)\)
Der Graph von \(f\) sieht tatsächlich folgendermaßen aus:
Wichtige Überlegung (Aufgabe)
Begründen Sie, ob folgende Aussage für beliebige, zweimal ableitbare Funktionen wahr oder falsch ist:
„Hat der Graph von \(f^{\large\prime}\) an der Stelle \(x_0\) einen Extrempunkt,
so hat der Graph von \(f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.“