Nullstellen und Schnittpunkte linearer Funktionen

Alle Ansätze, die in diesem Kapitel thematisiert werden, werden auch bei anderen Funktionstypen eine entscheidende Rolle spielen. Auch wenn Sie also schon gut mit linearen Funktionen vertraut sind, so sind in diesem Kapitel wichtige Inhalte für spätere Kapitel enthalten.

Im Folgenden sollen zunächst Schnittpunkte einer linearen Funktion mit den Koordinatenachsen und anschließend auch Schnittpunkte von zwei linearen Funktionen berechnet werden.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Wie wir bereits in einem vorherigen Kapitel gesehen haben, besitzen alle Punkte auf der \(x\)-Achse den \(y\)-Wert \(0\) und alle Punkte auf der \(y\)-Achse den \(x\)-Wert \(0\). Diese Tatsache nutzen wir, um Ansätze zu formulieren, die uns bei der Berechnung der gesuchten Schnittpunkte helfen. Im nachfolgenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x)=-\frac{2}{3} x+3,5\) abgebildet. Gesucht sind der Schnittpunkt mit der \(x\)- sowie der \(y\)-Achse des Graphen von \(f\).

Schnittpunkte mit der \(y\)-Achse

Den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse können wir direkt angeben, da dieser über den \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) festgelegt ist. An dieser Stelle können wir uns auch rechnerisch herleiten, weshalb \(t\) diese Rolle spielt.

Auf der \(y\)-Achse haben alle Punkte den \(x\)-Wert \(0\). Um den zugehörigen \(y\)-Wert zu erhalten, muss also \(f(0)\) berechnet werden. In diesem Fall gilt:

\[f(0)=-\frac{2}{3} \cdot 0 +3,5=3,5\]

Beim Einsetzen von \(x=0\) in eine beliebige lineare Funktion folgt auch allgemein:

\[f(0)=m\cdot 0+t=t\]

Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse, Nullstellen

Den Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse kommt in vielen Aufgaben eine entscheidende Rolle zu. Die \(x\)-Koordinaten dieser Schnittpunkte heißen Nullstellen. Je nach Aufgabenstellung genügt es manchmal nur die Nullstellen zu bestimmen. Ist jedoch nach dem Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gefragt, so muss auch noch die zugehörige \(y\)-Koordinate angegeben werden.

Diese \(y\)-Koordinate ist jedoch bereits durch die Tatsache, dass der Punkt auf der \(x\)-Achse liegt, festgelegt. Wir haben bereits festgestellt, dass dort stets \(y=0\) gilt. Aus dieser Eigenschaft lässt sich auch der Ansatz ableiten, mit dem die Nullstellen berechnet werden können. Der \(y\)-Wert im Koordinatensystem entspricht dem Funktionswert \(f(x)\) an einer Stelle \(x\). Soll dieser \(y\)-Wert nun den Wert \(0\) annehmen, so lautet der zugehörige Ansatz:

\[f(x)=0\]

Am Ende einer Aufgabe zur Nullstellenberechnung muss man eine Gleichung in der Form \(x=\dots\) erhalten, man möchte ja den \(x\)-Wert, bei dem die \(y\)-Achse geschnitten wird, berechnen.

1. Allgemeiner Ansatz: \(f(x)=0\)
2. Einsetzen der Funktionsgleichung: \(m\cdot x+t=0\)
3. Auflösen nach \(x\): \(m\cdot x=-t\Rightarrow x=-\frac{t}{m}\)

1. \(f(x)=0\)
2. \(-\frac{2}{3}x+3,5=0\)
3. \(-\frac{2}{3} x=-3,5\Rightarrow x=\frac{-3,5}{-\frac{2}{3}}=\frac{21}{4}\)

Schnittpunkte von zwei Funktionen

Zusätzlich zur Funktion aus dem obigen Beispiel ist nun noch die Funktion \(g\) mit \(g(x)=\frac13 x+1\) gegeben. Die beiden Funktionsgraphen sind im folgenden Koordinatensystem dargestellt (Bild 1). Gesucht sind die Koordinaten des Schnittpunkts \(S\) der beiden Funktionsgraphen.

Eine Möglichkeit die gesuchten Koordinaten zu bestimmen ist, dass man sie aus dem Koordinatensystem abließt. Hiervon ist aber generell abzuraten, da eine solche zeichnerische Bestimmung immer mit Ungenauigkeiten behaftet ist. In diesem Beispiel ist das Ablesen der y-Koordinate des Punktes \(S\) nicht möglich.

Stattdessen kann auch der Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen rechnerisch bestimmt werden. Am Schnittpunkt \(S\) besitzen beide Funktionen an einer bestimmten \(x\)-Koordinate die selbe \(y\)-Koordinate (Bild 2). Dort gilt also \(y_f = y_g\). Die \(y\)-Werte sind analog zur Nullstellenberechnung aber wiederum lediglich die Funktionswerte \(f(x)\) bzw. \(g(x)\) an der Schnittstelle. Der Ansatz zur Berechnung einer Schnittstelle der zwei Funktionen \(f\) und \(g\) lautet also:

\[f(x)=g(x)\]

Auch hier ist das Ziel, dass man die Gleichung auf die Form \(x=\dots\) bringt.

1. Allgemeiner Ansatz: \(f(x)=g(x)\)
2. Einsetzen der Funktionsgleichungen
3. Auflösen nach \(x\)

1. \(f(x)=g(x)\)
2. \(-\frac{2}{3}x+3,5=\frac{1}{3}x+1\)
3. \(-\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}x=1-3,5\Rightarrow -x=-2,5\Rightarrow x=2,5\)

Damit ist nun also bekannt, dass sich die beiden Funktionsgraphen an der Stelle \(x=2,5\) schneiden. Es fehlt allerdings noch die zugehörige \(y\)-Koordinate. Diese lässt sich jedoch durch Einsetzen der \(x\)-Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen berechnen (Welche Funktion man hierfür wählt ist egal, da beide Funktionsgraphen an der Schnittstelle dieselbe \(y\)-Koordinate besitzen).

\[y=f(2,5)=-\frac{2}{3}\cdot 2,5+3,5=\frac{11}{6}\]

\[\Rightarrow S\left (2,5\middle| \frac{11}{6}\right )\]