Die Darstellung von harmonischen Schwingungen
Ist die Phasenverschiebung φ0 gleich 0, π/2, π oder 3/2π, dann liegt einer von vier Sonderfällen vor und wir können die Bewegungsgleichungen vereinfacht angeben. Die Bewegungsgleichungen für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung erhalten wir durch ableiten:
φ0 = 0:
Der schwingende Körper bewegt sich zum Zeitpunkt t = 0 durch die Ruhelage in positiver Richtung. Eine Gleichung, die den Ort des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, muss deshalb die Sinusfunktion beinhalten.
Beispiel: Wir drücken genau in dem Moment die Starttaste einer Stoppuhr, wenn das Massestück eines Federpendels von unten kommend die Ruhelage passiert.
s(t) = A·sin(ω·t) v(t) = A·ω·cos(ω·t) a(t) = -A·ω2·sin(ω·t)
φ0 = π/2:
Der schwingende Körper besitzt zum Zeitpunkt t = 0 die maximale positive Elongation, d.h. s = A. Eine Gleichung, die den Ort des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, muss deshalb die Kosinusfunktion beinhalten.
Beispiel: Wir drücken genau in dem Moment die Starttaste einer Stoppuhr, wenn wir das angehobene Massestück eines Federpendels loslassen.
s(t) = A·cos(ω·t) v(t) = -A·ω·sin(ω·t) a(t) = -A·ω2·cos(ω·t)
φ0= π:
Der schwingende Körper bewegt sich zum Zeitpunkt t = 0 durch die Ruhelage in negativer Richtung. Eine Gleichung, die den Ort des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, muss deshalb die Sinusfunktion beinhalten. Da die Elongation des Körpers nach dem Erreichen der Ruhelage zunächst negative Werte annimmt, stellen wir ein Minuszeichen voran.
Beispiel: Wir drücken genau in dem Moment die Starttaste einer Stoppuhr, wenn das Massestück eines Federpendels von oben kommend die Ruhelage passiert.
s(t) = -A·sin(ω·t) v(t) = -A·ω·cos(ω·t) a(t) = A·ω2·sin(ω·t)
φ0 = 3/2 π:
Der schwingende Körper besitzt zum Zeitpunkt t = 0 die maximale negative Elongation, d.h. s = -A. Eine Gleichung, die den Ort des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, muss deshalb die Kosinusfunktion beinhalten. Da die Elongation dabei negativ ist, benötigen wir ein Minuszeichen.
Beispiel: Wir drücken genau in dem Moment die Starttaste einer Stoppuhr, wenn wir das nach unten gezogene Massestück eines Federpendels loslassen.
s(t) = -A·cos(ω·t) v(t) = A·ω·sin(ω·t) a(t) = A·ω2·cos(ω·t)
Beispielaufgabe 1
1.0 Ein Fahrbahnwagen mit der Masse m = 2,00 kg ist reibungsfrei zwischen zwei Federn eingespannt. Die Federhärten betragen D1 = 8,0 N/m und D2 = 11,7 N/m. Er wird um 4,0 cm nach links ausgelenkt und anschließend (zum Zeitpunkt t = 0) losgelassen.
1.1 Berechnen Sie die Schwingungsdauer des Fahrbahnwagens.
1.2 Wo befindet er sich zum Zeitpunkt t = 1,25 s und welche Geschwindigkeit besitzt er in diesem Augenblick?
1.3 Ermitteln Sie die Beschleunigung und die Rückstellkraft, die der Wagen zum Zeitpunkt t = 1,80 s erfährt.
1.4 Zu welchen Zeitpunkten befindet sich der Fahrbahnwagen bei der Auslenkung s = -3,0 cm?
Beispielaufgabe 2
2.0 Ein Körper schwingt mit einer Amplitude von 5,0 cm und einer Schwingungsdauer von 3,0 s. Er befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 am Ort s = 2,82 cm und bewegt sich in positiver Richtung.
2.1 Berechnen Sie die Phasenverschiebung j0 der Schwingung.
2.2 Geben Sie die Gleichungen für die Auslenkung, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Körpers an.
2.3 Zu welchem Zeitpunkt besitzt der Körper zum zweiten Mal die Auslenkung s = -4,0 cm?
2.4 Wie groß ist die Beschleunigung zum Zeitpunkt t = 0?
\(2,82 \mathrm{~cm}=5,0 \mathrm{~cm} \cdot \sin \left(0+\varphi_{0}\right)\)
\(\varphi_{0}=\arcsin \left(\frac{2,82 \mathrm{~cm}}{5,0 \mathrm{~cm}}\right)=\underline{\underline{0,60}}\)
\(\mathrm{~s}(\mathrm{t})=5,0 \mathrm{~cm} \cdot \sin \left(\frac{2 \pi}{3,00 \mathrm{~s}} \cdot \mathrm{t}+0,60\right)\)
\(\mathrm{v}(\mathrm{t})=\dot{\mathrm{s}}(\mathrm{t})=\mathrm{A} \cdot \omega \cdot \cos \left(\omega \cdot \mathrm{t}+\varphi_{0}\right)=5,0 \mathrm{~cm} \cdot \frac{2 \pi}{3,00 \mathrm{~s}} \cdot \cos \left(\frac{2 \pi}{3,00 \mathrm{~s}} \cdot \mathrm{t}+0,60\right)=10,5 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \cdot \cos \left(\frac{2 \pi}{3,00 \mathrm{~s}} \cdot \mathrm{t}+0,60\right)\)
\(a(t)=\dot{\mathrm{v}}(\mathrm{t})=-\mathrm{A} \cdot \omega^{2} \cdot \sin \left(\omega \cdot \mathrm{t}+\varphi_{0}\right)=-5,0 \mathrm{~cm} \cdot\left(\frac{2 \pi}{3,00 \mathrm{~s}}\right)^{2} \cdot \sin \left(\frac{2 \pi}{3,00 \mathrm{~s}} \cdot \mathrm{t}+0,6\right)=\)
\(=-0,219 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \cdot \sin \left(\frac{2 \pi}{3,00 \mathrm{~s}} \cdot \mathrm{t}+0,6\right)\)
\(-4,0 \mathrm{~cm}=5,0 \mathrm{~cm} \cdot \sin \left(\frac{2 \pi}{3,00 \mathrm{~s}} \cdot \mathrm{t}^{\prime}+0,60\right)\)
\(\mathrm{t}^{\prime}=\frac{\arcsin \left(\frac{-4,0 \mathrm{~cm}}{5,0 \mathrm{~cm}}\right)-0,60}{\frac{2 \pi}{3,00 \mathrm{~s}}}=-0,73 \mathrm{~s}\)
\(\mathrm{t}=\mathrm{t}^{\prime}+\mathrm{T}=-0,73 \mathrm{~s}+3,0 \mathrm{~s}=\underline{\underline{2,27 \mathrm{~s}}}\)
\(\mathrm{a}=-0,219 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \cdot \sin (0,6)=-0,124 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}\)
