Impulsdiagramme: Zentraler Stoß
Eindimensionale elastische Stöße
Die Impulsdiagramme werden deutlich interessanter, wenn beide Stoßpartner unterschiedliche Massen besitzen und/oder sich beide vor dem Stoß bewegen. Die Vorgehensweise bleibt aber stets die gleiche: Zuerst muss der Gesamtimpuls vor dem Stoß ermittelt werden, dieser bleibt dann auch nach dem Stoß erhalten. Die Aufgabe besteht somit darin, den Gesamtimpuls korrekt auf die beiden Stoßpartner zu verteilen. so wird ermittelt, wie sich die beiden Körper nach dem Stoß weiterbewegen. Dies kann besonders bei zweidimensionalen Stößen auch anspruchsvoll werden und beispielsweise Energiebetrachtungen benötigen.
Beispiel 1: In diesem Beispiel soll ein vollkommen elastischer Stoß betrachtet werden, bei dem der eine Stoßpartner die doppelte Masse des anderen Stoßpartners besitzt. Da Körper 2 anfangs in Ruhe ist, ist der Impuls des Körpers 1 \(p_1=50\;mNs=0,05\;Ns\) auch der Gesamtimpuls des Stoßes:
Maßstab \(0,01\;Ns\;\widehat{=}\;1\;cm\)
Rechnerisch gilt:
\(\vec{p}_1+\vec{p}_2=\vec{p}’_1+\vec{p}’_2 \)
\(0,05\;Ns=0,0167\;Ns+0,0333\;Ns\)
Beispiel 2: In einem komplexeren Beispiel bewegen sich beide Stoßpartner aufeinander zu. Auch hier handelt es sich um einen vollkommen elastischen Stoß. Bitte entnehmen Sie die Werte der Massen, Geschwindigkeiten und der daraus resultierenden Impulse aus der Grafik:
Maßstab \(0,01\;Ns\;\widehat{=}\;1\;cm\)
Beispiel 3: Zeichnen Sie das Impulsdiagramm zuerst selbst, bevor Sie sich die Lösung ansehen. Entnehmen Sie die relevanten Werte aus der Grafik und wählen Sie einen geeigneten Maßstab:
Hier gewählter Maßstab: \(0,0100\;Ns\;\widehat{=}\;5\;cm\)
Der Gesamtimpuls dieses Stoßes ergibt sich aus der Addition der beiden Einzelimpulse. Dieser Gesamtimpuls muss auch nach dem Stoß erhalten bleiben. Die Impulse nachher müssen ebenfalls wieder vektoriell addiert den Gesamtimpuls ergeben.
Eindimensionale unelastische Stöße
Bei vollkommen unelastischen eindimensionalen Stößen bewegen sich die Stoßpartner nach dem Stoß gemeinsam weiter (Hinweis: Hierfür müssen sich die Körper permanent verformen und eine maximale Menge an Bewegungsenergie in Wärme umzuwandeln.). Hier im Beispiel wird Knetgummi an den Fahrbahngleitern angebracht, um dies zu simulieren. Der vollkommen unelastische Stoß ist viel einfacher darzustellen als der vollkommen elastische Stoß, da nach dem Stoß der Gesamtimpuls auch gleichzeitig der gemeinsame Impuls beider Stoßpartner ist.
Hier nochmals die gleichen Einstellungen wie bei den obigen Beispielen, diesmal erfolgt der Stoß aber vollkommen unelastisch mit
\(\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}_{ges}\), also
\(m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2 = (m_1+m_2) \cdot \vec{u}\)
Hier der unelastische Stoß mit den Werten von obigem Beispiel 1:
Maßstab \(0,01\;Ns\;\widehat{=}\;1\;cm\)
Hier der unelastische Stoß mit den Werten von obigem Beispiel 2:
Maßstab \(0,01\;Ns\;\widehat{=}\;1\;cm\)
Hier der unelastische Stoß mit den Werten von obigem Beispiel 3:
Hier gewählter Maßstab: \(0,0100\;Ns\;\widehat{=}\;5\;cm\)
Der Gesamtimpuls dieses Stoßes ergibt sich aus der Addition der beiden Einzelimpulse. Dieser Gesamtimpuls muss auch nach dem Stoß erhalten bleiben und gilt dann beim vollkommen unelastischen für beide Körper.
