Polynomdivision

Vorüberlegungen

Von der Multiplikation und Division von Zahlen ist bekannt:

\(a \cdot b = c \quad | :a \quad \Rightarrow \quad c : a = b \)

Wie bereits bekannt, können auch zwei Polynome wie zum Beispiel \(x+2\) und \(x-4\) multipliziert werden:

\((x+2) \cdot (x-4) = x^2-2x-8\) bzw. \(x^2-2x-8 = (x+2) \cdot (x-4) \)

Dividieren der Terme auf beiden Gleichungsseiten durch das Polynom \(x+2\):

\(x^2-2x-8 = (x+2) \cdot (x-4) \quad |:(x+2) \)

\( \underbrace {(x^2-2x-8)}_{Dividend}: \underbrace{(x+2)}_{Divisor} = x-4 \)

Erkenntnis:
Die Division des Polynoms \(x^2-2x-8\) (Dividend) durch das Polynom \(x+2\) (Divisor) ergibt das Polynom \(x-4\).

Ziel:
Es wird ein Verfahren benötigt, mit dem die Division tatsächlich durchgeführt und das Ergebnispolynom berechnet werden kann. Das Verfahren baut auf der bekannten schriftlichen Division von Zahlen auf.

Erinnerung: Schriftliche Division von Zahlen

\(\hphantom{{}-}168:12=14 \\
-\underline{12} \\
\hphantom{-1} 48 \\
\hphantom{-} – \underline{48} \\
\hphantom{-48} 0 \)

Division von Polynomen

Für das Beispiel von oben ergibt sich folgende Rechnung:

\(\hphantom{-(}\left({} \color{red}{x^{2}}{}- 2 x{}- 8\right) : \left({}\color{blue}{x} + 2\right) = {}\color{red}{x}{}\color{green}{- 4}\\\hphantom{}{{}-\underline{\left({}x^{2} + 2 x\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}x^{2}}\color{green}{-4 x}{}- 8\\\hphantom{-\left(\right){}x^{2}}\hspace{-16pt}{{}-\underline{\left({}-4 x{}- 8\right)}}\\\hphantom{-\left(\right){}x^{2}{}\color{green}{- 4} x+{}}0 \)

Schrittfolge:

0. Sortiere, falls nötig, die Terme innerhalb der Polynome nach fallenden Potenzen.

1. Dividiere den ersten Summanden \(\color{red}{x^2}\) des Dividenden durch den ersten Summanden \(\color{blue}{x}\) des Divisors.

2. Multipliziere das Ergebnis \(\color{red}{x}\) der Division mit dem Divisor \((x+2)\).

3. Subtrahiere den erhaltenen Term \((x^2+2x)\) vom Dividenden.

Schreibe anschließend den nächsten Summanden nach unten und beginne an dieser Stelle wieder mit Schritt 1.

1. Dividiere \(\color{green}{-4x}\) durch \(\color{blue}{x}\)

2. Multipliziere das Ergebnis \(\color{green}{-4}\) der Division mit dem Divisor \((x+2)\).

3. Subtrahiere den erhaltenen Term \((4x-8)\) vom Dividenden. Die Division geht ohne Rest auf.

Schrittweise Vorführung der Polynomdivision des Beispiels

Auftrag

\( \underbrace {(x^2-2x-8)}_{Dividend}: \underbrace{(x+2)}_{Divisor} =\)

Geben Sie die Polynome des Beispiels in das interaktive Applet ein und vollziehen Sie die Polynomdivision Schritt für Schritt nach.

Interaktives Applet: Polynomdivision