Besondere Geraden und Lagebeziehungen

Besondere Geraden im Koordinatensystem

In einem Koordinatensystem gibt es eine Vielzahl von besonderen Geraden, die nachfolgend einzeln betrachtet werden.

\(x\)-Achse und parallele Geraden

Alle Punkte, die auf der \(x\)-Achse liegen, haben die gemeinsame Eigenschaft, dass sie den \(y\)-Wert \(y=0\) besitzen. Diese Eigenschaft kann auch mit Hilfe einer Funktionsgleichung ausgedrückt werden: \(f(x)=0\). Unabhängig vom \(x\)-Wert besitzt diese Funktion stets den Funktionswert \(0\), die zugehörigen Punkte haben also wie gefordert den \(y\)-Wert \(0\).

Zur \(x\)-Achse parallele Geraden können auf ähnliche Weise durch Funktionswerte ausgedrückt werden. Sie besitzen ebenfalls unabhängig vom \(x\)-Wert stets einen konstanten \(y\)-Wert. Funktionen, deren Graphen Geraden parallel zur \(x\)-Achse sind, heißen deswegen auch konstante Funktionen.

Bestimmen Sie zu den nachfolgenden Geraden die zugehörigen Funktionsgleichungen:

\(f(x)=-3,\hspace{1cm} g(x)=2,\hspace{1cm} h(x)=0,5,\hspace{1cm} i(x)=-1,25\)

\(y\)-Achse und parallele Geraden

Auch die \(y\)-Achse ist durch eine Bedingung festgelegt, die alle Punkte auf ihr erfüllen. Überlegen Sie sich diese Bedingung und drücken Sie sie durch eine Gleichung aus.

Alle Punkte besitzen den \(x\)-Wert \(0\). Die Gleichung lautet somit \(x=0\).

Die \(y\)-Achse ist im Gegensatz zur \(x\)-Achse jedoch nicht der Graph einer Funktion, da hierfür jedem \(x\)-Wert der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet werden müsste. In diesem Fall wird jedoch dem \(x\)-Wert \(0\) jeder erdenkliche \(y\)-Wert von \(-\infty\) bis \(+\infty\) zugeordnet.

Geben Sie zu den nachfolgenden Geraden jeweils eine Gleichung an.

\(f: x=1,\hspace{1cm} g: x=2,\hspace{1cm} h: x=-2,5,\hspace{1cm} i:x=-3,75\)

Winkelhalbierende der Quadranten

In manchen Aufgaben ist nach den Winkelhalbierenden der Quadranten des Koordinatensystems gefragt. Diese sind nebenstehend abgebildet. \(G_f\) halbiert den \(I.\) und \(III.\) Quadranten, \(G_g\) den \(II.\) und \(IV.\) Quadranten.

Zur Erinnerung:

Bestimmen Sie zu den beiden Geraden jeweils die zugehörige Funktionsgleichung.

Die Geraden verlaufen beide durch den Ursprung, ihr \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) ist also jeweils \(0\). Die Gerade \(f\) besitzt die Steigung \(m=1\) (vgl. Grundlagen zu linearen Funktionen: „\(1\) nach rechts, \(1\) nach oben“), die Gerade \(g\) besitzt folglich die Steigung \(m=-1\).

Die Gleichungen lauten somit:

\(f(x)=1\cdot x+0=x, \hspace{1cm} g(x)=-1\cdot x+0=-x\)

Lagebeziehungen von Geraden

Bei der gegenseitigen Lage von Geraden unterscheidet man drei Fälle:

  1. Die beiden Geraden sind parallel.
  2. Die beiden Geraden schneiden sich unter einem Winkel \(\alpha = 90°\), sie sind also senkrecht.
  3. Die beiden Geraden schneiden sich unter einem Winkel \(\alpha \ne 90°\).

Zu allen drei Fällen sollen nachfolgend Bedingungen bestimmt werden, mit denen man schnell erkennt, wie zwei geraden zueinander liegen.

Parallele Geraden

Am einfachsten erkennt man, ob zwei Geraden parallel zueinander sind. Bestimmen Sie zu den nachfolgenden Geraden jeweils die Funktionsgleichung und überlegen Sie sich, welche Gemeinsamkeit alle zueinander parallelen Geraden besitzen.

\(f(x)=x, \hspace{1cm} g(x)=x-1,5, \hspace{1cm} h(x)=x+2\)

\(p(x)=-\frac{1}{2}x -1, \hspace{1cm} q(x)=-\frac{1}{2}x +2, \hspace{1cm} r(x)=-\frac{1}{2}x\)

Die Geraden, die zueinander parallel sind, besitzen jeweils die gleiche Steigung.