Eindimensionale teilelastische Stöße
Selten sind Stöße im Alltag tatsächlich vollkommen elastisch oder unelastisch. Stets wird ein kleiner Teil der Stoßenergie entweder in Wärme und/oder Verformung verloren gehen. Dieser steht den Körpern nach dem Stoß dann nicht mehr als Bewegungsenergie zur Verfügung. Trotzdem können wir diese Aufgaben durch Vektoraddition lösen, denn der Impulserhaltungssatz
\(\vec{p}_1+\vec{p}_2=\vec{p}’_1+\vec{p}’_2\)
gilt bei jeder Art von Stoß und ist der stärkste Erhaltungssatz in der Physik.
Beispiel 4: Zwei Fußballspieler laufen für ein Kopfballduell direkt aufeinander zu und stoßen nach dem Hochspringen zentral aufeinander. Die Spieler besitzen die Massen \(m_1=65,0\;kg\) und \(m_2=85,0\;kg\) und vor dem Zusammenstoß die Geschwindigkeiten \(v_1=3,00\frac{m}{s}\) nach rechts und \(v_2=-2,00\frac{m}{s}\) nach links. Nach dem Stoß wird der leichtere Spieler mit der Geschwindigkeit \(u_1=-0,500\frac{m}{s}\) zurückgeschleudert.
Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(u_2\) des zweiten Spielers nach dem Stoß und somit auch die Impuls- und Geschwindigkeitsänderungen beider Spieler. Zeichnen Sie außerdem ein maßstabsgetreues Impulsdiagramm für diesen Stoß.
Es gilt der allgemeine Impulserhaltungssatz
\(\vec{p}_1+\vec{p}_2=\vec{p}’_1+\vec{p}’_2\).
Beim eindimensionalen Stoß kann mit den Impulskoordinaten gerechnet werden:
\(p_1+p_2=p’_1+p’_2\)
\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\)
\(65\;kg\cdot 3,0\frac{m}{s} + 85\;kg\cdot (-2,0\frac{m}{s}) =65\;kg\cdot (-0,5\frac{m}{s}) + 85\;kg\cdot u_2\)
\( 195\; Ns – 170\;Ns =-32,5\;Ns+85\;kg \cdot u_2\)
Somit gilt für den zweiten Spieler nach dem Stoß \(u_2 \approx 0,676\frac{m}{s}\) bzw. \(p’_2=57,5\;Ns\)
Die Geschwindigkeitsunterschiede sind bei Spieler 1 \(\Delta v_1=u_1-v_1=-3,50\frac{m}{s}\) und bei Spieler 2 \(\Delta v_2=u_2-v_2=2,68\frac{m}{s}\), der leichtere Spieler erlebt also die stärkere Geschwindigkeitsänderung.
Die Impulsänderungen betragen \(\Delta p_1=-228\;Ns\) und \(\Delta p_2=255\;Ns\).
Impulsdiagramm:
Hier gewählter Maßstab: \(100\;Ns\;\widehat{=}\;4\;cm\)
Der Gesamtimpuls dieses Stoßes ergibt sich aus der Addition der beiden Einzelimpulse. Dieser Gesamtimpuls muss auch nach dem Stoß erhalten bleiben und dann wieder nach Impulserhaltungssatz auf beide Körper aufgeteilt.
Neben den eindimensionalen Stößen sollen auf der nächsten Seite nun auch zweidimensionale Stöße betrachtet werden. Hier zeigt sich besonders der Vorteil in der vektoriellen Darstellung gegenüber den reinen Rechnungen. Durch die Vektoraddition im Impulsdiagramm können beispielsweise auch Stoßwinkel und Bewegungsrichtungen nach dem Stoß betrachtet werden.