Monotonie und Extrempunkte

Begriffe Monotonie und Extrempunkt

Wenn sich beispielsweise

  • physikalische Vorgänge (z.B.: ein Objekt verändert seine Entfernung vom Ausgangspunkt) oder
  • wirtschaftliche Abläufe (z.B.: die Kosten bei der Produktion gleichartiger Objekte verändert sich mit der Zunahme der Anzahl der produzierten Objekte)

mithilfe von Funktionen beschreiben lassen, dann sind bestimmte Abschnitte und Punkte der zughörigen graphischen Darstellungen von Interesse, zum Beispiel

  • Abschnitte, in denen der Funktionsgraph ansteigt
  • Abschnitte, in denen der Funktionsgraph abfällt
  • Punkte, in denen der Funktionsgraph am höchsten liegt
  • Punkte, in denen der Funktionsgraph am tiefsten liegt

Die Eigenschaft eines Funktionsgraphen, innerhalb eines bestimmten Abschnitts nur anzusteigen oder nur abzufallen, wird als Steigungsverhalten oder auch Monotonieverhalten bezeichnet.

Punkte eines Funktionsgraphen, die innerhalb ihrer unmittelbaren Umgebung am höchsten oder am tiefsten liegen, heißen Extrempunkte des Funktionsgraphen.

Veranschaulichung der Begriffe

Klicken Sie im nachfolgenden Geogebra-Applet auf die „Lösung“-Schaltfläche.

 

 

Monotoniedefinition

Strenge Montonie

\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}}\)Der Graph einer Funktion \(f\) ist in einer Menge \(I\subset D_f\) streng monoton steigend, wenn für alle \(x_1, x_2 \in I\) gilt:
\(x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \color{red}{\bf<} f(x_2) \)

Der Graph einer Funktion \(f\) ist in einer Menge \(I\subset D_f\) streng monoton fallend, wenn für alle \(x_1, x_2 \in I\) gilt:
\(x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \color{red}{\bf>} f(x_2) \)

Nicht-strenge Monotonie

Der Graph einer Funktion \(f\) ist in einer Menge \(I\subset D_f\) monoton steigend, wenn für alle \(x_1, x_2 \in I\) gilt:
\(x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \color{blue}{\bf\leq} f(x_2) \)

Der Graph einer Funktion \(f\) ist in einer Menge \(I\subset D_f\) monoton fallend, wenn für alle \(x_1, x_2 \in I\) gilt:
\(x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \color{blue}{\bf\geq} f(x_2) \)

Beispiel 1

Die Funktion \(f:x\mapsto x^2\) mit der Definitionsmenge \(D_f=\IR\) besitzt als Graph die Normalparabel. Der Graph von \(f\) ist offenbar

  • im Intervall \(]-\infty; 0]\) streng monoton fallend und
  • im Intervall \([0; +\infty[\) streng monoton steigend.
 

 

Beispiel 2

Die Funktion \(g:x\mapsto x^3\) mit der Definitionsmenge \(D_g=\IR\) besitzt als Graph eine sog. „Parabel dritten Grades“ mit einer dreifachen Nullstelle bei \(x=0\). Der Graph von \(g\) ist tatsächlich trotz der dreifachen Nullstelle

  • in der gesamten Definitionsmenge \(]-\infty; +\infty[\) streng monoton steigend.
 

 

Beispiel 3

Die Funktion \(sgn:x\mapsto \left\{\begin{array}{ll}-1, & x\in ]-\infty; 0[ \\0, & x=0 \\ 1, & x\in ]0;+\infty[\end{array}\right.\)
mit der Definitionsmenge \(D_{sgn}=\IR\) (die sog. Signum-Funktion) hat einen Graphen, der aus zwei waagrecht verlaufenden Abschnitten besteht, zwischen denen nur ein Punkt liegt. Ingesamt steigen die Werte zumindest zweimal an. Der Graph der Funktion \(sgn\) ist

  • im Intervall \(]-\infty; +\infty[\) nicht streng monoton steigend, sondern nur monoton steigend.
 

 

Beispiel 4

Die Funktion \(q:x\mapsto \frac{1}{x-1}\) mit der Definitionsmenge \(D_q=\IR\backslash \{1\} \) besitzt als Graph die um eins nach rechts verschobene Normalhyperbel. Der Graph von \(q\) ist offenbar

  • im Intervall \(]-\infty; 1[\) streng monoton fallend und auch
  • im Intervall \(]1; +\infty[\) streng monoton fallend.

ACHTUNG:

Vorsicht bei der verlockenden Verwendung des Vereinigungszeichens \(\cup\)!

