Energie und Arbeit – Grundlagen
Der Arbeitsbegriff
Wird ein Gegenstand angehoben, ein Wagen eine Strecke gezogen oder an einem Werkstück gefeilt, wird Arbeit verrichtet. Bei all diesen Verrichtungen muss eine Kraft aufgebracht werden. Das Vorhandensein einer Kraft alleine genügt jedoch nicht, damit Arbeit verrichtet wird, denken wir nur an die Gewichtskraft eines ruhenden Körpers. Gearbeitet wird erst, wenn der Körper entlang einer Kraft, beispielsweise seiner Gewichtskraft, verschoben wird. Da Kräfte unterschiedliche Ursachen und Wirkungen haben, wird auch zwischen verschiedenen Arbeitsformen unterschieden. Wie viel Arbeit konkret verrichtet wird, hängt von den wirkenden Kräften und dem Weg ab, den der Körper zurücklegt. Dies soll am folgenden Beispiel gezeigt werden.
Die Person im rechts stehenden Bild muss für den Transport der Kiste in eines der oberen Stockwerke, deren Gewichtskraft \(\vec{F}_{G}\) im Seil aufbringen. Bei diesem Transport entlang der Höhe \(h\) wird Arbeit, hier Hubarbeit, verrichtet.
Wird die Kiste in den zweiten Stock gezogen, so ist dafür die doppelte Arbeit notwendig, wie beim Ziehen in den ersten Stock. Es ist leicht einzusehen, dass die Hubarbeit \(W_{Hub}\) proportional zur Transporthöhe \(h\) steigt:
\(W_{Hub} \sim h\)
Besitzt die Kiste die doppelte Masse \(m\) und damit den doppelten Betrag der Gewichtskraft \(\vec{F}_{G}\), so müsste beim Anheben – bei gleichbleibender Transporthöhe \(h\) – die doppelte Hubarbeit \(W_{Hub}\) verrichtet werden:
\(W_{Hub} \sim F_{G}\)
Fassen wir die beiden Einzelproportionalitäten zusammen, ergibt sich:
\(W_{Hub} \sim F_{G} \cdot h\) bzw. \(W_{Hub} = k \cdot F_{G} \cdot h\)
Verwendet man die Standardeinheiten (SI-Einheiten), dann ist die Proportionalitätskonstante \(k = \)1. Die Einheit der Arbeit ist damit:
\([W] = 1~N \cdot m = 1~J~~~(Joule,~nach~dem~englischen~Physiker~James~Prescott~Joule,~1818-1889)\)
Aus unseren Überlegungen lässt sich nun eine erste Defintion der Arbeit formulieren. Wichtig ist es dabei, auf die Einschränkungen hinzuweisen. Damit die folgende Gleichung verwendet werden kann, muss zum einen die Kraft konstant sein, zum anderen muss die Kraft entlang des Weges wirken.
\(Definition:\)
In der Physik versteht man unter der Arbeit das Produkt aus der konstanten Kraft \(F\), die in Wegrichtung wirkt, und dem zurückgelegten Weg \(s\).
\(W = F \cdot s~~~~~~~~~~Die~physikalische~Arbeit\)
Die physikalische Definition der Arbeit unterscheidet sich häufig von dem im Alltag verwendeten Arbeitsbegriff. Das Tragen eines Koffers auf ebener Straße ist nach der physikalischen Definition keine Arbeit, da die Gewichtskraft des Koffers nicht in Wegrichtung wirkt. Auch geistige Arbeit ist im physikalischen Sinn keine Arbeit, sie wird jedoch oftmals höher bewertet als körperliche Arbeit.
Die Verallgemeinerung des Arbeitsbegriffes
Die Kraft wirkt nicht längs des Weges
Die Kraft muss nicht parallel zum zurückgelegten Weg wirken, sondern kann, wie im Bild rechts, mit der Wegrichtung einen Winkel \(α\) bilden. Will man dann die verrichtete Arbeit berechnen, darf man nur den Anteil der Kraft berücksichtigen, der in Richtung des Weges wirkt.
Damit ergibt sich für die Arbeit:
\(W = F_{x} \cdot Δs\), wobei \(F_{x} = F \cdot cos(α)\)
Zusammengefasst ergibt das:
\(W = F \cdot Δs \cdot cos(α)\)
Durch die Multiplikation des Betrages von \(\vec{F}\) mit \(cos(α)\) wird der Vektor \(\vec{F}\) auf \(\vec{Δs}\) projiziert und so zum Betrag von \(\vec{F_{x}}\). Dieser Betrag wird dann wiederum mit dem Betrag von \(\vec{Δs}\) multipliziert. Aus der Verarbeitung der beiden Vektoren ist so eine Betragsgröße, ein Sakalar geworden. Aus diesem Grund wird die beschriebene Operation auch Skalarprodukt genannt. Mit Hilfe des Zeichens für das Skalarprodukt (\(\circ\)), kann die Gleichung für die Arbeit \(W\) deshalb auch folgendermaßen lauten:
\(W = \vec{F} \circ \vec{Δs}\)
Im Gegensatz zur Kraft besitzt die Arbeit also keine Richtung, ist also eine skalare Größe. Dennoch kann es sinnvoll sein, das Vorzeichen der Arbeit zu betrachten. Im Bezugssystem eines Hammers wird im Fall seines Anhebens positive Arbeit verrichtet, wird er abgesenkt (und verrichtet Arbeit z.B. an einem Nagel) ist die Arbeit negativ. Wählt man als Bezugssystem allerdings die Umgebung, drehen sich die Vorzeichen im genannten Beispiel um.
Der Betrag der Kraft ist nicht konstant
In vielen Fällen wird sich die Kraft entlang des Weges ändern. Denken wir beispielsweise an das Spannen einer Feder. Die Kraft ist beim Dehnen nicht konstant, sondern steigt mit fortschreitender Dehnung an. Wie lässt sich die Arbeit aber dann berechnen? Zur Klärung dieser Frage betrachten wir noch einmal die Berechnung der Arbeit für den einfachsten Fall, nämlich bei konstanter Kraft in Wegrichtung. Die Arbeit ist dabei das Produkt aus dem konstanten Kraftbetrag \(F_{0}\) und dem zurückgelegten Weg \(Δs\): \(W = F_{0}\cdotΔs\). Trägt man die Kraft über den zurückgelegten Weg in ein \(s\)-\(F\)-Diagramm ein, erkennt man nun, dass die Arbeit der Fläche unter dem Graphen entspricht!
Mit dieser Erkenntnis können wir nun auch die Arbeit für nicht konstante Kräfte berechnen. Bei der Dehnung einer zunächst ungespannten Feder erhält man die Arbeit, indem man die Dreiecksfläche mit der Flächenformel für Dreiecke berechnet: \(W = \frac{1}{2} \cdot F \cdot s\), \(F\) ist dabei die Kraft am Ende des Dehnungsvorgangs und \(s\) ist die zugehörige Dehnung. Doch Vorsicht, die Formel für die Dreiecksfläche kann nur verwendet werden, wenn die Feder nicht zu stark gespannt ist und die Kraft \(F\) noch proportional zum zurückgelegten Weg \(s\) ist, also im Hooke’schen Bereich.