Quadratische Ungleichungen

In einer quadratischen Ungleichung tritt kein Gleichheitszeichen auf, sondern ein Ungleichheitszeichen wie „kleiner als“ ( \(<\) ) oder „kleiner gleich“ ( \(≤\) ) bzw. „größer als“ ( \( > \) ) oder „größer gleich“ ( \( ≥ \) ). Die Lösung einer Ungleichung besteht nicht nur aus einzelnen Stellen, sondern einem Zahlenbereich. Wir gehen dies am Beispiel \(x^2+2x-3<x+3\) durch.

Die beiden Seiten der Ungleichung kann man jeweils als einen Funktionsterm auffassen, in unserem Fall \(f(x)=x^2+2x-3 \) und \(g(x)=x+3 \). Im nachfolgenden Koordinatensystem sind die Graphen der beiden Funktion \(f\) und \(g\) abgebildet, deren Schnittpunkte sind mit \(S_1\) und \(S_2\) bezeichnet.

Graphische Lösung

Die Ungleichung \(x^2+2x-3<x+3\) bzw. \(f(x)<g(x) \) kann man graphisch interepretieren, wann der Graph \(G_f\) unterhalb des Graphen \(G_g\) liegt (analog wann \(G_f\) oberhalb von \(G_g\) liegt bei \(f(x)>g(x)\) ). Im Beispiel trifft das bei allen \(x\)-Werten zwischen den Schnittstellen \(x_1=-3 \) und \(x_2=2 \) zu, daher ist die Lösung \(x \in ]-3;2[\). Da die Stellen \(-3\) und \(-2\) die Gleichung nicht erfüllen, werden diese in der Lösung ausgeschlossen.

Rechnerische Lösung

Die Ungleichung kann rechnerisch gelöst werden, indem man zunächst die zugehörige Gleichung löst. Es wird in unserem Beispiel zunächst \(x^2+2x-3=x+3\) berechnet:

\(x^2+2x-3=x+3\)

\(x^2+x-6=0\)

\(x_{1,2}=\dfrac {-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot (-6)}} {2 \cdot 1}=\dfrac {-1 \pm 5} {2} \)

\(x_1=-3, x_2=2\)

Nun skizziert man die Parabel, dazu reichen die Nullstellen und die Öffnungsrichtung aus:

Anschließend löst man die ursprüngliche Ungleichung \(x^2+2x-3<x+3\) bzw. \(x^2+x-6<0\). Hierbei nutzt man die obige Skizze und schaut, wann der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, da der Term in der Ungleichung kleiner als null sein soll. Dies ist zwischen den beiden Nullstellen der Fall, damit lautet die Lösung \(x \in ]-3;2[ \).

Allgemeine Vorgehensweise bei der rechnerischen Lösung:

Formen Sie die quadratische Ungleichung (mittels Äquivalenzumformungen) so um, dass auf einer Seite der Ungleichung die Zahl \(0\) steht.
Interpretieren Sie nun den auf einer Ungleichungsseite stehenden Term als Funktionsterm einer quadratischen Funktion, dessen Graph eine Parabel ist.
Berechnen Sie (falls vorhanden) die Nullstellen dieser quadratischen Funktion und entscheiden Sie, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist.
Fertigen Sie eine grobe Skizze der Parabel an, dazu reichen die Nullstellen und die Öffnungsrichtung der Parabel aus.
Nun können Sie ohne weitere Rechnung entscheiden, für welche Werte der Graph oberhalb bzw. unterhalb der \(x\)-Achse liegt (das heißt, wann der quadratische Term folglich größer null bzw. kleiner null ist).