Fazit

Zwei Geraden sind zueinander parallel, wenn die zugehörigen linearen Funktionen die gleiche Steigung besitzen.

Senkrechte Geraden

Bestimmen Sie zu den nachfolgenden Paaren senkrechter Geraden jeweils die Funktionsgleichungen und überlegen Sie sich welcher Zusammenhang jeweils zwischen den Steigungen der Geraden besteht. Nutzen Sie als Hilfe die bereits eingezeichneten Steigungsdreiecke.

\(f(x)=\frac{1}{2} x-2, \hspace{1cm} g(x)=-2x+3\)

\(p(x)=\frac{5}{2} x-1, \hspace{1cm} q(x)=-\frac{2}{5}x-1\)

Die Steigungen sind jeweils die Kehrbrüche voneinander mit verändertem Vorzeichen. Es gilt also für die Steigungen \(m_1\) und \(m_2\) der jeweiligen Geraden:

\(m_2 = – \frac{1}{m_1}\) bzw. nach Multiplikation mit \(m_1\):

\[m_1 \cdot m_2 =-1\]

Fazit

Zwei Geraden sind zueinander senkrecht, wenn die beiden Steigungen \(m_1\) und \(m_2\) die sogenannte Orthogonalitätsbedingung \(m_1\cdot m_2 =-1\) erfüllen.

Nicht-senkrecht schneidende Geraden

Der verbliebene Fall, dass sich die Geraden zwar schneiden, jedoch unter einem Winkel \(\alpha \ne 90°\), kann nun nach dem Ausschlussverfahren behandelt werden.

  1. Die beiden Steigungen dürfen nicht identisch sein, sonst wären die zugehörigen Geraden parallel zueinander.
  2. Die beiden Steigungen dürfen nicht die Orthgonalitätsbedingung erfüllen, sonst wären die zugehörigen Geraden senkrecht zueinander.

Somit folgt:

Fazit

Zwei Geraden schneiden sich unter einem Winkel \(\alpha \ne 90°\), wenn:

  1. \(m_1 \ne m_2\)
  2. \(m_1 \cdot m_2 \ne -1\)

Testen Sie ihr Wissen

Aufgaben

  1. \(f(x)=2x+1, \hspace{1cm} g(x)=-\frac{1}{4} x, \hspace{1cm} h(x)=2x-\frac{1}{4}, \hspace{1cm} i(x)=-\frac{1}{2}, \hspace{1cm} k(x)=4x – \frac{3}{4}, \hspace{1cm} l: x=4\) Entscheiden Sie welche der Geraden jeweils
    1. parallel zueinander sind.
    2. senkrecht zueinander sind.
  2. Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x)=-2x +4\). Geben Sie jeweils eine weitere Funktionsgleichung an, deren Graph
    1. parallel zum Graphen der Funktion \(f\) ist.
    2. senkrecht zum Graphen der Funktion \(f\) ist.
    3. den Graphen der Gerade \(f\) unter einem Winkel \(\alpha \ne 90°\) schneidet.
  3. Wiederholen Sie die Aufgabe 2, jedoch mit der zusätzlichen Bedingung, dass die Graphen jeweils durch den Punkt \(P(1|3)\) verlaufen.

  1. Die Geraden der Funktionen \(f\) und \(h\) sind parallel zueinander.
  2. Die Geraden der Funktionen \(g\) und \(k\) sind senkrecht zueinander. Da die Gerade der Funktion \(i\) parallel zur \(x\)-Achse und die Gerade \(l\) parallel zur \(y\)-Achse verläuft (vgl. Anfang des Kapitels), sind auch diese beiden senkrecht zueinander.

  1. z.B. \(g(x)=-2x+1\) (entscheidend ist, dass die zweite Funktion die gleiche Steigung besitzt)
  2. z.B. \(h(x)=\frac{1}{2} x -2\) (entscheidend ist, dass \(m_2 = \frac{1}{2}\) ist)
  3. z.B. \(i(x)=x-4\) (entscheidend ist, dass die Steigung weder \(-2\) (parallel), noch \(\frac{1}{2}\) (senkrecht) ist)

Die Steigung muss weiterhin die gleichen Werte besitzen, durch den Punkt \(P\) nutzt man zum Aufstellen dann am besten die Punkt-Steigungs-Form.

  1. \(g(x)=-2(x-1)+3=-2x+5\)
  2. \(h(x)=\frac{1}{2} (x-1)+3=\frac{1}{2} x+2,5\)
  3. \(i(x)= 1\cdot (x-1)+3=x+2\)
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