Maßzahlen der Binomialverteilung
Einführendes Beispiel
Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl von Kopf bei dreimaligem Werfen einer Laplace-Münze an. Wie groß sind Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von \(X\)?
Es handelt sich hier um eine Bernoulli-Kette, der Länge \(n = 3\) mit \(p = q = 0,5.\)
Man erwartet, dass \(0,5 \cdot 3 = 1,5\)-mal Kopf erscheint (50 % der geworfenen Münzen zeigen Kopf an).
Wenn man dies durch Rechnung überprüfen will, so benötigt man als erstes die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Zufallsgröße ist nach \(B(3;0,5)\) verteilt.
\[\begin{array} {c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X = x) & 0,12500 & 0,37500 & 0,37500 & 0,12500 \end{array}\]
Nun kann man den Erwartungswert nach Definition ausrechnen:
\(E(X) = 0 \cdot 0,125 + 1 \cdot 0,375 + 2 \cdot 0,375 + 3 \cdot 0,125 = 15\)
Die Varianz lässt sich z.B. mit der Verschiebungsformel berechnen:
\(Var(X) = 1 \cdot 0,375 + 4 \cdot 0,375 + 9 \cdot 0,125 – 1,5^2 = 0,75\)
Damit erhält man sofort: \(σ(X) = \sqrt{0,75} \approx 0,86603\)
Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße geht das einfacher:
\(Var(X) = n \cdot p \cdopt q = 3 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,75\)
Maßzahlen: E(x), V(x), \(\sigma\)
Ist die Zufallsgröße \(X\) binomial nach \(B(n;p)\) verteilt, so gilt:
\(E(X) = n \cdot p\)
\(Var(X) = n \cdot p \cdot q\)
\(σ(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot q}\)
Weitere Beispiele
Beispiel 1
Bei einer Produktion von Fliesen hat man eine Ausschusswahrscheinlichkeit von 5 %. Es werden 1000 Fliesen produziert. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der defekten Fliesen an.
Berechnen Sie die Anzahl der erwarteten defekten Fliesen sowie die Varianz und Standardabweichung von \(X\).
Nach obigen Formeln gilt:
\(E(X) = n \cdot p = 1000 \cdot 0,05 = 50\)
\(Var(X) = n \cdot p \cdot q = 1000 \cdot 0,05 \cdot 0,95 = 47,5\)
\(σ(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{1000 \cdot 0,05 \cdot 0,95} \approx 6,89202\)
Beispiel 2
Ein Medikament hilft einem an einer bestimmten Krankheit leidenden Patienten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8. Es wird eine Gruppe von 50 Patienten betrachtet, die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der geheilten Patienten an. Berechnen Sie die Anzahl der kranken Patienten aus der Gruppe, die durch das Medikament im Durchschnitt geheilt werden können. Berechnen Sie außerdem Varianz und Standardabweichung von \(X\).
Die Berechnung erfolgt wieder mit obigen Formeln:
\(E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0,8 = 40\)
\(Var(X) = n \cdot p \cdot q = 50 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 8\)
\(σ(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{50 \cdot 0,8 \cdot 0,2} \approx 2,83\)
Beispiel 3
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Beispiel 2 die Anzahl \(X\) höchstens um die Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
\(E(X)\) und \(σ\) sind bereits in Beispiel 2 berechnet worden, der Ansatz ist derselbe wie in den Beispielen 3 und 4 der letzten Seite.
\(P(|X – µ| \leq σ) = P(µ – σ \leq X \leq µ + σ) = P(37,17 \leq X \leq 42,83) \)
Da \(X\) die Anzahl der Personen beschreibt, kann \(X\) nur ganzzahlige Werte annehmen:
\(P(|X – µ| \leq σ) = P(38 \leq X \leq 42) = P(X \leq 42) – P(X \leq 37) = 0,80959 – 0,18606 = 0,62353\)
Die benötigten Wahrscheinlichkeiten entnimmt man der Tabelle (aufaddierte Wahrscheinlichkeiten!).