Nullstellenberechnung – Ausklammern und n-te Wurzel
Ausklammern von \(x^n\)
\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)Nachdem nun der Übergang von der Linearfaktorform zu den Nullstellen thematisiert wurde, soll dies nun auch für ganzrationale Funktionen in allgemeiner Form geschehen. Hierfür betrachten wir zunächst die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^3-5x^2+6x\), \(D_f=\IR\) und versuchen die Gleichung \(f(x)=0\) mit möglichst einfachen Mitteln zu lösen.
\[\begin{array}{ccc} &x^3-5x^2+6x&=&0\end{array}\]
Durch Ausklammern von \(x\) erhält man:
\[\begin{array}{ccc}&x(x^2-5x+6)&=&0\end{array}\]
Wegen des Satzes vom Nullprodukt ist das ganze Produkt \(0\), wenn einer der Faktoren \(0\) ist. Damit lässt sich die Gleichung in zwei Terme zerlegen, die man mit \(0\) gleichsetzen muss:
- \(x=0 \) \(\quad \Rightarrow\) erste Nullstelle \(x_1=0\)
oder
- \(x^2-5x+6=0\) \(\quad \Rightarrow\) weitere Nullstellen mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnen
Man findet für die quadratische Gleichung die Lösungen \(x_2=3\) und \(x_3=2\). Folglich besitzt die Funktion \(f\) drei einfache Nullstellen, nämlich \(x_1=0\), \(x_2=3\) und \(x_3=2\). Erneut können wir ein allgemeines Fazit formulieren:
Kann man aus dem Funktionsterm einer Funktion \(f\) den Faktor \(x\) ausklammern, so besitzt die Funktion die einfache Nullstelle \(x_1=0\). Ist dieser Vorgang mehrfach möglich – kann man also sogar eine höhere Potenz von \(x\) (z.B. \(x^2 ,x^3,\dots\)) ausklammern – so steigt die Vielfachheit der Nullstelle.
Das Ausklammern von \(x\) oder sogar höheren Potenzen von \(x\) ist logischerweise nicht bei jeder beliebigen ganzrationalen Funktion \(f\) möglich. Hierfür muss nämlich jeder Summand der allgemeinen Form mindestens eben diese Potenz, die ausgeklammert werden soll, enthalten. Um festzustellen, ob und welche Potenz von \(x\) ausgeklammert werden kann, muss man die niedrigste Potenz von \(x\) im Funktionsterm suchen (bei Sortierung von groß nach klein steht diese am Ende). Diese Potenz kommt dann auch in allen anderen Summanden vor und kann (und sollte!) bei der Suche nach Nullstellen ausgeklammert werden. Der Rest (im obigen Beispiel der quadratische Term in der Klammer) kann dann mit anderen Lösungsverfahren auf weitere Nullstellen untersucht werden.
Beispiel
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=2x^5+2x^4-4x^3\), \(D_f=\IR\). Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\) inklusive der zugehörigen Vielfachheiten und skizzieren Sie anschließend den Funktionsgraphen \(G_f\).
\[\begin{array}{lll}&f(x)&=2x^5+2x^4-4x^3&\\&&=\underbrace{x^3}_{x_1=0\\\text{dreifach}}(2x^2+2x-4)&=0\end{array}\]
\[\begin{array}{}x_{2/3}=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}=\frac {-2\pm 6}{4}\end{array}\]
Der quadratische Teil in der Klammer liefert mit der Lösungsformel die Nullstellen \(x_2=1\) und \(x_3=-2\) (jeweils einfach).
In Verbindung mit dem Globalverlauf (positiver Leitkoeffizient, ungerader Grad \(\Rightarrow G_f\) verläuft vom III. in den I. Quadranten) folgt für die Skizze:
n-te Wurzel
Ein weiterer Spezialfall bei der Nullstellenbestimmung sind Funktionen, in deren Term nur eine Potenz von \(x\) und eine Konstante (Zahl am Ende) vorkommen. Beispiele hierfür sind \(f(x)=x^2-9\), \(g(x)=x^4-16\) oder \(h(x)=x^5+32\) mit \(D=\IR\).
Die Bestimmung der Nullstelle(n) dieser Funktionen basiert auf der n-ten Wurzel, also einer Lösung \(x\) der Gleichung \(x^n=c\), wobei \(c \in \IR\) eine beliebige Zahl ist. Zum Beispiel ist \(2\) die dritte Wurzel von \(8\) (Schreibweise: \(\sqrt[3]{8}\)), denn \(2^3=8\). \(n\)-te Wurzeln lassen sich auf Taschenrechnern mit der Taste \(\sqrt[\square]{\square}\) (je nach Modell evtl. leicht abweichend) bestimmen.
Bei geraden Werten von \(n\) muss man darauf achten, dass es zwei Lösungen gibt, nämlich die positive \(\sqrt[n]{c}\) und die negative \(-\sqrt[n]{c}\). So besitzt z.B. die Gleichung \(x^4=81\) sowohl die Lösung \(x_1=3\), denn \(3^4=81\), aber auch \(x_2 = -3\), denn \((-3)^4=81\).
Für die Nullstellen der Funktion \(f\) ergibt sich somit:
\[\begin{array}{rlc}f(x)&=0&\\x^2-9&=0&\vert +9\\x^2&=9\end{array}\]
Das Anwenden der (Quadrat-)Wurzel liefert die beiden Lösungen \(x_1=\sqrt{9}=3\) und \(x_2=-\sqrt{9}=-3\).
Ermitteln Sie mit analoger Vorgehensweise nun die Nullstelle(n) der Funktionen \(g\) und \(h\).
Bei Funktionen, deren Nullstellen mit Hilfe der \(n\)-ten Wurzel bestimmt werden können, ist ein weiterer Fall zu beachten. Hierfür wählen wir die Funktion \(k\) mit \(k(x)=x^4+16\). Durch Umstellen erhält man für die Nullstellen:
\[\begin{array}{rlc}k(x)&=0&\\x^4+16&=0&\vert -16\\x^4&=-16\end{array}\]
Diese Gleichung besitzt keine Lösungen, da jede Zahl in der vierten Potenz positiv ist. Der Taschenrechner gibt in diesem Fall als Ergebnis der zugehörigen Rechnung \(x=\sqrt[4]{-16}\) „Math Error“, also einen mathematischen Fehler, aus.
Zusammenfassend lässt sich sagen:
Funktionen, deren Funktionsgleichungen von der Form \(x^n+c\) sind besitzen …
- eine Nullstelle \(x=\sqrt[n]{-c}\), falls \(n\) ungerade ist. Dies ist unabhängig davon, ob \(c\) positiv oder negativ ist.
- zwei Nullstellen \(x_1=\sqrt[n]{-c}\) und \(x_2=-\sqrt[n]{-c}\), falls \(n\) gerade und \(c\) negativ ist.
- keine Nullstellen, falls \(n\) gerade und \(c\) positiv ist.
Aufgaben
Ermitteln Sie jeweils die Nullstellen der Funktion \(f\) mit den angegebenen Funktionsgleichungen. Es gilt für alle Teilaufgaben \(D_f = \IR\).
- \(f(x)=x^4-256\)
- \(f(x)=x^3+15,625\)
- \(f(x)=x^6+64\)