  • In der Vereinigungsmenge \(]-\infty; 1[ \ \cup\  ]1; +\infty[\) ist der Graph von \(q\) ist NICHT streng monoton fallend (und besitzt auch sonst kein eindeutiges Monotonieverhalten).
 

 

Annahme:

Wir nehmen ganz stur einfach mal an, dass der Graph von \(q\) in der Vereinigungsmenge \(]-\infty; 1[ \ \cup\  ]1; +\infty[\) streng monoton fallend ist, und beobachten, ob das gut geht.

Folgerung:

Laut Montoniedefinition dürfte man dann zwei beliebige \(x\)-Werte \(x_1\) und \(x_2\) mit \(x_1<x_2\) aus der Menge \(]-\infty; 1[ \ \cup\  ]1; +\infty[\) auswählen, und es müsste dann stets der links liegende Punkt \(\bigl(x_1|q(x_1)\bigr)\) des Graphen weiter oben liegen als der zugehörige rechts liegende Punkt \(\bigl(x_2|q(x_2)\bigr)\) des Graphen.

Widerspruch zur Annahme:

Wählt man \(x_1<1\) und \(x_2>1\), so sieht man am Graphen der Funktion, dass der links liegende Punkt dann TIEFER als der rechts liegende Punkt liegt, also kann der Graph nicht streng monoton FALLEND sein.

Die Annahme muss also falsch sein, und das heißt:

In der Vereinigungsmenge \(]-\infty; 1[ \ \cup\  ]1; +\infty[\) ist der Graph von \(q\) NICHT streng monoton fallend.

Lokale und absolute Hochpunkte

Gegeben sei eine Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D_f\) und dem Graphen \(G_f\).

Ein Punkt \(H\in G_f\), der innerhalb seiner unmittelbaren Umgebung am höchsten liegt, heißt lokaler Hochpunkt von \(G_f\).

Liegt der Punkt \(H\in G_f\) sogar am höchsten bzgl. aller anderen Punkte des gesamten Funktionsgraphen von \(f\), so heißt er sogar absoluter oder globaler Hochpunkt von \(G_f\).

  • Die \(x\)-Koordinate von \(H\) ist eine lokale (oder evtl. absolute) Maximalstelle der Funktion \(f\).
  • Die \(y\)-Koordinate von \(H\) ist ein lokales (oder evtl. absolutes) Maximum der Funktion \(f\).

Lokale und absolute Tiefpunkte

Gegeben sei eine Funktion \(f\) mit der Definitionsmenge \(D_f\) und dem Graphen \(G_f\).

Ein Punkt \(T\in G_f\), der innerhalb seiner unmittelbaren Umgebung am tiefsten liegt, heißt lokaler Tiefpunkt von \(G_f\).

Liegt der Punkt \(T\in G_f\) sogar am tiefsten bzgl. aller anderen Punkte des gesamten Funktionsgraphen von \(f\), so heißt er sogar absoluter oder globaler Tiefpunkt von \(G_f\).

  • Die \(x\)-Koordinate von \(T\) ist eine lokale (oder evtl. absolute) Minimalstelle der Funktion \(f\).
  • Die \(y\)-Koordinate von \(T\) ist ein lokales (oder evtl. absolutes) Minimum der Funktion \(f\).

Lokale und absolute Extrempunkte

Der Oberbegriff für lokale Hoch- und Tiefpunkte lautet lokale Extrempunkte.

Der Oberbegriff für absolute Hoch- und Tiefpunkte lautet absolute Extrempunkte.

  • Die \(x\)-Koordinate eines Extrempunkts ist eine lokale (oder evtl. absolute) Extremstelle der Funktion \(f\).
  • Die \(y\)-Koordinate eines Extrempunkts ist ein lokaler (oder evtl. absoluter) Extremwert der Funktion \(f\).

Extrempunkte am Steigungsverhalten des Graphen erkennen

Ändert sich das Steigungsverhalten des Funktionsgraphen in einem Punkt \(E\)

  • von steigend zu fallend, so ist der Punkt \(E\) ein lokaler Hochpunkt
  • von fallend zu steigend, so ist der Punkt \(E\) ein lokaler Tiefpunkt
  • irgendwie, so ist der Punkt \(E\) ein lokaler Extrempunkt

des Funktionsgraphen.

Aufgabe:
Im folgenden interaktiven Applet ist ein Ausschnitt des Graphen \(G_f\) einer ganzrationalen Funktion \(f\) dritten Grades mit der Definitionsmenge \(D_f=\mathrm{I\!R}\) dargestellt.
Analysieren Sie, in welchen Bereichen der Graph steigt bzw. fällt und in welchen Punkten er welche Art von Extrempunkten besitzt.
Geben Sie die außerdem Monotonieintervalle des Graphen an.

Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse anschließend mithilfe des Applets.

 

 

Weiter
Zurück