Ungleichungen höheren Grades

Bei der Untersuchung quadratischer Ungleichungen wurde bereits über den Zusammenhang zwischen der Lage eines bzw. mehrerer Funktionsgraphen der zugehörigen Funktionen gesprochen:

  • \(f(x)>0 \Leftrightarrow\) Der Graph \(G_f\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse. Schnittstellen mit der \(x\)-Achse sind nicht in der Lösungsmenge enthalten.
  • \(f(x)\ge 0 \Leftrightarrow\) Der Graph \(G_f\) verläuft oberhalb oder auf der \(x\)-Achse. Schnittstellen mit der \(x\)-Achse sind in der Lösungsmenge enthalten.
  • \(f(x)<0 \Leftrightarrow\) Der Graph \(G_f\) verläuft unterhalb der \(x\)-Achse. Schnittstellen mit der \(x\)-Achse sind nicht in der Lösungsmenge enthalten.
  • \(f(x)\le 0 \Leftrightarrow\) Der Graph \(G_f\) verläuft unterhalb oder auf der \(x\)-Achse. Schnittstellen mit der \(x\)-Achse sind in der Lösungsmenge enthalten.

In analoger Weise lassen sich diese Überlegungen auch für Funktionen höheren Grades aufstellen. Somit ist auch das Vorgehen zum Lösen von Ungleichungen höheren Grades indentisch zu dem von quadratischen Ungleichungen.

Allgemeine Vorgehensweise:
  1. Interpretieren Sie den Term der Ungleichung als Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion.
  2. Berechnen Sie (falls vorhanden) die Nullstellen dieser Funktion mit geeigneten Verfahren (Ausklammern von \(x^n\), \(n\)-te Wurzel, Substitutionsverfahren, Polynomdivision) und untersuchen Sie anhand von Leitkoeffizient und Grad das Grenzverhalten.
  3. Fertigen Sie eine grobe Skizze des Funktionsgraphen an, dazu reichen die Nullstellen und das Grenzverhalten aus.
  4. Nun können Sie ohne weitere Rechnung entscheiden, für welche Werte der Graph oberhalb bzw. unterhalb der \(x\)-Achse liegt (das heißt, wann der Term aus der Ungleichung folglich größer null bzw. kleiner null ist).

Betrachten wir nun als Beispiel die Ungleichung \( \frac12 (x-3)(x-1)(x+1) > 0\). Die zugehörige Funktion \(f\) besitzt also die Funktionsgleichung \(f(x)=\frac12 (x-3)(x-1)(x+1)\). Da diese bereits in Linearfaktorform gegeben ist, ist das Ermitteln von Nullstellen, Grad und Leitkoeffizient leicht möglich (vgl. Kapitel zur Linearfaktorform):

  1. \(x_1=3\) (einfach), \(x_2=1\) (einfach), \(x_3=-1\) (einfach)
  2. Grad von \(f\): Ausmultiplizieren der höchsten \(x\)-Potenzen der einzelnen Faktoren, also
    \(x \cdot x \cdot x = x^3 \quad \Rightarrow \quad \) Grad von \(f\): \(3\)
    Es gilt also:
    \(f(x)=\frac12 (x-3)(x-1)(x+1) = \frac12 x^3 + … \)
  3. Leitkoeffizient ist positiv und Grad ist ungerade \(\Rightarrow G_f\) verläuft aus dem III. in den I. Quadranten
    (\(G_f\) verläuft von „links unten nach rechts oben“)

Da die Ungleichung \( \frac12 (x-3)(x-1)(x+1)>0\) lautet, ist derjenige Teil des Graphen interessant, der oberhalb der \(x\)-Achse verläuft (siehe rechte Abbildung). Dies ist ausgehend von der Skizze des Funktionsgraphen in zwei Intervallen erfüllt, nämlich für:

  1. \(x\in ]-1;1[\)
  2. \(x\in ]3;\infty[\)

Hieraus ergibt sich als Lösungsmenge \(L\) der Ungleichung: \(L=]-1;1[ \cup ]3;\infty[\).

Aufgabe

Ermitteln Sie die Lösungsmenge der Ungleichung \(x^4+x^3-2x^2\le 0\).

\[\begin{array}{lll}&f(x)&=x^4+x^3-2x^2&\\&&=\underbrace{x^2}_{x_1=0\\\text{doppelt}}(x^2+x-2)&=0\end{array}\]

\[\begin{array}{}x_{2/3}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}=\dfrac {-1\pm 3}{2}\end{array}\]

Der quadratische Teil in der Klammer liefert mit der Lösungsformel die Nullstellen \(x_2=1\) und \(x_3=-2\) (jeweils einfach).

In Verbindung mit dem Globalverlauf (positiver Leitkoeffizient, gerader Grad \(\Rightarrow G_f\) verläuft vom II. in den I. Quadranten) folgt für die Skizze:

Der Teil des Graphen unter bzw. auf der \(x\)-Achse beginnt bei \(x=-2\) und endet bei \(x=1\) (an der Nullstelle \(x=0\) wechseln die Funktionswerte nicht das Vorzeichen, der Graph liegt also auch in der Umgebung um diese Nullstelle dauerhaft auf oder unter der \(x\)-Achse).

\(\Rightarrow L=[-2;1]\)

Weiter
Zurück