Symmetrieeigenschaften
Symmetriearten
Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen sowie die dabei auftretenden Symmetrien sind schon aus der Geometrie bekannt. Auch Funktionsgraphen können Symmetrien bezüglich bestimmter Achsen oder Punkten aufweisen.
Betrachten Sie die beiden Funktionsgraphen bezüglich ihrer Symmetrie und dem Zusammenhang zwischen den Funktionswerten \(f(x)\) und \(f(-x)\).
Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse
\(f(-x)=f(x)\)
Punktsymmetrie zum Ursprung
\(f(-x)=-f(x)\)
Symmetrie am Graphen erkennen
Achsensymmetrie interaktiv untersuchen
Untersuchen Sie mit dem Applet den Zusammenhang zwischen \(f(-x)\) und \(f(x)\) bei einem Graphen mit Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse.
Verschieben Sie dazu den roten Kreis bei \(x\) auf der \(x\)-Achse.
Punktsymmetrie interaktiv untersuchen
Untersuchen Sie mit dem Applet den Zusammenhang zwischen \(f(-x)\) und \(f(x)\) bei einem Graphen mit Punktsymmetrie zum Ursprung.
Verschieben Sie dazu den roten Kreis bei \(x\) auf der \(x\)-Achse.
Definition
Der Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) verläuft
achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x)=f(x)\)
punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x)=-f(x)\)
Symmetrie am Funktionsterm erkennen
Bei ganzrationalen Funktionen kann eine vorhandene oder nicht vorhandene Symmetrieeigenschaft schon direkt am Funktionsterm erkannt werden.
Merke:
Hat eine ganzrationale Funktion nur gerade Exponenten von \(x\) (und eine zu \(x = 0\) symmetrische Definitionsmenge), so verläuft ihr Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
Man spricht dann von einer geraden Funktion.
Merke:
Hat eine ganzrationale Funktion nur ungerade Exponenten von \(x\) und keinen konstanten Summanden (und eine zu \(x = 0\) symmetrische Definitionsmenge), so verläuft ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
Man spricht dann von einer ungeraden Funktion.
Beispiel 1:
\(f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+2\)
nur gerade Exponenten
\(\Rightarrow G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
Beispiel 2:
\(f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x\)
nur ungerade Exponenten und kein konstanter Summand
\(\Rightarrow G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beispiel 3: \(f(x)=2x^4+4x^3-x^2+1\)
Es kommen sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vor.
\(\Rightarrow G_f\) ist weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Es liegt also keine Symmetrie zum Koordinatensystem vor.
Rechnerische Symmetrieuntersuchung
Bei der rechnerischen Untersuchung auf Symmetrie zur \(y\)-Achse bzw. zum Ursprung wird untersucht, ob die dafür notwendige Bedingung \(f(-x)=f(x)\) bzw. \(f(-x)=-f(x)\) für alle \(x\in D_f\) erfüllt ist.
Schrittfolge:
1. Bilden Sie \(f(-x)\) und durch Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) im Funktionsterm.
2. Vereinfachen Sie den Funktionsterm.
3. Vergleichen Sie, ob der Funktionsterm gleich \(f(x)\) oder gleich \(-f(x)\) ist.
Beispiel 1: \(f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2+2\)
\(f(-x)=\frac{1}{2}(-x)^4-3(-x)^2+2 = \frac{1}{2}x^4-3x^2+2 = f(x)\)
\(\Rightarrow G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
Beispiel 2: \(f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x\)
\(f(-x)=\frac{1}{2}(-x)^3-2(-x) = -\frac{1}{2}x^3+2x = -f(x)\)
\(\Rightarrow G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beispiel 3: \(f(x)=2x^4+4x^3-x^2+1\)
\(f(-x)=2(-x)^4+4(-x)^3-(-x)^2+1 = 2x^4-4x^3-x^2+1 \neq f(x)\) und auch \(\neq -f(x)\)
\(\Rightarrow G_f\) ist weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Es liegt also keine Symmetrie zum Koordinatensystem vor.