Quadratische Funktionen – Grundeigenschaften\(\newcommand{\IR}{\mathrm{I\!R}} \newcommand{\curvelinks}{\style{display: inline-block; transform: rotate(0.5turn);}{\curvearrowleft}}\newcommand{\abl}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\abb}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\newcommand{\fs}[1]{{#1}^{\large\prime}}\newcommand{\fss}[1]{{#1}^{\large\prime \prime}}\)
Definition
Eine Funktion \(f\) mit \( f(x) = ax^2+bx+c\) mit \(a,b,c \in \IR, a\neq 0\) heißt quadratische Funktion.
Die Form \( f(x) = ax^2+bx+c\) heißt allgemeine Form der Funktionsgleichung.
Ihr Graph heißt Parabel und speziell für \(a = 1\) Normalparabel.
Der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel heißt Scheitelpunkt \(S\).
Die Faktoren \(a\), \(b\), \(c\) heißen Koeffizienten.
Der Faktor \(a\) heißt Leitkoeffizient (auch: Formfaktor). Er bestimmt die Form der Parabel.
Aufgabe
Aufgabe: Die Funktion \(f\) mit \( f(x) = x^2\).
Zeichnen Sie auf einem Blatt den Graphen von \(f\) im Bereich \(-3\leq x \leq 3\) in ein Koordinatensystem. Erstellen Sie dazu eine Wertetabelle.
Interaktive Übung: Einfluss von \(a\) und \(c\)
Experimentieren Sie mit dem folgenden Applet und untersuchen Sie dabei anschaulich den Einfluss von \(a\) und von \(c\) auf die Parabel. Notieren Sie Ihre Erkenntnisse.
Wenn \(\left\lvert a \right\rvert\) größer wird, dann ….
Wenn \(\left\lvert a \right\rvert\) kleiner wird, dann …
Wenn \(a\) positiv ist, dann …
Wenn \(a\) negativ ist, dann …
Wenn \(c\) größer wird, dann …
Wenn \(c\) kleiner wird, dann …
Merke: Einfluss von \(a\)
Öffnungsrichtung:
\(a<0:\) Die Parabel ist nach unten geöffnet.
\(a>0:\) Die Parabel ist nach oben geöffnet.
Öffnungsweite:
\(\left\lvert a \right\rvert>1:\) Streckung der Parabel (schmaler)
\(\left\lvert a \right\rvert<1:\) Stauchung der Parabel (breiter)
\(\left\lvert a \right\rvert=1:\) Normalparabel
Übung: Streckung/Stauchung einer Parabel
Beschreiben Sie die Graphen (Parabeln) der folgenden quadratischen Funktionen im Vergleich zur Normalparabel.
a) \(f(x)=3x^2\)
b) \(g(x)=-\frac{1}{5}x^2\)
c) \(h(x)=0,5x^2\)
d) \(k(x)=-1,5x^2\)
Verschiebung der Normalparabel in \(x\)-Richtung
Untersuchen Sie mit dem folgenden interaktiven Applet die Verschiebung einer Parabel in \(x\)-Richtung.
Notieren Sie sich Beispiele von Funktionstermen, bei denen die Parabel im Vergleich zur Ursprungslage
a) nach rechts verschoben ist
b) nach links verschoben ist
Verschiebung der Normalparabel in \(y\)-Richtung
Untersuchen Sie mit dem folgenden interaktiven Applet die Verschiebung einer Parabel in \(y\)-Richtung.
Notieren Sie sich Beispiele von Funktionstermen, bei denen die Parabel im Vergleich zur Ursprungslage
a) nach oben ist
b) nach unten verschoben ist
Verschiebung der Normalparabel in \(x\)- und \(y\)-Richtung
Untersuchen Sie mit dem folgenden interaktiven Applet die Verschiebung einer Parabel in \(x\)- und \(y\)-Richtung.
Notieren Sie sich dazu Beispiele von Funktionstermen und geben Sie jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes an.
Merke: Verschiebung einer Parabel
Verschiebung in \(x\)-Richtung: \(f(x)=(x-x_s)^2\)
Der Graph \(G_f\) ist ausgehend vom Ursprung um \(x_s\) Einheiten
nach rechts verschoben, wenn \(x_s>0\)
nach links verschoben, wenn \(x_s<0\)
Verschiebung in \(y\)-Richtung: \(f(x)=x^2+y_s\)
Der Graph \(G_f\) ist ausgehend vom Ursprung um \(y_s\) Einheiten
nach oben verschoben, wenn \(y_s>0\)
nach unten verschoben, wenn \(y_s<0\)
Verschiebung in \(x\)- und \(y\)-Richtung: \(f(x)=(x-x_s)^2+y_s\)
Der Graph \(G_f\) ist ausgehend vom Ursprung
um \(x_s\) Einheiten in \(x\)-Richtung und
um \(y_s\) Einheiten in \(y\)-Richtung verschoben.
Übung: Verschiebung einer Parabel
Beschreiben Sie, wie die Parabeln im Vergleich zur Normalparabel verschoben wurden.
Zeichnen Sie die Parabeln auf einem Blatt in ein gemeinsames Koordinatensystem.
Überprüfen Sie Ihre Zeichnungen z.B. mit Geogebra.
a) \(f(x)=(x-1)^2\) d) \(d(x)=-x^2+3\)
b) \(g(x)=x^2-1,5\) e) \(e(x)=(x-4)^2+1\)
c) \(h(x)=(x+2)^2-3\) f) \(j(x)=(x+2,5)^2\)